高三高考数学复习课件8-5直线平面垂直的判定与性质

§8.5直线、平面垂直的判定与性质1．直线与平面垂直(1)定义如果直线l与平面α内的_________直线都垂直，则直线l与平面α垂直．任意一条(2)判定定理与性质定理2.平面与平面垂直(1)平面和平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是_________，就说这两个平面互相垂直．直二面角(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(

)(2)垂直于同一个平面的两平面平行．(

)(3)直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.(

)(4)若α⊥β，a⊥β⇒a∥α.(

)(5)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．(

)【答案】

(1)×

(2)×

(3)√

(4)×

(5)√

1．(教材改编)下列命题中不正确的是(

)A．如果平面α⊥平面β，且直线l∥平面α，则直线l⊥平面βB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ

【解析】

根据面面垂直的性质，知A不正确，直线l可能平行平面β，也可能在平面β内．【答案】

A2．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的(

)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】

若α⊥β，因为α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，所以根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α，又a⊂α，所以a⊥b；反过来，当a∥m时，因为b⊥m，且a，m共面，一定有b⊥a，但不能保证b⊥α，所以不能推出α⊥β.【答案】

A3．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β(

)A．若l⊥β，则α⊥β

B．若α⊥β，则l⊥mC．若l∥β，则α∥β D．若α∥β，则l∥m【解析】

∵l⊥β，l⊂α，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A正确．【答案】

A4．在正方体ABCD­A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E，交CC′于F，则

①四边形BFD′E一定是平行四边形；②四边形BFD′E有可能是正方形；③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形；④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D.以上结论正确的为________．(写出所有正确结论的编号)【解析】

根据两平面平行的性质定理可得BFD′E为平行四边形，①正确；若四边形BFD′E是正方形，则BE⊥ED′，又A′D′⊥EB，A′D′∩ED′＝D′，所以BE⊥面ADD′A′，与已知矛盾，②错；易知四边形BFD′E在底面ABCD内的投影是正方形ABCD，③正确；当E，F分别为棱AA′，CC′的中点时，EF∥AC，又AC⊥平面BB′D，所以EF⊥面BB′D，④正确．故填①③④.【答案】

①③④

(1)PH⊥平面ABCD；(2)EF⊥平面PAB.【证明】

(1)因为AB⊥平面PAD，PH⊂平面PAD，所以PH⊥AB.因为PH为△PAD中AD边上的高，所以PH⊥AD.因为AB∩AD＝A，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PH⊥平面ABCD.所以四边形MEFD是平行四边形，所以EF∥MD.因为PD＝AD，所以MD⊥PA.因为AB⊥平面PAD，所以MD⊥AB.因为PA∩AB＝A，所以MD⊥平面PAB，所以EF⊥平面PAB.角度二利用线面垂直的性质证明线线垂直【例2】

如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.求证：(1)DE∥平面AA1C1C；(2)BC1⊥AB1.【证明】

(1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DE∥AC.又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C.(2)因为棱柱ABC­A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1.又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1.又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.因为AC⊂平面B1AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC.又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1.【思维升华】

证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．跟踪训练1

如图，S是Rt△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC.D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.【证明】

(1)如图所示，取AB的中点E，连接SE，DE，在Rt△ABC中，D，E分别为AC，AB的中点．∴DE∥BC，∴DE⊥AB，∵SA＝SB，∴SE⊥AB.又SE∩DE＝E，∴AB⊥平面SDE.又SD⊂平面SDE，∴AB⊥SD.在△SAC中，SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.又AC∩AB＝A，∴SD⊥平面ABC.(2)由于AB＝BC，则BD⊥AC，由(1)可知，SD⊥平面ABC，又BD⊂平面ABC，∴SD⊥BD，又SD∩AC＝D，∴BD⊥平面SAC.

题型二平面与平面垂直的判定与性质【例3】

(2017·全国Ⅰ卷)如图，在四棱锥P­ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.【解析】

(1)证明

由已知∠BAP＝∠CDP＝90°得AB⊥AP，CD⊥PD.由于AB∥CD，故AB⊥PD，从而AB⊥平面PAD.又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.(2)如图，在平面PAD内作PE⊥AD，垂足为E.【思维升华】

(1)判定面面垂直的方法①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．跟踪训练2

如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.【证明】

(1)由已知，DE为△ABC的中位线，∴DE∥AC，又由三棱柱的性质可得AC∥A1C1，∴DE∥A1C1，又∵DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，∴DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∴AA1⊥A1C1，又∵A1B1⊥A1C1，且A1B1∩AA1＝A1，∴A1C1⊥平面ABB1A1，∵B1D⊂平面ABB1A1，∴A1C1⊥B1D，又∵A1F⊥B1D，且A1F∩A1C1＝A1，∴B1D⊥平面A1C1F，又∵B1D⊂平面B1DE，∴平面B1DE⊥平面A1C1F.

(1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；(2)求四棱锥P­ABCD的体积．(2)过P作PO⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD，即PO为四棱锥P­ABCD的高．【思维升华】

垂直关系综合题的类型及解法(1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化．(2)垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用．(3)垂直与体积结合问题，在求体积时，可根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积．跟踪训练3

如图，已知正三棱锥P­ABC的侧面是直角三角形，PA＝6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G.

(1)证明：G是AB的中点；(2)作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由)，并求四面体PDEF的体积．【解析】

(1)证明

因为P在平面ABC内的正投影为D，所以AB⊥PD.因为D在平面PAB内的正投影为E，所以AB⊥DE.因为PD∩DE＝D，PD，DE都在平面PED内，所