专题5 形形色色的切线问题 (讲义) 2024高考总复习压轴题《数学》函数与导数解析版

第第页专题5形形色色的切线问题函数与导数一直是高考中的热点与难点,用导数研究曲线的切线是一个主要命题点,内容主要涉及求曲线的斜率与方程、曲线的条数、公切线问题,由确定切线满足条件的切线是否存在或由切线满足条件求参数或参数范围等.知识点(一)求曲线在某点处的切线求以曲线上的点(x0,f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数f(x)的导数f′(x)；②求切线的斜率f′(x0)；③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0),并化简．知识点(二)求曲线过某点的切线求曲线过某点的切线,一般是设出切点(x0,y0),解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y0＝f（x0），,\f(y1－y0,x1－x0)＝f′（x0），))得切点(x0,y0),进而确定切线方程．知识点(三)求曲线的切线条数求曲线切线的条数一般是设出切点,由已知条件整理出关于t的方程,把切线条数问题转化为关于t的方程的实根个数问题.知识点(四)曲线的公切线研究曲线的公切线,一般是分别设出两切点,写出两切线方程,然后再使这两个方程表示同一条直线.知识点(五)取得满足条件的切线是否存在或根据切线满足条件求参数的值或范围此类问题或判断符合条件的切线是否存在,或根据切线满足条件求参数的值或范围,求解思路是把切线满足条件转化为关于斜率或切点的方程或函数,再根据方程根的情况或函数性质去求解.重难点题型突破1在某点的切线方程（某点是切点）例1．（2022上·河南·高三专题练习）函数的图象在点处的切线方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用导数的几何意义求切线方程.【详解】因为，所以，所以切点为，又，由导数的几何意义知函数的图象在点处的切线斜率，故得函数的图象在点处的切线方程是，即为．故选：B例2．（2019·广东·校联考一模）函数的图象在点处的切线方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求导数，得切线的斜率，再根据点斜式得切线方程.【详解】因为，所以．因为，所以切线方程为，即．故选：D.例3．（2023·四川雅安·校考模拟预测）若，则在点处的切线与坐标轴所围成的面积为．【答案】【分析】利用导数的几何意义及三角形面积公式计算即可.【详解】易知，又，所以在处的切线方程为：，则切线与坐标轴的交点分别为，围成的三角形面积为.故答案为：例4、（2024·浙江温州·温州中学校考一模）已知.(1)若过点作曲线的切线，切线的斜率为2，求的值；(2)当时，讨论函数的零点个数.【答案】(1)1(2)答案见解析【分析】（1）求导，设切点坐标为，结合导数的几何意义列式求解即可；（2）求导，可得在内单调递减，分类讨论判断在内的单调性，进而结合零点存在性定理分析判断.【详解】（1）由题意可得：，设切点坐标为，则切线斜率为，即，可得切线方程为，将，代入可得，整理得，因为在内单调递增，则在定义域内单调递增，且当时，，可知关于的方程的根为1，即，所以.（2）因为，则，可知在内单调递减，且，则，且在内单调递减，可知在内单调递减，所以在内单调递减，且，（i）若，即时，则在内恒成立，可知在内单调递增，则，当且仅当时，等号成立，所以在内有且仅有1个零点；（ⅱ）若，即时，则在内恒成立，可知在内单调递减，则，当且仅当时，等号成立，所以在内有且仅有1个零点；（ⅲ）若，即时，则在内存在唯一零点，可知当时，；当时，；则在内单调递增，在内单调递减，且，可知，可知在内有且仅有1个零点，且，①当，即时，则在内有且仅有1个零点；②当，即时，则在内没有零点；综上所述：若时，在内有且仅有1个零点；若时，在内有且仅有2个零点.【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；（2）求导数，得单调区间和极值点；（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解．