2015年全国各地中考数学压轴题集锦及答案解析

2015年全国各地中考数学压轴题集锦答案

1.（北京模拟）已知抛物线y=—x?+lx+m-Z与y轴交于点Z（0,2/M-7）,与直线y=2r

交于点8、C（8在C的右侧）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线的顶点为E,在抛物线的对称轴上是否存在一点尸，使得NBFE=NCFE,若

存在，求出点尸的坐标，若不存在，说明理由；

（3）动点P、Q同时从原点出发，分别以每秒小个单位长度、每秒2小个单位长度的速

度沿射线OC运动，以PQ为斜边在直线BC的上方作直角三角形PMQ（直角边分别平行于

坐标轴），设运动时间为/秒.若与抛物线歹=—x'+lc+a-2有公共点，求才的取值

范围.

解：（1）把点/（0,2机一7）KA^=-X2+2X+W-2,得机=5

/.抛物线的解析式为y=-X2+2X+3

y——x2+2x+3"产木（X=--\[3

2-

（2）由f解得<rr

[y=2xlh=2木质=一2小

：.B（小，2小），C（-小，-273）

y=—x+2x+3=—（x—1）+4

二抛物线的对称轴为x=l

设尸（1,y）

VZBFE=ZCFE,：・tan/BFE=tan/CFE

当占厂在占8上方时，于一{-=小+{_

仕八CJWy-2小y+2y/3

解得y=6,...尸（1,6）

当点F在点B下方忖，黑=坐号

解得y=6（舍去）

・,・满足条件的点尸的坐标是尸（1,6）

（3）由题意，OP=®OQ=2®：.PQ=^5t

:尸、。在直线直线y=2x上

，设尸（x,2x）,则0（2x,4x）（x<0）

yjx2-\-4x2=4/,.\x=—t

•9•P(―/,—2r),Q(—2/,—41)

：.M(-2/,-2z)

当-2/)在抛物线上时，有-2/=-4/-4/+3

解得右艺一,（舍去负值）

当尸（T,-2t）在抛物线上时，有一2f=—/-2/+3

解得/=小（舍去负值）

的取值范围是：亚甘W/W小

2.（北京模拟）在平面直角坐标系中，抛物线弘=«/+3x+c经过原点及点/（1,2）,与

x轴相交于另一点艮

（1）求抛物线功的解析式及B点坐标；

（2）若将抛物线巾以x=3为对称轴向右翻折后，得到一条新的抛物线为，已知抛物线”

与x轴交于两点，其中右边的交点为C点.动点P从。点出发，沿线段0C向C点运动，

过尸点作x轴的垂线，交直线。力于。点，以PD为边在PD的右侧作正方形PDEF.

①当点E落在抛物线力上时，求0P的长；

②若点尸的运动速度为每秒1个单位长度，同时线段0C上另一点0从C点出发向。点运

动，速度为每秒2个单位长度，当。点到达。点时P、。两点停止运动.过。点作x轴的

垂线，与直线NC交于G点，以QG为边在0G的左侧作正方形0GIW.当这两个正方形

分别有一条边恰好落在同一条直线上时，求f的值.（正方形在x轴上的边除外）

解：（1）I•抛物线%=冰2+3*+。经过原点及点力（1,2）

c=2p=—1

解得\c=0

〃+3+c=2

**•抛物线y\的解析式为巾=-X2+3X

令y=0,得-J+3x=0,解得勺=0,必=3

：.B(3,0)

(2)①由题意，可得C(6,0)

过4作47_Lx轴于〃，设。尸=a

np4H

可得△ODPSA(MH,・・・7^=7S77=2

5Uri

：.DP=2OP=2a

•・•正方形PDEF,：.E(3a,2a)

