第二章投影基础

第二章投影基础1.1投影方法的基本概念1.2投影面体系的建立和视图的形成1.3点的投影1.4线的投影1.5面的投影1.6直线与平面及两平面的相对位置1.1投影方法的基本概念1投影法及其分类2直线和平面的正投影特点1投影法及其分类空间物体在光线的照射下，会在墙面或地面产生影子，这就是影子现象。投影法就是根据这种自然现象，经过科学的抽象而创造出来的。影子和投影图的区别？投射线通过物体，向选定的平面进行投射，并在该面上得到图形的方法——投影法。中心投影平行投影投影方法画透视图画斜轴测图画工程图样及正轴测图中心投影法平行投影法正投影法斜投影法中心投影法物体位置改变，投影大小也改变。投射线投影物体投影面投射中心投影特性：中心投影图一般不反映物体各部分的真实形状和大小，投影大小随投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离的改变而改变。度量性较差。平行投影法投影特性：投影的大小与物体和投影面之间的距离无关度量性较好。斜投影法正投影法工程图样多数采用正投影法绘制。AAABBBCCCaaabbbccc物体大写字母，投影小写字母2直线和平面的正投影特点a直线的投影特性直线平行投影面

直线垂直投影面

直线倾斜投影面

投影直线投影面投影等于线实长实形性投影积聚成一点积聚性投影短于原线段类似性b平面的投影特性积聚性实形性

平面平行投影面

平面垂直投影面

平面倾斜投影面

类似性(边数相同)

投影就把实形现投影积聚成直线投影类似原平面类似性不是相似性，但图形的基本特性不变，如多边形仍为多边形，边数不变物体的形状是由其表面的形状决定的，因此，绘制物体的投影，就是绘制物体表面的投影，也就是绘制表面上所有轮廓线的投影。画物体的投影时，为了投影反映物体表面的真实形状，应该让物体上尽可能多的平面和直线平行或垂直于投影面。投影图的画法：1.2投影面体系的建立和视图的形成1三投影面体系的建立2三视图的形成3投影面的展开4三视图的投影规律5三视图的画图要点一个视图只能反映出两个方向的尺寸情况；

不同形状物体的某一视图可能会相同。1三投影面体系的建立一个视图的不定性两个投影面能表达物体长、宽、高三个方向的尺寸，所以，一般情况下两个视图能表达清楚物体的形状，但有些物体用两个视图也不能准确的表达其形状。1三投影面体系的建立两个视图的不定性1三投影面体系的建立三个视图的确定性HWV投影面正面投影面（正面或V面verticalplane）水平投影面（水平面或H面horizontalplane）侧面投影面（侧面或W面widthplane）投影轴OXZOX轴V面与H面的交线OZ轴V面与W面的交线OY轴H面与W面的交线三个投影面互相垂直Y1三投影面体系的建立2三视图的形成主视图左视图俯视图正面投影—主视图水平投影—俯视图侧面投影—左视图3投影面的展开物体的三视图主视图左视图俯视图X4三视图的投影规律尺寸对应关系主、俯视图——长对正主、左视图——高平齐左、俯视图——宽相等方位对应关系长对正高平齐宽相等上下左右左右后前前后上下特别要注意形体的前后位置5三视图的画图要点将物体自然放平，一般使主要表面与投影面平行或垂直应用投影规律时应注意整体和局部都要符合三等规律特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方位关系看不见的线画虚线，虚线与粗实线重合时画粗实线,虚线与点划线重合时画虚线。(即粗实线优于虚线,虚线优于点划线.)(1)粗实线：可见轮廓线；虚线：不见轮廓线。

(2)细点画线：回转面的轴线；圆的对称中心线；物体的对称中心线。5三视图的画图要点1.3点的投影1点在三投影面体系中的投影2点的投影特点3两点的相对位置4特殊点Pb