【变式训练1】．（2024·广东茂名·统考一模）曲线在点处的切线与直线平行，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】确定曲线在点处的切线的斜率，求出函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得答案.【详解】因为曲线在点处的切线与直线平行，故曲线在点处的切线的斜率为2，因为，所以，所以，故选：C.【变式训练2】．（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先由导数求切线的斜率，再求出切点，结合点斜式方程写出即可.【详解】由，得，所以，又，故曲线在点处的切线的方程为，即.故选：A.【变式训练3】．（2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中学模拟预测）曲线在点处的切线与坐标轴围成的图形的面积为.【答案】/0.25【分析】先求出切线方程，后求围成的三角形面积即可.【详解】易知的定义域为，而，故切点为，设切线斜率为，且，故，切线方程为，化简得，当时，，当时，，易知围成的图形是三角形，设面积为，故.故答案为：【变式训练4】．（2023·江西景德镇·统考一模）函数在处的切线方程为.【答案】【分析】根据求导公式和运算法则求出切线的斜率，结合直线的点斜式方程即可求解.【详解】由题意知，，则切点为，，所以切线的斜率为，故函数在处的切线方程为，即.故答案为：.【变式训练5】．（2023·陕西西安·统考模拟预测）函数的图象在点处的切线方程为.【答案】【分析】根据导数的几何意义求切线方程即可.【详解】因为，所以，则，，所以所求切线的方程为，即.故答案为：.重难点题型突破2过某点的切线方程（某点不是切点）例5．（2023·北京东城·统考一模）过坐标原点作曲线的切线，则切线方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设切点坐标为，求得切线方程为，把原点代入方程，得到，解得，即可求得切线方程.【详解】由函数，可得，设切点坐标为，可得切线方程为，把原点代入方程，可得，即，解得，所以切线方程为，即.故选：A.例6．（2024·贵州·校联考模拟预测）过点作曲线的切线，请写出切线的方程.【答案】或【分析】设切点，求导并写出切线方程，代入点求出值即可.【详解】设切点为，而，所以切线的斜率，故切线方程为，因为切线过点，，化简可得或，则切点为或，则代入得切线方程为：或，故答案为：或.例7．（2023·云南·校联考模拟预测）曲线过坐标原点的切线方程为.【答案】【分析】利用导数的几何意义可求出结果.【详解】设切点为，则，，切线的斜率为，所以切线方程为，又切线过原点，所以，即，解得，所以切线方程为.故答案为：例8．（2023·江苏连云港·校考模拟预测）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．【答案】(1)(2)，切点为【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；（2）根据导数的几何意义求出切线方程，再将原点代入即可求解.【详解】（1）由，得，所以，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）设切点为，由（1）得，所以切线方程为，因为切线经过原点，所以，所以，．则，所以所求的切线方程为，切点为．【变式训练6】．（2022·四川泸州·四川省泸县第四中学校考模拟预测）已知函数，则（