'：E(3a,2a)在抛物线弘=一万2+3》上

77

•\2a=-9a+9^,解得。］=0(舍去)，。2=至

7

・・・。夕的长为5

②设直线AC的解析式为y=kx+b

2=k+b212

解得人=一彳，b=w

0=6左+b

・•.直线AC的解析式为y=~^2x+y12

4

山题意，OP=t,PF=2l,0C=21,GQ=M

当小与MV重合时，贝IJ。/+CN=6

430

/.3/4-2/+y/=6,.\t=而

当斯与G0重合时，WJOF+QC=6

，31+2z=6,.,.r=y

当。夕与MV重合时，则OP+CN=6

f+2什wf=6,；・f=钻

□1y

当DP与G0重合时，则OP+CQ=6

•**/+2/=6,/•/=2

3.(北京模拟)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=o/+6x+4经过/(-3,0)、B

(4,0)两点，且与y轴交于点C,点。在x轴的负半轴上，且8D=BC.动点尸从点］

出发，沿线段AB以每秒1个单位长度的速度向点B移动，同时动点。从点C出发，沿线

段CA以某一速度向点Z移动.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)若经过，秒的移动，线段尸。被CD垂直平分，求此时,的值；

(3)该抛物线的对称轴上是否存在一点M,使MQ+MA的值最小？若存在，求出点M的

坐标；若不存在，请说明理由.

解：(1)..•抛物线夕=亦2+云+4经过/(一3,0)、B(4,0)两点

9。―36+4=0解得。=_(,b=~j

16a+46+4=0

11

:.所求抛物线的解析式为y^-yx72+jx+4

(2)连接。0,依题意知/P=z

171

二•抛物线卜=一不广+tx+4与y轴交于点C

：.C(0,4)

又A(-3,0,B(4,0)

可得4c=5,BC=4j,AB=7

•；BD=BC,：.AD=AB-BD=7-4y[2

•・・C0垂直平分尸。，：.QD=DP,ZCDQ=ZCDP

•；BD=BC,：.ZDCB=ZCDB

：./CDQ=NDCB,：.DQ//BC

AAADDO

・•△//)0s△43C,・•4R

AD£>C

.ADDP.7-4也_DP

・布=丽,•7=砺

3217

解得DP=4、「-亍,:"P=AD+DP=7

・•・线段。。被8垂直平分时，，的值为17号

(3)设抛物线y=-£x2+/x+4的对称轴■与x轴交于点E

由于点4、8关于对称轴x=J对称，连接8。交对称轴于点〃

则MQ+M4=M0+MB,BPMQ+MA=BQ

当8Q_L/C时，8。最小，此时

3

tanZEBM=tanZACO=~^

・ME3即__=总，解得加

=,

,,■^ET

：.M(y,y)

1?!

在抛物线的对称轴上存在一点M(方，芸)，使得〃。+核/的值最小

4.(北京模拟)如图，在RtZXZBC中，/C=90。，/C=6,BC=8.动点尸从点/出发，

沿AJCB-BA边运动，点P在NC、CB、BA边上运动的速度分别为每秒3、4、5个单位.直

线I从与AC重合的位置开始，以每秒:个单位的速度沿CB方向移动，移动过程中保持

/〃ZC,且分别与C8、AB边交于点、E、E点P与直线/同时出发，设运动的时间为，秒，

当点P第一次回到点A时，点P和直线/同时停止运动.

(1)当，=秒时，点P与点E重合；当/=秒时，点尸与点尸重合；

(2)当点P在/C边上运动时，将△PEE绕点E逆时针旋转，使得点P的对应点P'落在

EF.h,点尸的对应点为尸，当EFU/8时，求f的值；

(3)作点P关于直线EF的对称点0,在运动过程中，若形成的四边形PEQF为菱形，求

f的值；

(4)在整个运动过程中，'设/XPEF的面积为S,直接写出S关于t的函数关系式及S的最

大值.

提示：在RtZ\/8C中，ZC=90°,AC=6,8c=8

I一2---7..AC3DC4AC3

•»AB—yj6+8=10,•.sirt5==三,cosB=.44=§，tan5=

当点P与点E重合时，点尸在C8边上，CP=CE

-：AC=6,点P在/C、CB边上运动的速度分别为每秒3、4个单位

.,.点尸在NC边上运动的时间为2秒，CP=4(f—2)

44

VC£=y/,.*.4(/-2)=y6解得/=3

当点P与点尸重合时，点尸在胡边上，BP=BF

：/C=6,8c=8,点P在ZC、CB、比1边上运动的速度分别为每秒3、4、5个单位

.•.点P在4C、C8边上运动的时间共为4秒，BF=BP=5(J—4)

