(6.17)-4.4二次曲面的径面与奇向_第1页
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文档简介

二次曲面的径面与奇向(1)(2)及直线已知二次曲面S：将(2)式代入(1)式，经整理得(3)4.4二次曲面的径面和奇向二次曲面的径面和奇向一、二次曲面的径面1二次曲面的径面的定义设是二次曲面(1)的任意一个非渐近方向,为平行于方向的弦的中点,则弦的方程为(2)，弦的两端点由方程(3)的两个根所决定.(3)二次曲面的径面和奇向是弦的中点即把上式中的换成得平行弦中点的轨迹方程为(4’)即(4.4.1)即(4)二次曲面的径面和奇向由于所以不全为零.为三元一次方程,表示一个平面.由此得定理4.4.1

二次曲面的一族平行弦的中点轨迹在一个平面上.的径面.

定义4.4.1二次曲面沿非渐近方向的所有平行弦中点所在的平面叫做二次曲面共轭于方向叫做这个径面的共轭方向.

(4.4.1)式(4.4.1)二次曲面的径面和奇向推论1

线心二次曲面的任何径面通过它的中心直线.面心二次曲面的径面与它的中心平面重合.2二次曲面的径面的性质定理4.4.2

二次曲面的任何径面必通过它的中心.推论2

从径面方程(4’)容易看出，如果二次曲面有中心,那么它一定在任何一个径面上.因此有下列的结论:(4’)(4.4.1)二次曲面的径面和奇向(4’)(4.4.1)

如果方向为二次曲面的渐近方向，那么平行于它的弦不存在.假若不全为零,那么方程(4.4.1)

仍表示一个平面.为方便起见，我们把这个平面叫做共轭于渐近方向的径面.由于可见，此时径面与其共轭方向平行.二次曲面的径面和奇向定义4.4.2如果二次曲面的渐近方向满足二、二次曲面的奇向那么叫做二次曲面的奇异方向，简称为奇向.定理4.4.3二次曲面有奇向的充要条件是即推论中心二次曲面且只有中心二次曲面无奇向.定理4.4.4二次曲面的非奇渐近方向且只有非奇渐近方向与共轭于它的径面平行.二次曲面的径面和奇向定理4.4.5二次曲面S

的奇向平行于S

的任意径面.证设为二次曲面的奇向,即对任意非奇向与之共轭的径面方程为定理得证.二次曲面的径面和奇向求单叶双曲面的径面.因为单叶双曲面是中心曲面,所以没有奇向.任取方向故单叶双曲面共轭于方向的径面方程为的径面方程.类似可得曲面

及例1解有二次曲面的径面和奇向求椭圆抛物面的径面.椭圆抛物面是无心曲面，所以它有奇向.因为所以奇向为

任取非奇方向由于非奇向

的径面方程为类似可得双曲抛物面的奇向为共轭于非奇向的径面方程为例2解所以共轭于二次曲面的径面和奇向求曲面过y

轴的径面方程及与其共轭的方向.曲面无奇向.

任给方向

与之共轭的径面方程为由它过y轴得例3解二次曲面的径面和奇向解得得与之共轭的径面方程为代入方程证明双曲抛物面的任意一条直母线必在与该直线的方向共轭的径面上.证明设双曲抛物面的方程为

与之共轭的方向为共轭于非奇向的径面方程为例4二次曲面的径面和奇向与该方向共轭的径面方程为先考虑族直母线

其方向向量为显然，族直母线在这个径面上.

同理可证族直母线的情形.

二次曲面的径面和奇向小结1二次曲面的径面方程3二次曲面的奇向2二次曲面的径面的性

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