2015-2021七年高中数学联赛真题分类汇编 48平面解析几何第八讲（学生版+解析版）

2015-2021七年高中数学联赛真题分类汇编

专题48平面解析几何第八讲

1.【2016年浙江预赛】已知椭圆C:冬+3=l(a>b>0),经过点P(3,号)，离心率为|。过椭圆C的右焦点

作斜率为k的直线2,与椭圆C交于4、B两点，记P4、PB的斜率分别为七、七。

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若七+七=0,求实数鼠

2.【2016年新疆预赛】设过原点且斜率为正值的直线与椭圆9+V=1交于点从F,点4(2,0),5(0,1).求

四边形4EBF面积的最大值.

3.【2016年四川预赛】已知抛物线y2=2px过定点C(I,2),在抛物线上任取不同于点C的一点A,直线

AC与直线y=x+3交于点P,过点P作x轴的平行线，与抛物线交于点B.

(1)证明：直线AB过定点；

(2)求AABC面积的最小值.

4.【2016年江苏预赛】在平面直角坐标系xOy中，点P(2,l)在椭圆C:1+：=l上，不经过坐标原点。的

直线1与椭圆C交于A、B两点，且线段AB的中点为D,直线OD的斜率为1.记直线PA、PB的斜率分

别为灯、k2,证明:七七为定值.

5.【2016年湖南预赛】设椭圆。5+，=1(°>6>0)经过点(0,国)，离心率为右直线，经过椭圆C的右焦

点、F,与椭圆C交于点4、B,4、F、B在直线x=4上的射影依次为。、K、E.

(1)求椭圆C的方程.

(2)联结4E、BD,当直线1的倾斜角变化时，直线4E与BD是否交于定点？若是，求出定点的坐标并给予证

明；否则，说明理由.

6.【2016年湖北预赛】过抛物线y2=2px(p>0)外一点P向抛物线作两条切线，切点为M、N,F为抛物

线的焦点.证明：

(1)\PF\2=\MF\\NF\；

(2)Z.PMF=4FPN.

7.[2016年河南预赛】如图，已知人8为椭圆r：，+?=1在左、右顶点，直线I与椭圆r交于点M、N。

设AM、BN的斜率分别为自、k2,且自：k2=\：9。

(1)证明：直线，过定点;

(2)记44MN、4BMN的面积分别为Si、S2,求Si-S2的最大值。

8.【2016年甘肃预赛】已知F为椭圆合+y2=1(。>0)的右焦点，M(m,0)、N(0,n)分别为x轴、y轴上

的动点，且满足丽•NF=0.设点P满足的=2ON+PO.

(1)求点P的轨迹C.

(2)过点F任作一直线与轨迹C交于A、B两点，直线OA、OB与直线x=-a分别交于S、T(O为坐标

原点)，试判断的•可是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.

9.【2015年全国】在平面直角坐标系xOy中，&、F2分别为椭圆三+f=1的左、右焦点.设不经过焦点居的

直线I与椭圆交于两个不同的点4、B,焦点尸2到直线，的距离为d.若直线八Ba的斜率依次成等差数列，

求d的取值范围.

10.(2015年浙江预赛】已知椭圆G：*+'=l(a>b>0)的离心率为苧，右焦点为圆的：(x-V3)2+y2=

7的圆心.

(1)求椭圆G的方程；

(2)若直线1与曲线6、G各只有一个公共点，记直线(与圆的公共点为4求点4的坐标.

11.【2015年上海预赛】在直角坐标平面X。)，上，已知点4、8在双曲线C：2x2+4x-y2=0±,且使得

△ABC是以。为直角顶点的等腰直角三角形.求所有这样的4。4B的个数.

12.【2015年上海预赛】在平面直角坐标系xOy中，以M(0,1)为圆心的。M与抛物线y=x?依次交于

A、B、C、D四点.

(1)求。M的半径r的取值范围；

(2)求四边形ABCD面积的最大值(精确至.

13.【2015年天津预赛】已知正zL48c内接于抛物线％=y2,LC的重心P落在双曲线盯=1上.求点P的坐

标.

14.(2015年四川预赛】过双曲线/一?=1的右支上任意一点P(&,yo)作一直线1与两条渐近线交于点A、

B=若P为AB的中点，证明:

(1)直线1与双曲线只有一点交点；

(2)AOAB的面积为定值。

15.[2015年陕西预赛】如图，在直角坐标系中，。。:/+y2=4与％轴的正半轴交于点4，Q

A:(x—2/+y2=r2(r>0)与O0交于B、C两点.