）A．函数的单调递增区间为 B．函数有两个零点C．函数为奇函数 D．过坐标原点有两条直线与函数的图象相切【答案】D【分析】直接利用导函数判断A选项；令，求解判断B选项；利用奇偶性定义判断C选项；利用导函数的几何意义判断D选项.【详解】由，得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以A不正确；令，得，可知B错误；因为，所以C错误．设切点为，可得切线方程为，又因为过坐标原点，可得，该方程有两个解，所以D正确；故选：D．【变式训练7】．（2024·四川自贡·统考一模）若曲线的一条切线为，则.【答案】【分析】由是曲线的切线，求导函数利用斜率出参数即可.【详解】设切点为，因为，所以，所以在处的切线斜率为，则过该点的切线方程为：，即，又知切线为：，故得：，.故答案为:.【变式训练8】．（2023·全国·模拟预测）过坐标原点作曲线的切线，则切点的横坐标为.【答案】或【分析】设切点为，利用导数的几何意义表示出切线方程，将代入，即可求得本题答案.【详解】由可得，设切点坐标为，所以切线斜率，又因为，则切线方程为，把代入并整理可得，解得或.故答案为：或【变式训练9】．（2023·全国·模拟预测）若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意，由导数的几何意义表示出切线方程，然后列出不等式代入计算，即可得到结果.【详解】设切点为，由已知得，则切线斜率，切线方程为．∵直线过点，∴，化简得．∵切线有2条，∴，则的取值范围是，故选：D重难点题型突破3切线的条数例9．（2023·海南·校联考模拟预测）已知函数，过点作曲线的两条切线，切点分别为和，若，则实数（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】本题考查导数的计算及几何意义．【详解】由题意知，因为与曲线相切，所以，整理得，同理，则，是方程的两个实数根，所以，所以．故选：.例10．（2023·广西柳州·统考模拟预测）已知直线是曲线的一条切线，则b＝．【答案】2【分析】求导，令导数值等于1，求得切点坐标，代入切线方程即可得解.【详解】解：函数的定义域为，，令，则，所以切点为，代入，得，所以.故答案为：2.例11．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）若函数与函数的图象在公共点处有相同的切线，则实数（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设出两个函数图象的公共点坐标，利用导数的几何意义建立关系求解即得.【详解】设函数与函数的图象公共点坐标为，求导得，依题意，，于是，令函数，显然函数在上单调递增，且，则当时，，因此在中，，此时，经检验符合题意，所以.故选：B例12（2022届重庆市南开中学高三上学期第一次质量检测）已知函数,.（1）讨论的单调性；（2）若经过坐标原点恰好可作两条直线与曲线相切,求a的取值范围.【分析】（1）,,当时,在上单调递增；时,在上单减,在上单增；（2）设切点横坐标为,则切线方程为,代入得,即,关于的方程在内恰有两个解,令,在上单增,在上单减,又,当时,,且,故当时,方程有两个解,所以,故a的取值范围为.【变式训练10】．（2022·河南·校联考模拟预测）已知过点可以作曲线的两条切线，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】设出曲线上的切点，求出导数，得到切线的斜率，再由两点的斜率公式，结合切点满足曲线方程，可得切点坐标的关系式，整理得到关于一个坐标变量的方程，借助于函数的最值及其图象，即可得到a的范围.【详解】设曲线与其切线交于切线方程l：，由导数与切线方程斜率关系可得……①又切线过点要保证过点可以作曲线的两条切线，可得不能在曲线上……②点A在曲线上，故……③由①②③式可得：，解得令则令，故故当时，；当时，，单调递增；当时，，单调递减；即在时取得极大值，故作出草图如下：得仅在范围内由2个对应的值即时，有2个解，此时存在2条切线方程综上所述，的取值范围为故选：B.【变式训练11】．（2023·浙江·校联考模拟预测）若曲线有三条经过点的切线，则的范围为．【答案】【分析】求导后对导函数求导分析函数的凹凸性，再数形结合分析相切的临界条件，从而可得.【详解】由题意，令，则，令可得或.故当和时，单调递增，图象往下凸；当时，单调递减，图象往上凸.

