新高考创新题型4：平面向量

4.平面向量一、选择题。1．设是平面直角坐标系中两两不同的四点,假设,,且，那么称调和分割.平面上的点调和分割点，那么以下说法正确的选项是()A.可能线段的中点B.可能线段的中点C.可能同时在线段上D.不可能同时在线段的延长线上2．在平面直角坐标系中，向量点满足.曲线，区域.假设为两段别离的曲线，那么()A.B.C.D.3．如图，己知，∠AOB为锐角，OM平分∠AOB，点N为线段AB的中点，，假设点P在阴影局部(含边界)内，那么在以下给出的关于x、y的式子中，①x≥0，y≥0；②x－y≥0；③x－y≤0；④5x－3y≥0；⑤3x－5y≥0.满足题设条件的为()A.①②④B.①③④C.①③⑤D.②⑤4．对于向量a，b，定义a×b为向量a，b的向量积，其运算结果为一个向量，且规定a×b的模|a×b|＝|a||b|sinθ(其中θ为向量a与b的夹角)，a×b的方向与向量a，b的方向都垂直，且使得a，b，a×b依次构成右手系．如下图，在平行六面体ABCD－EFGH中，∠EAB＝∠EAD＝∠BAD＝60°，AB＝AD＝AE＝2，那么(×)·＝()A．4B．8C．2D．45．如图，圆，四边形ABCD为圆的内接正方形，E,F分别为边AB,AD的中点，当正方形ABCD绕圆心转动时，的取值范围是〔〕A.B.C.D.6．如图，在扇形中，，为弧上且与不重合的一个动点，且，假设存在最大值，那么的取值范围为〔〕A．B．C．D．7．向量〔1，0〕，〔0，1〕，〔R〕，向量如下图.那么()A．存在，使得向量与向量垂直B．存在，使得向量与向量夹角为C．存在，使得向量与向量夹角为D．存在，使得向量与向量共线二、填空题。8．如图，设，且.当时，定义平面坐标系为-仿射坐标系，在-仿射坐标系中,任意一点的斜坐标这样定义：分别为与轴、轴正向相同的单位向量，假设，那么记为，那么在以下的结论中，正确的有.〔填上所有正确结论的序号〕①设、，假设，那么；②设，那么；③设、，假设，那么；④设、，假设，那么；⑤设、，假设与的夹角，那么.9．定义两个平面向量的一种运算，那么关于平面向量上述运算的以下结论中，①，②，③假设，那么，④假设且那么．恒成立的有.(填序号)10．如图，正方形的边长为，在延长线上，且.动点从点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点，其中，那么以下命题正确的选项是.〔填上所有正确命题的序号〕①；②当点为中点时，；③假设，那么点有且只有一个；④的最大值为；⑤的最大值为.11．中，角所对的边分别为，以下命题正确的选项是________〔写出正确命题的编号〕.①假设最小内角为，那么；②假设，那么；③存在某钝角，有；④假设，那么的最小角小于；⑤假设，那么.12．如下图，在边长为2的正六边形中，动圆的半径为1，圆心在线段〔含端点〕上运动，是圆上及内部的动点，设向量为实数〕，那么的最大值为____________．13．O是面上一定点，是面上的三个顶点，分别是边对应的角．以下命题正确的序号是.①动点P满足，那么的外心一定在满足条件的P点集合中．②动点P满足，那么的内心一定在满足条件的P点集合中．③动点P满足，那么的重心一定在满足条件的P点集合中．④动点P满足，那么的垂心一定在满足条件的P点集合中．三、解答题。14．在中，的对边分别是，，平面向量，，且.〔1〕求△ABC外接圆的面积；〔2〕O为△ABC的外心，由O向边BC、CA、AB引垂线，垂足分别为D、E、F，求的值.15．(1)，，，，其中三向量不共面．试判断A，B，C，D四点是否共面？(2)设，，，．试问是否存在实数，使成立？如果存在，求出；如果不存在，请给出理由．