(1)求荏•冠的最小值；

(2)设P为。。上异于8、C的任一点，直线PB、PC与x轴分别交于点M、N,求SAPOMSNON的最大值.

16.(2015年山西预赛】给定圆P-.x2+y2=2x及抛物线S：y2=4x,过圆心P作直线/,此直线与上述两曲

线的四个交点，自上而下顺次记为A、B、C、。，如果线段AB、BC、8的长按此顺序构成一个等差数列,

求直线/的方程.

17.【2015年山东预赛】已知椭圆G：箕+，=1,不过原点的直线，与椭圆交于A、B两点.

(1)求△。4B面积的最大值.

(2)是否存在椭圆C2,使得对于椭圆C2的每一条切线与椭圆Q均相交，设交于A、B两点，且4。阳恰取最大值?若

存在,求出该椭圆;若不存在，说明理由.

18.【2015年辽宁预赛】在双曲线C：?一?=1中，瓦、尸2分别为双曲线C的左、右两个焦点，P为双曲线

上且在第一象限内的点，ZIPF1F2的重心为G，内心为/.

(1)是否存在一点P,使得/GII&F2?

(2)设4为双曲线C的左顶点，直线，过右焦点尸2，与双曲线C交于M、N两点.若AM、AN的斜率自、心满足

均+七=一5求直线[的方程.

19.【2015年江西预赛】对于任意给定的无理数a、b及实数r>0,证明：圆周(x-。尸+(y-人>=N上至

多只有两个有理点(纵、横坐标均为有理数的点)。

20.【2015年江苏预赛】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆：C:[+[=1的右焦点为F,过点F的直线1

2718

与椭圆C交于A、B两点，试问：在x轴上是否存在定点P,使得当直线1绕点F旋转时，均有西•方为

定值？

21.(2015年吉林预赛】己知椭圆G:?+y2=1,直线，与椭圆G交于点力、B,且[48|=2.判断直线I与。

O:/+y2=i的位置关系，并给出证明.

22.【2015年湖南预赛】如图，A、B为椭圆冬+3=19>8>0)与双曲线冬一3=1的公共顶点，P、Q分

别为双曲线和椭圆上不同于的动点，且满足丽+丽=4(而+的)(46R,|4|>1).

证明：(1)。、P、Q三点在同一直线上；

(2)若直线AP、BP、AQ.BQ的斜率分别为自、心、心，则自+心+的+心为定值

23.(2015年湖北预赛】设平面点集A={(x,y)|(y一x)(y-段)>0j,B={(x,y)|(x-l)2+(y-I)2<

1}.若(x,y)eActB,求2x-y的最小值.

24.[2015年湖北预赛】过直线x-2y+13=0上一动点A(4不在y轴上)作抛物线y?=8x的两切线，M、N

为切点，直线4"、AN分别与y轴交于点B、C.证明：

(1)直线MN恒过一定点；

(2)21ABC的外接圆恒过一定点，并求该圆半径的最小值.

22

25.[2015年黑龙江预赛】如图，椭圆xr+=v=l(a>b>0)的左焦点为F,过点F的直线交椭圆于A,

ab

B两点,|AF|的最大值是M,|BF|的最小值是加，且满足M•,〃=?3a2,.

4

(1)求幡圆的离心率；

(2)设线段A8的中点为G,线段A6的垂直平分线与x轴、y轴分别交于。，E两点,。是坐标原点，

记AGR。的面积为加，AOEO的面积为$2,求式温的取值范围.

26.【2015年河南预赛】如图，过椭圆aM+by2=i(/,>a>0)中心0的直线4、％分别与椭圆交于点

A、E、B、G,且直线。、，2的斜率之积为一(，过点A、B作两条平行线，3、，4,设G与，3、。与〃、CD与MN

分别交于点M、N、P.证明:OP〃/3.

27.【2015年甘肃预赛】已知椭圆C:1+1=19>6>0)的左、右焦点为B、F2,设点F2与椭圆短轴

的一个端点构成边长为4的正三角形.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过椭圆C上任意一点P作椭圆C的切线与直线的垂线交于点M,求点M的轨迹方程；

(3)若切线MP与直线x=-2交于点，证明:黑为定值.