44

,:CE『t，

BE

在Rt/XBEF中，=cosB

Dr

o匕

8—3，4

・、5(_4)，解得f=4.5

(2)山题意，ZPEF=AMEN

,:EF〃AC,ZC=90°,；.NBEF=90。,ZCPE=ZPEF

■:EN1AB,：.ZB=ZMEN

：.ZCPE=ZB,：.tanZCPE=tanB

..CEAC3

•tanNCPE="QP*9tanB-8c=

CE34

：.CP=jCE

4

9：AP=3t(0<r<2),CE=jt,：.CP=6-3t

4454

.*.6-3/=yxyr,解得，=行

(3)连接尸。交EF于O

,:P、。关于直线转对称，・•・£/垂直平分P。

若四边形尸EQF为菱形，则OE=O尸

①当点P在/C边上运动时

C

易知四边形尸OEC为矩形，...OE=PC

：.PC=^EF

4434

,:CE=M，:.BE="M，EF=BE-tanB=-^（8-y/）=6—t

164/尸B

.*.6-3/=y（6-r）,解得/

②当点尸在C8边上运动时，P、E、。三点共线，不存在四边形尸£0尸

③当点尸在历I边上运动时，则点P在点8、尸之间

4BE5,4.5

-：BE=S-yt,•■•^='^-=7（8-y/）=10-jr

520

\9BP=5(t-4),：.PF=BF-BP=10-jt-5U-4>)=30-y/

•：/POF=NBEF=9G°,：.PO//BE,：・NOPF=/B

OF

在Rt/XPO尸中，#rr=sin^

万（6一0330

评万，解得，：

.•.当或/=岑时，四边形PE。尸为菱形

<22

—亍/+4/(0W/W2)

42

■yz-12/+24(2<r<3)

4

(4)S=0-y/7+12/-24(3V/W4)

o

/-28Z+72(4</W4.5)

Q

、-/+28/-72(4.5</W6)

S的最大值为竽

5.（北京模拟）在等腰梯形/BCD中，AB//CD,AB=\0,CD=6,4D=BC=4.点P仄

点8出发，沿线段BA向点A匀速运动，速度为每秒2个单位，过点P作直线BC的垂线

PE,垂足为E.设点P的运动时间为/（秒）.

（1）4=°；

（2）将△P8E沿直线PE翻折，得到△P8'E,记与梯形/8CO重叠部分的面积为S,

求S与，之间的函数关系式，并求出S的最大值；

（3）在整个运动过程中，是否存在以点D、尸、8'为顶点的三角形为直角三角形或等腰三

角形？若存在，求出/的值；若不存在，请说明理由.

DCDC

B'

备用图

解：⑴60°

(2)VZA=ZB=60°,PB=PB'

:.APB'B是等边三角形

:.PB=PB'=BB'=2t,BE=B'E=t,PE=®

当0<tW2时

S=SAPB,E='B'E♦PE='f♦2t

当2<fW4时

S—S^PB'E~S^FB'C-t⑵―4)2——^^7?+4小f—4小

当4</W5时

设「8'、PE分别交DC于点G、H,作GKLPH于K

♦.•△P8'8是等边三角形，AZB'PB=60°=ZA

：.PG//AD,5LDG//AP

••.四边形/PG。是平行四边形

，PG=NO=4

"：AB//CD,ZGHP=ZBPH

'：NGPH=NBPH=；/B，PB=30。

：.4GHp=NGPH=30。,:.PG=GH=4

：.GK=yPG=2,PK=KH=PG•cos30。=2事

：.PH=2PK=4y[3,

/.S—S^PGH—JPH-GK—yx4-\/3x2=4小

综上得，S与/之间的函数关系式为：

S=<一坐J+4小/-44(2</^4)

、4小(4W5)

(3)①若NDP8'=90。

VZB'PB=6Q°,：.ZDPA=30°

又N/=60°,二//。尸=90°

：.AP=2AD,...10—2/=8,：.t=l

若NPDB'=90。

APB

作。于A/,DNLB'B于N

则NM=2,DM=2小,NC=3,DN=3小

PA/=|10-2-2/1=18-2/

NB'=13+4—2/=7-2/|

DP2=DM2+PM2=(2-V3)2+(8-2/)2=(8-2/)2+12

DB'2=DN2+NB'=(3小了+(7-2/)2=(7-2/)2+27

777

■:DPXDB'=BP

Z.(8-2/)+12+(7-2r)+27=(2/)