●●AP采用多面投影。

过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面上的投影。B3●B2●B1●

点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。点在一个投影面上的投影a

●解决办法？WHVOXZYa

点A的正面投影a点A的水平投影a

点A的侧面投影注意：空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。a

●a●a

●A●1点在三投影面体系中的投影●●●●XYZOVHWAaa

a

xaazay向右翻向下翻不动投影面展开WVHaa●x●●azZaa

yayaXY

YO

2点的投影特点29●●●●XYZOVHWAaa

a

XaaZaY●●YWaza

XYHaYWOaaXaYHa

●VHWZ2点的投影特点点的投影规律:①a

a⊥OX轴②aax=

a

ax=aay=

a

a

⊥OZ轴=y=Aa

（A到V面的距离）a

az=x=Aa

（A到W面的距离）a

ay=z=Aa（A到H面的距离）a

az记住坐标轴的名称，读图即可知x，y，z30a

例2.1已知点的两个投影，求第三投影。●a

●●aaXaZ1.作a

a

⊥OZ；2.通过作辅助线(45°线)使a

aZ=aaX。OxzYHYW31例2.2已知点A的坐标(15,12,16)，作其三面投影图。●a

●a

●aaXaZxA=15zA=16yA=12YWYHZX32如图，如何在投影图中判断两点A、B的相对位置？其中点A为基准点，点B为比较点。投影图上判断方法：

x

坐标—左右，大的在左(离W面远)

y

坐标—前后，大的在前(离V面远)

z

坐标—上下，大的在上(离H面远)点B在点A之后、之右、之上。当一个点B相对于另一点A（已知点）上下、左右、前后坐标差已知，就可以确定该点的空间位置并作出其三面投影。3.两点间的相对位置△Z△x△y(XA，

ZA)33例2.3如下图所示，已知点B的投影，点A在点B之前4

mm，之上8

mm，之右6

mm，求点A的投影。a

a

a△z=8△x=

64即：△x=6

△y=4

△z=8XZYWYHOb

bb

344.重影点及其投影的可见性判断重影点的可见性时，需要看重影点在另一投影面上的投影坐标，坐标值大的点投影可见，反之不可见.即:上遮下，左遮右，前遮后。被遮挡的投影用括号表示。点A、点B为H面的重影点。若空间两点位于某投影面的同一条投射线上，则两点在此投影面上的投影重合为一点，称此两点为该投影面的重影点。()a

bb

●●●●●a

a

b

被挡住的投影加()A、B为哪个投影面的重影点呢？A、B为H面的重影点A、B为V面的重影点A、B为V面的重影点1.4线的投影1直线的投影2各种位置直线的投影特性4直线段的实长和投影面的倾角3直线上的点5两直线的相对位置ABPCDPPEF直线在单一投影面上的投影a（b）

直线垂直于投影面：直线在该投影面上的投影积聚为点cdef

直线平行于投影面：直线在该投影面上的投影反映实长

直线倾斜于投影面：直线在该投影面上的投影缩短1直线的投影

两点确定一条直线，将两点的同面投影用直线连接，就得到直线的同面投影。直线在三投影面体系中的投影Z

YHaOXabbaYWb

HaβγaAb

VBbWa

b

ZXOY投影面平行线投影面垂直线水平线（平行于Ｈ面）正平线（平行于Ｖ面）侧平线（平行于Ｗ面）铅垂线（垂直于Ｈ面）正垂线（垂直于Ｖ面）侧垂线（垂直于Ｗ面）一般位置直线统称特殊位置直线（注意两者区别）平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜垂直于某一投影面而与其余两投影面平行与三个投影面都倾斜2各种位置直线的投影特性γβXZ″baaabbOYHYW′′″实长VHabAaaγβBbbWβγ′′″″ZoXY水平线：平行于H面的直线①在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与另两投影面倾角的真实大小。②另两个投影面上的投影都短于实长，且分别平行于相应的投影轴，其到相应投影轴距离反映直线与它所平行的投影面之间的距离。投影特性：判断下列直线是什么位置的直线？侧平线正平线与H面的夹角:

与V面的夹角:β与W面的夹角:γ实长

β实长γ

b

a

aba

b

b

aa

b

ba

直线与投影面夹角的表示法：ZOXYWYHZOXYHYW直线在其平行的投影面上的投影为倾斜线段以正垂线AB为例，讨论其投影特性：WVHABa‘（b’）abb”a”a’

（b’）aba”b”∵AB

⊥

V，∴AB∥H，AB∥W。①a’（b’）②ab=a”b”=AB=LAB

③ab⊥OX,a”b”⊥OZ

④

=90°、

=

=0°投影特性：投影面垂直线在所垂直的投影面上的投影积聚为一点；另外两个投影反映实长，且垂直于相应的轴。XOYWZYH教材P29：表2.2反映线段实长，且垂直于相应的投影轴。铅垂线正垂线侧垂线②

另外两个投影，①在其垂直的投影面上，投影有积聚性。投影特性:●a

b

a(b)a

b

●c

(d

)cdd

c

●e

f

efe

(f

)一面为点，其余两面为平行于坐标轴的线段（3）

一般位置直线：与三个投影面都倾斜的直线Z

YHaOXabbaYWb

投影特性:三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹角并不反映空间线段与三个投影面夹角的大小。三个投影的长度均比空间线段短，都不反映空间线段的实长。HaβγaAb

VBbWa

b

ZXOY三面投影均为倾斜的线段47例2.4

判别下图中直线AB、BC相对于投影面的位置。因为直线AB的正面投影a

b

反映实长；它的另两面投影平行于相应投影轴。所以AB为正平线。因为直线BC的正面投影

b

c

和水平投影bc反映实长；侧面投影b

c

积聚为一点。所以BC为侧垂线。48例2.5

分析正三棱锥各加粗棱线或底边与投影面的相对位置。sb与s

b

分别平行于OYH和OZ；SB为侧平线；s

b

反映实长。a

(c

)重影；AC为侧垂线；a

c

=ac=AC。SA的三个投影都与投影轴倾斜；SA为一般位置直线；三个投影均不反映实长。ZYwXYHOZYwXYHOZYwXYHO分析管子各段对投影面的位置分析管子各段对投影面的位置分析管子各段对投影面的位置3直线上的点点和直线的相对位置有两种情况：点在直线上或点不在直线上直线上的点的投影特点cAHacaVbBabcCbW′′′″″″从属性：若点在直线上,则点的投影必在直线的同面投影上。

cacXabcYYbOaZb′″′′″″定比性：点的投影将线段的同面投影分割成与空间线段相同的比例。即：AC:CB=ac:cb=a

c

:c

b=a

c

:c

b

定比定理例2.6：已知点K在线段AB上，求点K正面投影。解法一：（应用第三投影）解法二：（应用定比定理）●aa

b

bka

b

●k

●k

●aa

b

bk●●k

●XZOXYHYW应用第三投影应该怎么做？？c

例2.7

已知ab

、a

b

、c

，且点C在直线AB上，求作它们的三面投影。作图作出点A和点B的侧面投影；连接a

b

；求点c和点c

。ZYwXYHOa

b

b

c

a

acb例2.8判断点C是否在线段AB上。②c

abca

b

●●abca

b

c

①●●在不在a

b

●c

●●aa

b

c

b③c不在应用定比定理另一判断法?4直线段的实长和投影面的倾角WVHGHh’hh”g”gg'GVGW

..△YGH

△XGH

△ZGH

.GH

h’hgg'OX.g’h'△YGHLGH

例：求线段HG的实长及其与投影面V的夹角。求线段HG的实长可利GHGH、GHGV、GHGW任一个直角三角形；而夹角

、

、

则分别在不同的三角形中。△YGHαβγ倾角投影面投影△HVWaba

b

a

b

△Z△Y△X5两直线的相对位置空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉（异面）。a两直线平行