\MF1\

28.【2015年福建预赛】已知过点P(0,l)、斜率为k的直线，与双曲线C：%2一?=1交于小8两点.

(1)求k的取值范围；

(2)若尸2为双曲线C的右焦点，且伊「2|+|BFzl=6,求k的值.

29.【2015年福建预赛】在坐标平面内，横、纵坐标均为整数的点称为整点，三个顶点均为整点的三角形称

为整点三角形.求以/(2015,7x2015)为内心且直角顶点在原点。的整点RMCMB的个数.

30.【2015高中数学联赛（第01试）】在平面直角坐标系xOy中，Q,&分别是椭圆J+y?=1的左、右

焦点.设不经过焦点Fi的直线/与椭圆交于两个不同的点A,B,焦点八到直线/的距离为".如果直线

AFy,I,8昌的斜率依次成等差数列，求d的取值范围

2015-2021七年高中数学联赛真题分类汇编

专题48平面解析几何第八讲

1.【2016年浙江预赛】已知椭圆C:^+5=l(a>b>0),经过点P(3,£),离心率为|。过椭圆C的右焦点

作斜率为k的直线与椭圆C交于A、B两点，记24、PB的斜率分别为七、心。

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若七+七=0,求实数鼠

【答案】(1)[+<=1；(2)/c=|

25165

【解析】

⑴由已知得总+罪=1，普吗=。2=25,*16.故椭圆方程为各会1.

(2)易知，椭圆右焦点坐标为(3,0).

(i)当0<k<+8时，直线Ly=fc(x—3).与椭圆方程联立得(16+25fc2)x2—150fc2x+225k2—400=0.

设4(%1，%)，8(次,、2)-则/+物=燃，，x/2=2：W°•又以=写,为=暮,且%=乂/-3),

y=fc(x-3),故七+七=1536-2560/c=0c=->f7c=-3.

225(16+25〃2)(必一3)(0一3)5

(ii)当k=0时，自=|,的=一(则3+攵2=—：工0，不符合题意.

(iii)当k不存在时，七、七均不存在，不符合题意.

综上，k=|.

2.【2016年新疆预赛】设过原点且斜率为正值的直线与椭圆?+y2=1交于点从F,点4(2,0),求

四边形4EBF面积的最大值.

【答案】2V2

【解析】

易知(4B：x+2y=2.

设直线EF的斜率为k.

则GF。=kx(k>0).

设E(xi，/cxi),F^x2,kx2)(x1<x2).

由点E、F在椭圆上，知与、满足方程(1+轨2)产=4.

从而，=­，一2节,%2=J

1Vl+4fc2/V1+4k2

由点到直线的距离公式，知点E、尸到直线48的距离分别为

,_M+2依］一2|_2(l+21+Jl+4k2)

1-V5-J5(1+4N)，

,_|一2+2收2-2|_2(l+2k+Jl+4k2)

2―场-—V5(l+4k2)-'

乂|4B|=>/5,则四边形4EBF的面积为

s=$48151+电)

4(1+2k)

=1xV5x-

J5(1+4H)

1+4/c2+4k

=2

~1+4k2-

=1+i—szvz.

k+4k

当且仅当q=4k,即k时，上式等号成立.从而，S取得最大值2企.

3.【2016年四川预赛】已知抛物线y2=2px过定点C(1,2),在抛物线上任取不同于点C的一点A,直线

AC与直线y=x+3交于点P,过点P作x轴的平行线，与抛物线交于点B.

(1)证明：直线AB过定点；

(2)求AABC面积的最小值.

【答案】(1〉见解析；(2)4V2

【解析】

如图.

(1)由抛物线f=2Px过定点C(l,2),得抛物线方程为y2=4x.

设点4(9,为)仇力2).

则，.、一2=t(％-1),即丁一2=嘉(％-1),与y=x+3联立解得点P(安，宣)

于是，B(黯，螃)•

当羽=12时，4(3,%)，B(3,空匚灯，加过定点Q⑶2).

当y»12时，4k谭至，

2yo-12

彳一。0-2)2

易得，匕8也过定点Q(3,2).

(2)由(1)可设匕8：x—3=m(y—2).

与抛物线方程联立得y2-4my+4(2m-3)=0

则yi+%=4m,y1y2=4(2m—3),

22

s4ABe=1\CQ\\y!-y2\=lyi-y2l=V(yi-y2)-4yiy2=47(m-i)+2.