解得4=巴恒＞5（舍去），打=15一回

2

若NDB'P=9。。,则DB'2+B'p2=DP2

A(7-2r)2+27+(2/)2=(8-2/)2+12

解得“=一1(舍去)，/2=0(舍去)

存在以点。、P、8,为顶点的三角形为直角三角形，此时，=1或/=用恒

②若DP=B'P,则(8—2f/+12=(21)

B'

19

解得/=皆C

若B'D=B'P,则(7-2/)2+27=⑵)

解得看号19

若DP=DB',则(8—2/)+12=(7—2/厂+27

解得7=0(舍去)

1919

・・・存在以点。、P、"为顶点的三角形为等腰三角形，此时或/=三

O/

6.（北京模拟）已知二次函数尸一坐一+3,内一2的图象与x轴交于点/（2小，0）、点8,

与夕轴交于点C.

（1）求点B坐标；

（2）点尸从点C出发以每秒1个单位的速度沿线段CO向O点运动，到达点O后停止运

动，过点尸作尸。〃4c交。/于点0,将四边形P04C沿尸。翻折，得到四边形PQ/'C',

设点P的运动时间为/.

①当/为何值时，点4恰好落在二次函数y=—^«x2+3〃7x—2图象的对称轴上；

②设四边形PQ4C’落在第一象限内的图形面积为S,求S关于，的函数关系式，并求出S

的最大值.

解：（1）将工（2小,0）y——~^mx2+3mx—2

得0=—乎（2,）2+3，〃X2小一2,解得，〃=坐

-:/+仍工—2

令y=0,得一小尢-2=0,解得：X]=V3,必=2小

：.B(小，0)

(2)①由y=—：J+小x—2,令x=0,得y=-2

：.C(0,—2)

二次函数图象的对称轴为直线x=1■小

过Z'作/于〃

在Rt^ZOC中，：0C=2,04=25

ZOAC=30°,ZOCA=60°

：.ZPQA=\50°,ZA/QH=60°,AQ=A'Q=2QH

•・•点，在二次函数图象的对称轴上

*3

SK解得。”邛

。。+20〃=2小

：.AQ=y[3,CP=\

②分两种情况:

i）当0</Wl时，四边形PQHC'落在第•象限内的图形为等腰三角形QI'D

DQ=A'Q=yf3t

A'H—AQ-sin60°=V3/•乎=yz

cc1133s2

S=SMDQ=/73t.5t=4t

・・•当0V/W1时，S随/的增大而增大

.•.当f=l时，S有最大值芈

ii）当1<，<2时,四边形PQ/'C'落在第一象限内的图形为四边形E。。'

=[2小—冬2—柳—冬2T才一和

--^^-t2+4y/3f-2yf3

•••一等+”2小一平（L“+竽

且1<]<2,...当"时，S有最大值^^

•.•邛〉乎，；.S的最大值是竽

7.（北京模拟）已知梯形N88中，AD//BC,N/=120°,E是

BC

Z8的中点，过E点作射线E/〃8C,交CD于点G,AB、ND的长恰好是方程J-4x+J+

2〃+5=0的两个相等实数根，动点P、Q分别从点4、E出发，点P以每秒1个单位长度的

速度沿48由4向8运动，点。以每秒2个单位长度的速度沿环由E向/运动，设点产、

。运动的时间为，（秒）.

（1）求线段48、/£>的长;

（2）当f>l时，求△OP0的面积S与时间/之间的函数关系式；

（3）是否存在△DPQ是直角三角形的情况，如果存在，求出时间/；如果不存在，请说明

理由.