空间两直线平行，则其各同面投影必相互平行，反之亦然。bcdHAd

aCcVaDbB

acdbc

dabOX

例：判断图中两条直线是否平行。

对于一般位置直线，只要有两组同名投影互相平行，空间两直线就平行。AB与CD平行。AB与CD不平行。

对于特殊位置直线，只有两组同名投影互相平行，空间直线不一定平行。a

b

c

d

cbadd

b

a

c

②b

d

c

a

①abcdc

a

b

d

例：已知AB

平行CD

,求直线CD

的水平投影。abca'b'c'Xd'dOb两直线相交

若空间两直线相交，则其同面投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影特性。交点是两直线的共有点a

c

VXb

HDacdkCAk

Kd

bOBcabdb

a

c

d

kk

例：判断直线AB、CD的相对位置。′c′′a′bdabcd相交吗？不相交！为什么？

交点不符合空间一点的投影特性。判断方法？⒈应用定比原理⒉利用侧面投影X例：已知AB

与CD

相交,求直线CD

的水平投影。a'ab'bcc'd'XdO例：直线GH

与直线AB、EF

相交,并与CD

平行，求作直线GH

的两面投影(点G、H

分别在直线AB,EF

上)。h'g'(b')a'abcdd'c'Xee'ff'ghOc两直线交叉为什么？两直线相交吗？不相交！

交点不符合一个点的投影规律！cacabddbOX′′′′accAaCVbHddDBb′′′′accAaCVbHddDBb′′′′cacabddbOX′′′′1(2)●2●′1●′投影特性：★同面投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。★“交点”是两直线上的一对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。211(2)ⅡⅠ′′●●●●●′′Ⅳ43(4)3Ⅲ●●●●●●3(4)34●●′′1.5面的投影1平面的表示法2各种位置平面的投影特性3平面上的点和直线1平面的表示法不在同一直线上的三个点直线及线外一点abca

b

c

●●●●●●d●d

●两平行直线abca

b

c

●●●●●●两相交直线任意平面图形c

●●●abca

b

●●●c●●●●●●aba

b

c

b●●●●●●aca

b

c

以上五种平面的表示方法可以相互转化，其中平面图形最为常用2各种位置平面的投影特性垂直倾斜投影特性★平面平行投影面——投影就把实形现★平面垂直投影面——投影积聚成直线★平面倾斜投影面——投影类似原平面实形性类似性积聚性a平面对一个投影面的投影特性平行b平面在三投影面体系中的投影特性平面对于三投影面的位置可分为三类：投影面垂直面

投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜

正垂面

侧垂面

铅垂面

正平面

侧平面

水平面⑴投影面垂直面:垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面垂直于H面，同时倾斜V、H面时，称为铅垂面垂直于V面，同时倾斜H、W面时，称为正垂面垂直于W面，同时倾斜H、V面时，称为侧垂面铅垂面正垂面侧垂面教材P36：表2.3c

c

为什么？是什么位置的平面？abca

b

b

a

类似性类似性积聚性铅垂面γβ投影特性：

在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。另外两个投影面上的投影为类似性。⑵投影面平行面平行于某一投影面，垂直于另两个投影面平行于H面，称为水平面平行于V面，称为正平面平行于W面，称为侧平面教材P37：表2.4水平面正平面侧平面a

b

c

a

b

c

abc积聚性积聚性实形性水平面投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映实形。

另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。⑶一般位置平面三个投影都是类似性。投影特性：a

c

b

c

a

●abcb

例：正垂面ABC与H面的夹角为45°，已知其水平投影及顶点B的正面投影，求△ABC的正面投影及侧面投影。45°81例2.6

已知一平面图形为侧垂面，其两面投影如图所示，求其第三面投影。求各顶点的水平投影；顺序连线得到第三面投影。82例2.11

判断平面立体上两面P和Q相对于投影面的位置。平面P为正垂面平面Q为水平面练习：求平面ABC

上点K

的正面投影。aa'b'c'bckXk'O三角形平面ABC是平面练习：根据立体的三面投影,判断三角形平面ABC是什么位置平面。a'c'b'cbaa"c"b"ACBXZ一般位置YHYwO练习：补全平面ABCDE的水平投影。a'e'b'ead'dXc'bcO分析板的尺寸及对投影面的位置分析板的尺寸及各面对投影面的位置