当m=l时，AABC面积的最小值为4位.

4.【2016年江苏预赛】在平面直角坐标系xOy中，点P(2,l)在椭圆C：W+《=1上，不经过坐标原点。的

直线1与椭圆C交于A、B两点，且线段AB的中点为D,直线0D的斜率为1.记直线PA、PB的斜率分

别为自、k2,证明:自心为定值.

【答案】见解析

【解析】

设4(xi，yj,B(x2,y2').则。(上^包,左詈).

依题意有岫0=1.

故/+%2=%+•①

由点A、B在椭圆上得M+*=l，M+*=1

o3o3

=掾+y=0=%—必+2(乃—%)=()・②

联立式①、②解得勺=二警,x2=包产.

由9+苧=1,得上第直+9=33（比+嫡=8+2%人

故女k=_外%一仇+-2）+1

N12）（）

（工1-2*2-2X1X2-2（X1+X2）+4

_，1。2七1+力）+1_力-2-31+力）+1_£（宇俏）

7

--3（资+*）+10门力2（齐1%）14-2yiy2-2-2（y1+y2+4）~2'*

5.【2016年湖南预赛】设椭圆C:捻+\=1(。>6>0)经过点(0,8)，离心率为右直线I经过椭圆C的右焦

点F,与椭圆C交于点4、B,4、F、B在直线x=4上的射影依次为。、K、E.

(1)求椭圆C的方程.

(2)联结4E、BD,当直线，的倾斜角变化时，直线4E与BD是否交于定点？若是，求出定点的坐标并给予证

明；否则，说明理由.

【答案】(1)C:=+?=1⑵N(|,0)

【解析】

(1)据椭圆经过点(0,、③知b=V3.

贝I］由e=f=、7-"=2.=a=2.

aa2

故椭圆C:9+［=1.

(2)当直线［的斜率不存在时，直线/_Lx轴，则四边形4BEO为矩形.

由对称性，知直线4E与BD交于FK的中点N6,。).

卜面证明：当直线1的斜率存在时，直线4E与8。交于定点N(|,0).

如图.

设4(勺，%)，8(*2,乃)，。(4必)，E(4,y2),lAB:y=k(x-1).

联立椭圆C的方程，消去y得关于x的方程

2

(3+4k2)%2_8k2x+4/c-12=0

,8fc2

—Xi+X7=

1/3+4k21/3+4/C2*

注意到，，―七(x-4).

当X=I时,

k(%2—%i)3

y=k(%2T)一

4一与2

5k(X[+x2)-2kxi必一8k

2(4-xj

一耿(3+4/2)-2k(4d-12)+528法20,即点N(|,0)在直线4E上.

2(4-X1)(3+4k2)

类似地，点N(|,0)在直线BD上.

从而，当直线I的倾斜角变化时，直线4E与BD交于定点N(|,0).

6.【2016年湖北预赛】过抛物线y2=2px(p>0)外一点P向抛物线作两条切线，切点为M、N,F为抛物

线的焦点.证明：

(1)|PF|2=\MF\\NF\；

(2)ZPMF=乙FPN.

【答案】(1)见解析；(2)见解析

【解析】

设P(x(),yo)，MG[,外),N(%2，y2).易求得切线PM：%y=p(x+xj,

切线PN：y2y=p(x+x2).

因为点P在两条切线上，所以，

y/0=p(a+Xi)，y2yo=p(&+x2).

故点M、N均在直线y()y=p(x+尤o)上.

于是，IMN-VOV=p(x+xo).

联立[y°y=p(“+X。)’

(y2=2px

2

n(p(x+x0))=2Px据

=>X2+2X+Xo=0.

由韦达定理知

Xi+X2=2(y-X0),XAX2=xl，

(1)易知，FQ,O).

由抛物线的第二定义得

VV

|MF|=x1+-,\NF\=X2+-

n\MF\\NF\=(xj+1)[x2+

2

—xx+7(%i+x)+—

x2L24

p2

=x5+yS-px0+—

2

=(^o-0+yo=IP『E

因此，|PF|2=\MF\\NF\.