又经过的切线方程为，即，令可得，又经过的切线方程为，故当时有三条经过点的切线.故答案为：【点睛】关键点点睛：求导分析函数切线的问题，需要根据题意求导，并求导数形结合分析切线斜率的单调性，进而可得函数的凹凸性，从而分析切线可能的情况，属于难题.【变式训练12】．（2023·浙江金华·统考模拟预测）已知函数，过点存在3条直线与曲线相切，则实数的取值范围是.【答案】【分析】设切点为，利用导数几何意义写出过的切线方程，进而有有三个不同值，即与有三个不同交点，导数研究的极值，即可求参数范围.【详解】由，设切点为，则切线斜率为，所以，过的切线方程为，综上，，即，所以有三个不同值使方程成立，即与有三个不同交点，而，故、上，递减，上，递增；所以极小值为，极大值为，故时两函数有三个交点，综上，的取值范围是.故答案为：【变式训练13】．（2023·广西·统考一模）若曲线与有一条斜率为2的公切线，则.【答案】【分析】根据导数的几何意义以及切线方程的求解方法求解.【详解】设公切线在曲线与上的切点分别为，由可得，所以，解得，所以,则，所以切线方程为，又由，可得，所以，即，所以，又因为切点，也即在切线上，所以，解得，所以.故答案为:.重难点题型突破4公切线例13．（2023·陕西西安·统考一模）若曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】设公切线与函数切于点，设公切线与函数切于点，然后利用导数的几何意义表示出切线方程，则可得，消去，得，再构造函数，然后利用导数可求得结果.【详解】设公切线与函数切于点，由，得，所以公切线的斜率为，所以公切线方程为，化简得，设公切线与函数切于点，由，得，则公切线的斜率为，所以公切线方程为，化简得，所以，消去，得，由，得，令，则，所以在上递减，所以，所以由题意得，即实数的取值范围是，故选：A【点睛】关键点点睛：此题考查导数的几何意义，考查导数的计算，考查利用导数求函数的最值，解题的关键是利用导数的几何意义表示出公切线方程，考查计算能力，属于较难题.例14．（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知直线与曲线和曲线均相切，则实数的解的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．无数【答案】C【分析】由题意可求得直线与曲线和曲线分别切于点，，则，化简后得，然后将问题转化为方程解的个数，构造函数，利用导数和零点存在性定理可求得其零点的个数，从而可得答案.【详解】根据题意可知，直线与曲线和曲线都相切，所以对于曲线，则，所以，所以切点，对于曲线，则，所以，切点，易知A,B不重合，因为公切线过两点，所以，进而可得，令，则，令，则所以在单调递增，因为，所以存在使得，即，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，，故.又因为，所以，当时，，因为，所以在内存在，使得，当时，，因为，，所以在内存在，使得，综上所述，存在两条斜率分别为，的直线与曲线和曲线都相切，故选：C.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查导数几何意义，考查利用导数解决函数零点问题，解题的关键是求出两切点的坐标后，将问题转化为方程解的个数问题，然后构造函数，利用导数和零点存在性定理解决，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.例15．（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则．【答案】【分析】先根据与相切，确定的值，再根据直线与相切，确定的值.【详解】因为与相切.，设切点坐标为，则切线方程为.因为切线过原点，所以：，故切点为，所以.对函数，，由，根据得切点纵坐标为：，根据得切点纵坐标为：，由，又由题可知.故答案为：【点睛】关键点点睛：先根据的切线过原点，求出的值；求时，要注意切点即在曲线上，也在切线上，根据纵坐标相等列方程求解.例16．已知函数（1）若直线既是曲线的切线,也是曲线的切线,求直线l的方程；（2）证明：．（参考数据：）【分析】（1）,,函数在点处的切线方程为：,即,函数在点处的切线方程为：,即,因为直线既是曲线的切线,也是曲线的切线,所以,将代入得,即,所以或,若,则,此时直线l的方程为：；若,则,则此时直线l的方程为：,综上得：或.（2）先证明,所以,设,则,令,则,令,得,所以存在使得满足在和上单调递增,在上单调递减,所以,又因为,且,因为在上单调递减,所以,所以,所以,即,即.【变式训练14】．（2024·全国·模拟预测）已知曲线和（且）存在一条过公共点的切线，则的值为．