分析板的尺寸及对投影面的位置

分析板的尺寸及各面对投影面的位置

作业1：求平面图形的侧面投影。XZYHYwO作业2：在三角形平面上分别过点A

作水平线,过点C

作正平线的两面投影。a'c'b'cbaXO3平面上的点和直线位于平面上的直线应满足的条件：a平面上取任意直线●●MNAB●M若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。若一直线过平面上的一点且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。PQabcb

c

a

d

d例：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平面内任作一条直线。解法一:解法二:有多少解？有无数解！n

●m

●n●m●abcb

c

a

例：在平面ABC内作一条水平线，使其到

H面的距离为10mm。n

m

nm10c

a

b

cab

唯一解！有多少解？b平面上取点

先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。即：点在线上，则点在面上。例：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。baca

k

b

●①c

面上取点的方法：利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解首先面上取线k●d

d②●abca

b

k

c

k●bckada

d

b

c

k

b例：已知AC为正平线，补全平行四边形

ABCD的水平投影。解法一:解法二:cada

d

b

c

ded

e

1010m

●m●例：在△ABC内取一点M，并使其到H面V面的距离均为10mm。bcXb

c

aa

O1.6直线与平面及两平面的相对位置相对位置包括平行、相交和垂直。1、平行问题

2、相交问题1、平行问题

直线与平面平行

平面与平面平行包括a直线与平面平行

若平面外的一直线平行于平面内的某一直线，则该直线与该平面平行。n

●●a

c

b

m

abcmn例：过M点作直线MN平行于平面ABC。有无数解有多少解？d

d101例2.10过点E作水平线EF与平面ABCD平行。

分析在平面内任作一条水平线，过点E作这条线的平行线。

作图唯一解正平线例：过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。唯一解c

●●b

a

m

abcmnn

d

d103直线与特殊位置平面平行时，直线必有一个投影平行于该平面的积聚投影。当直线与平面都垂直于某投影面时，其积聚的投影必在同一投影面内。104例：判断图中的直线与△平面平行否。(a)(b)(c)(d)(e)答：△∥b、c、d、eb两平面平行①若一平面上的两相交直线分别平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。教材P41图2.33②若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。教材42图2.35c

f

b

d

e

a

abcdeff

h

abcdefha

b

c

d

e

acebb

a

d

dfc

f

e

khk

h

OXm

m由于ek不平行于ac,故两平面不平行。例：判断平面ABDC与平面EFHM是否平行,

已知AB∥CD∥EF∥MH例：已知平面ABC和平面DEFG平行,求平面DEFG的水平投影。a'c'b'cbad'e'g'f'd(g)Xe(f)O

直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。2、相交问题直线与平面相交平面与平面相交a直线与平面相交要讨论的问题：●求直线与平面的交点。

●

判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见性。

我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。●●109分析：当直线或平面垂直于投影面时，该投影面上的投影积聚成点或直线。此时，可在积聚性元素投影上直接确定出交点或交线的该面投影，再根据从属性确定出交点或交线的其他投影。作图：求交点判别可见性⑴一般位置直线和特殊位置平面相交110例2.12