-,y2

(2)由而=(x()_(,%)，FM=(xt-pyi)'=(x22),知

丽•丽=(&_*yo),-|.yi)

pp2

=々Xi-5a。+%。+a+y°yi

pp2

=XO%1-2Oo+Xi)+彳+p(x0+Xl)

pp2

—%o%i+7(%o+%i)+—

=(x0+1)(x1+1)

又|MN|=XI+3则

FPFM

cosZ.PFM

\FP\\MF\

(&+2)(X1+2)_x»+2

IFPI^+I)—1叫

类似地‘coszPFM=

故cosziPFM=cos乙PFN

0Z.PFM=Z.PFN.

结合|PF|2=\MF\\NF\,得4MFP-APFN="MF=乙FPN

7.[2016年河南预赛】如图，已知4、B为椭圆「；||+?=1在左、右顶点，直线，与椭圆「交于点M、N。

设力M、BN的斜率分别为自、k2,且七：的=1：%

(1)证明：直线，过定点;

(2)记ZL4MN、4BMN的面积分别为Si、S2,求S1-S2的最大值。

【答案】(1)见解析；(2)15

【解析】

(I)如图.

引入伸缩变换T：(x,y)—(%,|»

则椭圆r在变换r下的像为圆：

x2+y2=25.

由5=1=>幺也=券=士

k293/N，毅29

设MW'与x轴交于点G'.

r|.|l_kA,m,_tanzM，48,_\M>Br\|N，B，|__\BIGI\|G，N，|_|B，G，|

sJ

9-kBfNf~tanz.NfBiAr~|M，A，|\N(Af\~\NIAI\\MiAf\—|G，N，|\AfGi\~\AiG>\

因此，点G'(4,0),直线l过定点G.

(2)不妨设F'(4,0).则

Si-52=-^AA'M'Ni—gSqs/M'N，=gC^AA'M'N'~S&B，M，N，)=5^AF'M'N'=^AO'MINI=5X

^\O'M'\\O'N'\smz.M'O'N'<|xix5x5sin900=15,

当且仅当O'WlO'N'时，上式等号成立.

因此，Si-52的最大值为15.

8.【2016年甘肃预赛】已知F为椭圆三+y2=i(a>o)的右焦点，M(m,0)、N(0,n)分别为x轴、y轴上

的动点，且满足而•~NF=0.设点P满足万W=2ON+PO.

(1)求点P的轨迹C.

(2)过点F任作一直线与轨迹C交于A、B两点，直线OA、OB与直线x=-a分别交于S、T(O为坐标

原点)，试判断丽•可是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.

【答案】(1)产=4的⑵见解析

【解析】

(1)由题意知F(a,0).

于是,NF=(a,-n).

又MN=(—m,n),由MN•NF=0,得n?+am=0.

设点P(x,y).

由丽=2ON+而今(m,0)=2(0,n)+(一招-y)

y

=>m=—x,n=-.

代入n?+am=0,得/=4ax.

⑵设骁B：X=ty+a,A爵,、1),8谱,丫2).

则Li：y=?x』oB：y=?*.

yiy?

KW-

类似地，T(-a,-零).

故丽=(-2a,-不)，丙=(­2a,芥)

=^FS-FT=4a2+—.

.fx=ty+a,

o92

由(y2=4ax=必_4aty-4〃=°=yiy2=-4a

^FS-FT=4a2+=4a2-4a2=0(定值)

-4a2

9.【2015年全国】在平面直角坐标系久Oy中，&、尸2分别为椭圆9+y2=1的左、右焦点.设不经过焦点&的

直线I与椭圆交于两个不同的点4、B,焦点尸2到直线1的距离为d.若直线4鼻、八Ba的斜率依次成等差数列,

求d的取值范围.

【答案】dG(V3.2)

【解析】

由条件，知点Fi(-1,0)、F2(l,0).

设直线/:y=kx+m,点A(Xi，yi),B(x2,y2).

则、小满足1+(kx+m)2=1,即

(2k2+l)x2+4kmx+(2m2-2)=0.①

由于点A与B不重合，且直线2的斜率存在，故打、为方程①的两个不同实根.

因此，式①的判别式

4=(4/cm)2—4(2/c2+l)(2m2—2)

=8(2fc2+1-m2)>0

2fc2+1>m2.②

由直线4Fi、I、B0的斜率上、k、吃依次成等差数列，知

Xj+l

yi,72

----7+----7=2k

%1+1%2+1

=(fc%1+m)(x2+1)+(fc%2+.)(%i+1)=2kg+l)(x2+1)

=>(m—k)Q：i+冷+2)=0.