【答案】【分析】第一步：设函数，分别求出的导函数；第二步：根据导数的几何意义列方程组；第三步：解方程组即可得解.【详解】第一步：设函数，分别求出的导函数设函数，则．第二步：根据导数的几何意义列方程组设两曲线的公共点坐标为，由题意得即第三步：解方程组即可得解由得，则，得，解得，故的值为．故答案为：【变式训练15】．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）若直线与曲线和曲线都相切，则．【答案】/【分析】设曲线上的切点坐标为和，根据公切线的斜率关系，及切点在切线上，故可得的值.【详解】设曲线上的切点坐标为，曲线上的切点坐标为，又的导函数为，的导函数为所以切线斜率，又切点，均在切线上，所以，解得，所以，所以.故答案为：.【变式训练16】．（2023·河南·校联考模拟预测）已知直线是曲线与的公切线，则.【答案】/【分析】由求得切线方程，结合该切线也是的切线列方程，求得切点坐标以及斜率，进而求得直线，从而求得正确答案.【详解】对于函数，则，设是曲线上的一点，切线斜率，所以在点处的切线方程为，即，对于函数，则，根据斜率关系可得：，解得，可得，可知切点坐标为，则切线方程为，即，可得，整理得，解得或，当时，切线方程为，此时，不符合题意，舍去；当时，切线方程为，故，；综上所述：.故答案为：.【变式训练17】．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则直线的方程为．【答案】或【分析】分别设出直线与两曲线的切点坐标，求出导数值，得到两切线方程，由两切线重合得斜率和截距相等，从而求得切线方程的答案．【详解】设与和的切点分别为，由导数的几何意义可得，曲线在在点处的切线方程为，即，曲线在点处的切线方程为，即，则，解得，或，所以或．代入得或.故答案为：或.重难点题型突破5取得满足条件的切线是否存在或根据切线满足条件求参数的值或范围例17．（2023·河南·洛阳市第三中学校联考模拟预测）已知曲线过曲线上两点A，B分别作曲线的切线交于点P，．记A，B两点的横坐标分别为,则．【答案】【分析】根据导数的几何意义，结合图象及垂直的斜率关系计算即可.【详解】当x>0时，；当x<0时，，根据导数的几何意义结合图象，不妨设，．因为曲线在点A，B处的两条切线互相垂直，所以，整理得，所以是．故答案为：-1例18．（2023·全国·模拟预测）已知函数，若直线与函数的图象都相切，则的最小值为.【答案】【分析】利用导数的几何意义可列出不等式组，得，再根据基本不等式即可求解.【详解】根据题意作出草图如下：设直线与函数图像分别相切与点和，，，，，则有和，解得：，，因为，所以，，得，，当且仅当，即时取等号.即的最小值为.故答案为：.例19．（2017·四川遂宁·统考一模）已知函数的图象上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线重合，则实数的取值范围是.【答案】【分析】设，，，不妨设，利用导数的几何意义判断出，写出函数在两点处的切线方程，再根据两直线重合列式，消去，得，换元得，构造函数，，利用导数可求出结果.【详解】当时，，当时，，设，，，不妨设，若且，则由曲线在两点处的切线重合，得，得，与矛盾，若且，则由曲线在两点处的切线重合，得，得，与矛盾，所以，，所以曲线在点处的切线方程为，即，所以曲线在点处的切线方程为，即，由曲线在两点处的切线重合，得且，所以，因为，所以，令，因为，所以，所以，令，，，令，则，令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，即在上单调递减，在上单调递增，又，，所以在上恒成立，所以在上单调递减，所以，即，所以.故答案为：.例20、（2021届北京人大附中高三考前热身）已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）是否存在,使得曲线在点和点处的切线互相垂直？说明理由.（参考数据：,）【分析】由（1）,,得切线方程为.（2）令,若存在,使得曲线在点和点处的切线互相垂直,则存在,.,令,解得：.所以在上单调递减,在上单调递增.,,故,所以存在,使得,例如.【变式训练18】．（2023·江西上饶·统考二模）若曲线与曲线有公切线，则实数a的取值范围（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】分别求出两曲线的切线方程，则两切线方程相同，据此求出a关于切点x的解析式，根据解析式的值域确定a的范围.【详解】设是曲线的切点，设是曲线的切点，对于曲线，其导数为，对于曲线，其导数为，所以切线方程分别为：，，两切线重合，对照斜率和纵截距可得：，解得（），令（），，得：，当时，，是减函数，当时，，是增函数，∴且当x趋于时，，趋于；当趋于时，趋于；∴，∴；