求直线MN与平面△ABC的交点K，并判别可见性分析平面△ABC为正垂面，其正面投影具有积聚性。交点是两相交元素共有的点。⑴一般位置直线和特殊位置平面相交1

(2

)空间及投影分析

平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与mn的交点即为K点的水平投影。①求交点②判别可见性

由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上k

n

为可见。还可通过重影点判别可见性。作图用线上取点法⑴一般位置直线和特殊位置平面相交abcmnc

n

b

a

m

k

●k●2●1●●练习：求直线EF

与平面ABC

的交点，并补全直线EF

的水平投影。a'c'b'cbae'f'efXO练习：求直线EF

与平面ABCD

的交点，并完成其正面投影。XOa'c'b'b(c)a(d)e'f'efd'1

(2

)km(n)b●m

n

c

b

a

ac⑵特殊位置直线和一般位置平面相交空间及投影分析

直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。①求交点②判别可见性

点Ⅰ位于平面上，在前；点Ⅱ位于MN上，在后。故k

2

为不可见。k

●2

●1●作图用面上取点法●b两平面相交

两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。要讨论的问题：⑴求两平面的交线方法：①确定两平面的两个共有点。②确定一个共有点及交线的方向。

只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。⑵判别两平面之间的相互遮挡关系，即：

判别可见性。116作图求交线；判别可见性。（3）一般位置平面与特殊位置平面相交分析一般位置平面△ABC与铅垂面P相交，交线MN是两平面共有的直线段。端点M、N分别是直线AB、BC与平面P的交点。117例2.13求平面△ABC与平面△DEF的交线MN，并判别可见性。

分析平面△DEF为正垂面，其正面投影具有积聚性。可通过正面投影直观地进行判别。abcdefc

f

d

b

e

a

m

(n

)空间及投影分析

平面ABC与DEF都为正垂面，它们的交线为一条正垂线，两平面正面投影的交点即为交线的正面投影，交线的水平投影垂直于OX轴。①求交线②判别可见性作图

从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。n●m●●能!如何判别？例：求两平面的交线

MN并判别可见性。能否不用重影点判别？OXabcdefc

f

d

b

e

a

m

(n

)●例：求两平面的交线

MN并判别可见性。①求交线②判别可见性作图

从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。m●n●空间及投影分析

平面ABC与DEF都为正垂面，它们的交线为一条正垂线，两平面正面投影的交点即为交线的正面投影，交线的水平投影垂直于OX轴。OXa′abd(e)e′b′d′h(f)cf′c′h′1(2)′′空间及投影分析

平面DEFH是一铅垂面，它的水平投影有积聚性，其与ac、bc的交点m

、n

即为两个共有点的水平投影，故mn即为交线MN的水平投影。①求交线②判别可见性

点Ⅰ在MC上，点Ⅱ在FH上，点Ⅰ在前，点Ⅱ在后，故mcn

可见。作图2●1●m′●m●n●●n′●abd(e)e′b′d′h(f)cf′c′h′空间及投影分析

平面DEFH是一铅垂面，它的水平投影有积聚性，其与ac、bc的交点m

、n

即为两个共有点的水平投影，故mn即为交线MN的水平投影。①求交线②判别可见性

点Ⅰ在MC上,

点Ⅱ在FH上，点Ⅰ在前，点Ⅱ在后，故mcn可见。作图m●n●n′●m′●c

d

e

f

a

b

abcdef投影分析

N点的水平投影n位于Δdef的外面，说明点N位于ΔDEF所确定的平面内，但不位于ΔDEF这个图形内。

所以ΔABC和ΔDEF的交线应为MK。n●n

●m

●k●m●k

●互交c

d

e

f

a

b

abcdef互交m●k●k

●m

●投影分析

N点的水平投影n位于Δdef的外面，说明点N位于ΔDEF所确定的平面内，但不位于ΔDEF这个图形内。

所以ΔABC和ΔDEF的交线应为MK。124例2.18求平面P与平面Q的交线MN，并判别可见性。

分析平面P和平面Q均为铅垂面，其交线必为铅垂线。(4)两特殊位置平面相交练习：求平面ABC

与平面EFGH

的交线，并完成其V

面的投影。XOa'c'b'e(h)f(g)e'cag'f'h'b练习：已知两