假设m=丘则直线2的方程为y=k%+k,即/经过点Fi(—l,0),不符合条件.

因此，jq+&+2=0.

故由方程①及韦达定理知

4km

五甲=一（无】+犯）=2

=zn=k+③

2k

由式②、③知

1

2忆2+1>租2=(k+)2

Z/C

=/＞上=网＞立

4k2112

反之，当m、k满足式③及|k|＞当时，直线/必不过点Fi（否则，将导致m=k,与式③矛盾）.

而此时m、k满足式②，故直线，与椭圆有两个不同的交点4、B,同时，也保证了4&、的斜率存在（否

则，与、冷中的某一个为一1，结合/+%2+2=0,知与=%2=-1，与方程①有两个不同的实根矛盾）.

又点尸2（1,0）到上y=kx+ni的距离为

\k4-m\11

=去（2+短）④

物+1

注意到，生|＞孝.

故式④可改写为

d=7（7+|）=j（t+|）-⑤

考虑到函数f（t）=［（t+|）在区间口,遮］上单调递减，故由式⑤得

/(V3)<d</(l)=>de(V3(2).

10.【2015年浙江预赛】已知椭圆的:2+，=l(a>b>0)的离心率为圣右焦点为圆C2：(%-+丫2=

7的圆心.

(1)求椭圆a的方程；

(2)若直线，与曲线G、。2各只有一个公共点，记直线I与圆的公共点为4,求点4的坐标.

【答案】(1)9+y2=1；(2)4(0,2)和4(0,-2)

【解析】

(1)设椭圆G的半焦距长为c.

C=V3,(n-7

则£=渔=忆3

a2

从而，椭圆方程为9+y2=i.

(2)当直线，的斜率不存在时，显然不满足题意.

当直线/的斜率存在时，设直线1的方程为y=+、巾€/?),点4(乙,%).

42

T+y2=L消去y得

{y=依+犯

(1+4/c2)x2+8kmx+4m2—4=0.①

故4=16(4/—m2+1)=0,即

4fc2-m2+1=0.②

联立方程［(X—6)2+y2=7,消去y得

(y=kxjn,

(1+k2)x2+2(km—V3)x4-m2—4=0.③

故A2=16(4/c2—m2—2y/3mk+7)=0,即

4k2—m2—2V3mk4-7=0.④

②一④得km=V3.

将上式代入式③得当=一*=0.

上式代入圆。2得以—±2.

经检验，4(0,2)和4(0,-2)符合题意.

从而，点4(0,2)和4(0,-2).

11.【2015年上海预赛】在直角坐标平面xOy上，已知点A、8在双曲线C：2M+4x-y2=()上，且使得

△力BC是以0为直角顶点的等腰直角三角形.求所有这样的4。4B的个数.

【答案】三个

【解析】

设‘CM：y=kx（k力0）.

则，oB：y=-\x.

+4x-y2=0=(2-1)r+4“=0n2-k2HoM=忌=>|071|=V1+F|_L_|.

类似地，1。引=小+(或能

=N舄♦

因为AOAB是以。为直角顶点的等腰直角三角形.所以，\OA\=\OB\.

故旧”后卜五”|四|

=>--1-=H-.---k--

k2-2~2k2-1

若=---

k2-22k2-1

=>fc3-2fc2-2fc+l=0

=(k+1)(A:2-3/c+1)=0

nk—Ik—3-遥卜—3+疗

若」一=卜

""2_2-2k2-l

n4+21-2/c+1=0

=(k+1)(/+3/c+1)=0

0k1L--3—-k--3+'后

0%4=—&“5-2,凡6—2.

因为氏%=&&=&稣=一1,所以，由口、%得到的两个三角形是相同的.类似地,由心、区得到两个三

角形是相的同的，由心、腕得到的两个三角形也是相同的.

综上，满足△48C题意的共有三个.

12.【2015年上海预赛】在平面直角坐标系xOy中，以M(0,1)为圆心的。M与抛物线y=x?依次交于

A、B、C、D四点.

(1)求。M的半径r的取值范围；

(2)求四边形ABCD面积的最大值(精确到10").

