圆的方程讲义-高三数学一轮复习

讲义及练习：圆的方程1．圆的方程（1）圆的定义在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆（2）圆的标准方程设圆心的坐标，半径为，则圆的标准方程为：（3）圆的一般方程圆方程为，圆心坐标：，半径：=1\*GB3①的系数相同，方程中无项=2\*GB3②对于的取值要求：当时，方程只有实数解．它表示一个点当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．=3\*GB3③二元二次方程，表示圆的充要条件是=4\*GB3④以为直径端点的圆的方程为（4）几种特殊位置的圆的方程条件方程形式标准方程一般方程圆心在原点过原点圆心在轴上圆心在轴上圆心在轴上且过原点圆心在轴上且过原点与轴相切与轴相切（5）确定圆心的位置：=1\*GB3①圆心在过切点且与切线垂直的直线上．=2\*GB3②圆心在圆的任意弦的垂直平分线上．=3\*GB3③两圆相切时，切点与两圆圆心共线．（6）求圆方程的方法=1\*GB3①几何法根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程=2\*GB3②待定系数法=1\*ROMANI根据题意，选择标准方程或一般方程；=2\*ROMANII根据条件列出关于或的方程组；=3\*ROMANIII解出或，代入标准方程或一般方程=3\*GB3③相关点法（代入法）若所求轨迹上的动点与另一个已知曲线上的动点存在着某种联系，可设点，用点P的坐标表示出来点，然后代入曲线方程，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法（或称代入法）．=4\*GB3④换元法（参数方程法）若圆心为点，半径为，则可将圆上的点换元为为．其中为参数，．知识点七阿波罗尼斯圆设为平面上相异两定点，且，为平面上异于一动点且（且）则点轨迹为圆；特别的当，轨迹为中垂线；（7）阿波罗尼斯圆性质：①阿波罗尼斯圆圆心在直线上，圆心为，；②阿波罗尼斯圆上任一点P都满足（且）；③设阿波罗尼斯圆直径两端点分别为，则分别是线段的内分点和外分点，且，（且）：分别是的内角和外角平分线，且．2．位置关系（1）点与圆的位置关系法一点与圆：的位置关系：若在圆外，则；若在圆上，则；若在圆内，则．法二点与圆：的位置关系：若在圆外，则若在圆上，则若在圆内，则法三为圆的一条直径，点是直线外一点，则它与圆的位置关系：若在圆外，则若在圆上，则若在圆内，则（2）直线与圆的位置关系直线与圆相交，有两个公共点；直线与圆相切，只有一个公共点；直线与圆相离，没有公共点．（3）判断直线与圆的位置关系的方法几何法：利用圆心到直线的距离和圆的半径的大小关系．相交；相切；相离代数法：联立直线方程与圆方程，得到关于的一元二次方程则判别式（4）圆与圆的位置关系设两个圆的半径分别为，，圆心距为，则两圆的位置关系可用下表来表示：位置关系相离外切相交内切内含几何特征代数特征无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解公切线条数43210考点一圆的方程1、求圆心在直线上，且过点和的圆的方程．2、方程所表示的曲线是（）A．一个圆 B．两个圆 C．半个圆 D．两个半圆3、点与圆上任一点连线的中点轨迹方程是（）A． B． C． D．4、古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点、距离之比是常数的点的轨迹是圆．若两定点、的距离为3，动点满足，则点的轨迹围成区域的面积为（）A． B． C． D．5、若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切，则该圆的标准方程是（）A． B． C． D．6、已知和圆上一点，动点满足，则点的轨迹方程为（）A． B． C． D．7、在平面直角坐标系中，点，直线，设圆的半径为1，圆心在直线上．若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围．考点二位置关系1、点在圆的内部，则的取值范围是（）A． B．， C．， D．，2、圆上到直线的距离等于1的点有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3、圆与的位置关系为（）A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能4、已知点在圆外，直线与圆的位置关系是（）A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定5、若直线与曲线恰有一个公共点，则的取值范围是．6、设两圆、都和两坐标轴相切，且都过点，则两圆心的距离（）A．4 B． C．8 D．7、若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线斜率的取值范围是．8、已知点为直线上的一点，，分别为圆与圆上的点，则的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．79、在中，若，则圆与直线的位置关系是（）A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定10、若无论实数取何值时，直线与圆都相交，则实数的取值范围（）A． B． C． D．11、已知圆截直线所得线段的长度是2，则圆与圆的位置关系是（）A．内切 B．相交 C．外切 D．相离考点三切线问题与弦长问题1、已知点，点，圆．①求过点的圆的切线方程；②求过点的圆的切线方程．2、由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（）A．1 B． C． D．33、已知圆O：和圆外一点，过点作圆的切线，切点分别为、，求过切点、的直线方程．4、已知且为常数，圆，过圆内一点的直线与圆相交于，两点，当弦最短时，直线的方程为，则的值为（）A．2 B．3 C．4 D．55、过点作圆的切线有且只有一条，则该切线的方程为（）A． B． C． D．6、已知圆与圆恰有两条公切线，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．或7、设直线与圆相交于，两点，若，则圆的面积为（）A． B． C． D．8、已知直线与圆相交于、两点，为圆心．若为等边三角形，则的值为（）A．1 B． C． D．考点四综合应用1、已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（）A． B． C． D．2、已知实数、满足方程．（1）求的最大值和最小值；（2）求的最大值和最小值；（3）求的取值范围．3、自点发出的光线射到轴上，被轴反射，反射光线所在的直线与圆相切，求光线和反射光线所在的直线方程．4、已知为圆上任意一点，且点．（1）求的最大值和最小值；（2）若，求的最大值和最小值．5、已知实数，满