1．D【解析】由不妨设A〔0，0〕、B〔1，0〕、C〔c，0〕、D〔d，0〕，那么〔c，0〕=λ〔1，0〕，〔d，0〕=μ〔1，0〕，∴λ=c，μ=d；代入得假设C是线段AB的中点，那么代入，d不存在，∴C不可能是线段AB的中点，A错误；同理B错误；假设C，D同时在线段AB上，那么0≤c≤1，0≤d≤1，代入得，c=d=1，此时C和D点重合，与矛盾，∴C错误．应选：D．3．B【解析】由题意可得x≥0，y≥0显然成立即①成立，由于点P在OM上的点使得..点P在ON上那么满足.所以阴影局部的点的表示可以理解为平行于OA的直线的横坐标夹在即.所以③正确.所以②不成立，即⑤不正确.所以①③④正确，应选B.4．D【解析】根据向量积定义知，向量×垂直平面ABCD，且方向向上，设×与所成角为θ.因为∠EAB＝∠EAD＝∠BAD＝60°，所以点E在底面ABCD上的射影在直线AC上．作EI⊥AC于I，那么EI⊥平面ABCD，所以θ＋∠EAI＝.过I作IJ⊥AD于J，连接EJ，由三垂线逆定理可得EJ⊥AD.因为AE＝2，∠EAD＝60°，所以AJ＝1，EJ＝.又∠CAD＝30°，IJ⊥AD，所以AI＝.因为AE＝2，EI⊥AC，所以cosEAI＝＝，所以sinθ＝sin＝cosEAI＝，cosθ＝.故(×)·＝||||sinBAD||.cosθ＝8××＝4，应选D.5．B【解析】因为圆的半径为2，所以正方形的边长为.因为.所以==.所以.应选B.6．D【解析】设扇形所在的圆的半径为1，以所在的直线为轴，为原点建立平面直角坐标系，，那么，由题意可得,令，那么在不是单调函数，从而在一定有解，即在时有解，可得，即，经检验此时此时正好有极大值点．7．D量与共线，故D正确。8．①、③、⑤.【解析】显然①正确；，∵，所以②错误；由得,所以，所以，故③正确；∵，所以④错误；根据夹角公式，又，得，故，即，⑤正确所以正确的选项是①、③、⑤.9．①③④【解析】解：①恒成立，②，，当时，不成立，③，那么故恒成立，④那么，，，故恒成立.10．①②④⑤【解析】由题意，不妨设正方形的边长为1，建立如下图的坐标系，(5)==,当P∈AB时，有0≤λ-μ≤1，μ=0，可得0≤-λ≤1，故有-1≤≤0，当P∈BC时，有λ-μ=1，0≤μ≤1，0≤2μ≤2,所以0≤λ-1≤1，故1≤λ≤2，-2≤-λ≤-1故-2≤-λ+2μ≤1，当P∈CD时，有0≤λ-μ≤1，μ=1，所以0≤λ-1≤1，故1≤λ≤2，-2≤-λ≤-1，故-1≤≤0，当P∈AD时，有λ-μ=0，0≤μ≤1，所以0≤λ≤1，-1≤-λ≤0，故0≤-λ+2μ≤1，综上可得-2≤-λ+2μ≤1，故⑤正确，11．①④⑤【解析】对①，因为最小内角为，所以，，故正确；对②，构造函数，求导得，，当时，，即，那么，所以，即在上单减，由②得，即，所以，故②不正确；对③，因为，那么在钝角中，不妨设为钝角，有，故,③不正确；对④，由，即，而不共线，那么，解得，那么是最小的边，故是最小的角，根据余弦定理，知，故④正确；对⑤，由得，所以，由②知，，即，又根据正弦定理知，即，所以，即.故①④⑤正确.12．5【解析】我们知道当点在直线上时，假设，那么，因此我们把直线向上平移，那么在增大〔只要点在与平行的同一条直线上，就不变，也即的值随直线到点的距离的变化而变化〕，当与重合，这时圆上有一点到的距离最大为5，而点到直线的距离为1，故最大值为5.13．②③④【解析】①设的中点为，连结，那么．又由，得，那么，所以共线，且为的重心，故①不正确．②∵、分别表示向量方向上、的单位向量，∴的方向与的角平分线一致．又∵，∴＝，∴向量的方向与的角平分线一致，∴一定通过的内心，故②正确；③∵＋，∴＝，∴＝，∴与共线，根据正弦定理，∴，∴与共线．∵经过线段的中点，∴点的轨迹也过中点，∴点过