【答案】(1)(2)1.0887

【解析】

设。M的方程/+(y-1)2=".与抛物线方程联立得

y2-y+l-r2=0①

由题意及0M与抛物线均关于y轴对称，故设

4(*2，y2)，8(1，%)，«2，2)，X1%272>O.Xi<

一一工孙%),。(％、其中，、、%、X2.

(1)因为方程①必有两个不同的正实数根，所以，

(zl=1-4(1-r2)>0,L

_v34

1-r2>0,^—<r<l.

r>0

故。M的半径r的取值范围是(9,1).

(2)因为四边形ABCD为梯形，所以，

S梯形ABCD=—71)(2%!+2%2)=(%—+%2)・

由方程①知

71+72=Ly，2=1-"，

xi=\[yi»x2=

故S梯形ABCD=J(%+丫2尸-4yly2J(收+伍)2

=V1-4(1-r2)Jl+271-r2

=J(4r2—3)(1+2V1—r2)(当<r<1).

利用图形计算器，得四边形ABCD的面积的最大值为1.0887.

此时，r=0.9860.

13.[2015年天津预赛】已知正44BC内接于抛物线x=y2,21ABe的重心P落在双曲线秒=1上.求点P的坐

标.

【答案】P(3,f

【解析】

设4(非,％),B(资2)，。(谒,丫3)，48、8c的中点分别为F、。.则A4BC为正三角形当且仅当为、y2,'3互

不相等，HAD1BC,CF1AB.

于是，°(遗产，空)

再由4D1BC,y2丰y3,得

（y2-yi）（力；灼-资）+（y2-%）伊.产-yi）=0

=（丫2+丫3）（凫+蟾一2*）+（、2+丫3-2yJ=0①

类似地，由CF1AB,yi*y2,得

（%+光）（秃+%+2资）+（%+丫2-3丫3）=0.②

①一②得（谒-yf）+3y2（*-光）+（乃-乃）（尤+2yly3）+3（%-%）=。

=（光+光+川）+3（y02+y2y3+、3、1）+3=o③

设P（x,y）.则

y：+川+yl%+为+丫3

x=-----------，y=-----------

3,3

故由式③得

3x+3x21L2L+3=0n9y2-%+2=0.

又由xy=1=y=：,代入上式化简整理得％3_2/_9=0

=>（x—3）（x24-%4-3）=0=>%=3.

因此，p（3,g.

14.[2015年四川预赛】过双曲线/-9=1的右支上任意一点PQo，y0）作一直线I与两条渐近线交于点A、

Bo若P为AB的中点，证明：

（1）直线1与双曲线只有一点交点；

（2）AOAB的面积为定值。

【答案】（1）见解析；（2）|

【解析】

（1）双曲线两条渐近线方程为y=±2x.

当y0=。时，易得直线1的方程为x=x°，此时，直线I与双曲线只有一个交点.

当尢工0时，显然直线1存在斜率，故可设直线1的方程为y-y（）=k（x-沏），分别与y=2x、y=-2工联

立，解得

Afkx0-y02kx0-2y0\fkx0-y02kx0-2y0\

A\k-2'-k^2-bb\k+2*-k+2-A

因为P是AB的中点，所以

普+箸=2x°nk=詈=直缴:y—y°=等（x—x。）.

K—£其十/yoyo

与双曲线方程联立得4/_卜0+詈(>_殉)]=4①

2

=4羽/-[y2+4x0(x-x0)]=4M

又点尸(Xo，yo)在双曲线上，则

诏一苧=1=羽=4诏-4.

于是，方程①可化简为一4/+Sxox-4-yo=0.

注意到，4=64%Q-16(4+yo)=64XQ—16据—64=0.

故直线1与双曲线只有一个交点.

(2)易知£)048=5。川l°B|sin乙40B.

由4408为定值，故只需证明|。川|。8|为定值.

当斜率k不存在时，易得|。川|。引=|(定值)；

当斜率k存在时，由|。*2=(隼/J(1+22)=12X(,+%),

10川2=(空浮)(1+22)=：(2xo-yo).

知|。川2|08|2=翁(4球-%)=1=|。川|OB|=J(定值).

1642

15.[2015年陕西预赛】如图，在直角坐标系xOy中，O0:/+y2=4与x轴的正半轴交于点4,©

A:(x-2尸+y2=r2(r>0)与00交于B、C两点.

(1)求荏■尼的最小值；

(2)设P为。0上异于8、C的任一点，直线PB、PC与x轴分别交于点M、N，求SAPOMSAPON的最大值一

【答案】(I)-2；(2)4

【解析】

(1)由对称性，不妨设点B(xo，y()),C(a,-yo).则瑞+M=4.

故而AC=(x0-2尸-y2

22

=(x0-2)-(4-诏)=2(x0-l)-2.

而一2VaV2,贝I」当出=1时，48取得最小值为一2.

(2)设点P(%L%)(九工±y0).

则好+弁=4,

人"为=舞(f)，

它”为=老(f)•

一“。必〜_xiyo+xoyt

分别令y=0，得知,XM一

yo-yiyo+yi

则…年票

_(4一*)怯(4-谕*

=4.

故SAPOMSNON=；|。河||。阴无

=l\xMxN\yf=yl，

因为—2<yt<2,所以，当%=2或一2时，SAPOMSMON取得最大值为4.

16.(2015年山西预赛】给定圆P.x2+y2=2x及抛物线5:/=4x,过圆心P作直线/，此直线与上述两曲

线的四个交点，自上而下顺次记为A、B、C,。，如果线段AB、BC、8的长按此顺序构成一个等差数列,

求直线/的方程.

【答案】夜x-y—夜=()或0x+y-0=().

【解析】

试题分析：本题考查圆、直线、抛物线相交的问题，考查学生分析问题解决问题的能力.先将圆的直径求出

来，再设出直线方程，方程中的中有一个参数攵，本题的关键是解出左的值，将直线方程代入抛物线方程中,

消去x,求|4。|的长，再利用等差中项列出线段A3、BC、8的关系，进而求出|AD|的长，与上面的

|AD|联立就可求出Z.

试题解析：圆P的方程为(X—1)2+V=1,则其直径长忸C=2,圆心为尸(1,0),设/的方程为ky=X-1,即

,/、/、IX+必=4%

x=@+l,代入抛物线方程得:丁=46+4,设A(x,,y),有｛，

Ji%=-4

则(%-%)2=(M+%)2-4yI%=16(%2+1).

2）2=（乂-%并1+（^^力=16（k2+1）2,

故||2=（y-y2）+（龙|一々）2=（X-必）2+（，'丁

因此|AO1=4（公+1）.8分

据等差,2|BC|=|AB|+\CD\=\AD\-|BC|,

所以|A£>|=3忸C|=6,即4k2+1）=6"=土等，14分

即：/方程为行》一y一0=0或Jir+y-0=0.16分

考点：1.等差数列中等差中项的概念；2.圆的半径；3.直线与抛物线的交点.

17.【2015年山东预赛】已知椭圆Ci：《+A=1，不过原点的直线，与椭圆交于A、B两点.

(1)求AOAB面积的最大值.

(2)是否存在椭圆。2,使得对于椭圆。2的每一条切线与椭圆G均相交，设交于A、B两点，且SAOM恰取最大值?若

存在,求出该椭圆;若不存在，说明理由.

【答案】(1)(2)见解析

【解析】

(1)若直线I的斜率存在，设，的方程为y=依+m,代入椭圆方程得：

222222

(a2k2+/,2)x+2akmx+am-ab=0.

设4(xi，%),8(%2，及)•则：

2a2kma2m2-a2b2

XX

X1+*2=-a2k2+b2>l2=a2k2+b2'

故14B|=V(x2-^i)2+(72-y-i)2=V1+k2y/(x+xj2-4XX2=V1+k2送黑店>Ja2k2+b2-m2.

2X

在AOAB中，设边AB上的高为h.则h=，吗

Vl+fc2

=\\AB\h=，a2k2+b2-2,

SAOABa*，m

固定k,于是,SAOAB=着黑于a2k2+—7n2<

由此，得对任意的k,有SAOABs?,当且仅当a2k2+b2=27n2时，等号成立.

若直线，的斜率不存在，设直线，:x=m,

则易证鹿。的＜T，当且仅当=2m2时，等号成立，

综上,△048面积的最大值为竽

（2）存在椭圆该椭圆的任一切线与椭圆6$+5=1交于A、B两点，且SA。.=竽

事实上，设满足条件的椭圆为盘+，=4.过椭圆上任一点（殉,小）的切线方程为翳+碧=大

该切线与椭圆加《+，=1交于A、B两点，

若Vo=。，则&=±aVI，

由切线方程得冗=—=±aVA,