解：（1）由题意，△二年―4（。+2。+5）=-4（。+1）=0

—1

原方程可化为》2-4+4=0,解得.,.X|=X2=2

：.AB^AD=^2

（2）作/41.8c于“，交EG于O,DKLEF于■K,PAM,D4交D4的延长线于初

,JAD//BC,N4=120°,AB=4D=2

：.ZB=60°,AH=yf3

是中点，SLEF//BC,：.AO=DK=^-

"：AP=t,:.PM=S

•>>1,...点尸在点E下方

延长尸£■交尸M于S,设DP与EF交于点、N

则PS=S邛

'JAD//BC,EF//BC,：.EF//AD

・ENPE.ENLl

••布=西'•F=~T

2（/-l）2（-1）

:,EN=---：.QN=2t-

⑵--谣冶吗

即5=坐-坐什坐（/>1）

又。02=QK2+KQ2=（坐）2+（2/-：-2）2=4/-10f+7

PQ2=PS?+SQ2=（坐/一坐）2+（2什号）2=7/-4/+1

①若NPD°=90。，则

222

：.t+2t+4+4t-Wt+7=7t-4/+1

解得/=#—1（舍去负值）

②若NDPQ=9Q。,则

222

・・・Z+2什4+77-4什1=4/-10/4-7

解得/=乎—1（舍去负值）

③若NQQP=90。，则。02+。°2=。。2

222

・・・々-10什7+7,一4什1=，+27+4

解得,=矢但

综上所述，存在△。尸。是直角三角形的情况，此时f=黄—1,f=坐—1,，=芍逅

8.（天津模拟）如图，在平面直角坐标系中，直y=-x+4错误！未找到引用源。交x轴于

点4交y轴于点8.在线段04上有一动点P,以每秒错误！未找到引用源。个单位长度

的速度由点O向点力匀速运动，以OP为边作正方形OPQM交y轴于点连接QA和QB,

并从QA和08的中点C和。向AB作垂线，垂足分别为点F和点E.设尸点运动的时间为

t秒，四边形CDEF的面积为与，正方形OP0M与四边形CDEF重叠部分的面积为S2.

（1）直接写出A点和B点坐标及t的取值范围；

（2）当/=1时，求&的值；

（3）试求S2与/的函数关系式

（4）直接写出在整个运动过程中，点C和点。所走过的路程之和.

解：（DZ（4错误！未找到引用源。，0）、B（0,4错误！未找到引用源。），0W/W4

（2）过。作于"

y

VC.。分别是3和08的中点

.'.CD//AB,错误！未找到引用源。x错误！未

'JCFYAB,DELAB,J.CF//DEH

四边形CDEF是平行四边形

又^CFYAB,：.四边形CDEF是矩形MQ

'：CFLAB,QHLAB,J.CF//QHVi

1OPA\X

又是0”中点，

连接OQ

•.,正方形0尸。河，；./1=/2,OP=PQ=QM=MO

'：OA=OB,：.PA=MB

Rt^QPA^Rt^QMB,：.QA^QB,NPQA=NMQB

U

：QH1.AB9AZ3=Z4

・・・N1+NM03+N3=18O。，・・・O、0、”三点共线

：.QH=OH-OQ

・・・，=1,点尸的运动速度为每秒错误！未找到引用源。个单位长度

错误！未找到引用源。，：.O2=2

又•••04=4错误！未找到引用源。，.•.0，=4

：.QH=OH-OQ=4-2=2,：.CF=\

.,.Si=CZ)-C/=4xl=4

(3)当点。落在上时，OQLAB,△0。4是等腰直角三角形

.•"=2错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=2

当0W/W2时，$2=0

当点E落在上，点尸落在尸0上时，

△CFK和ADEG都是等腰直角三角形

过C作C7_LP0于T

则CT=3"=}(4错误！未找到引用源。-错误!

••.3=错误！未找到引用源。CT=4T

连接。。，分别交彳2、CD于N、R

贝|叩=坐。4=坐*4错误！未找到引用源。二

；0P=错误!未找到引用源。t,：.OQ=2t,：.

:.CF=』QN=t-2

••4—t—t—2,/.t=3

当2</W3时，重叠部分为等腰梯形G///K

△QGK和△0〃/都是等腰直角三角形

,：QN=2t-4,RN=CF=t-2,：.QR=t-2

:.GK=2QR=2t-4,〃/=20N=4f-8

2

：.S2=-^(GK+HI')-/W=y(2/-4+4r-8)(r-2)=3(Z-2)

当3</W4时，重登部分为六边形GHEF/K

易知RtZ\C7K丝RtZ\O〃G,.•.GH=K/=2CT=错误！未找到引用源。(4一力

**•S?=S矩形CDEF—2s△C/K=CD•CF-KI•CT

=4(/-2)-错误!未找到引用源。(I)•坐

(4-/)=

综上得S2关于t的函数关系式为：

ro(ow/<2)

3。-2)2(2C/W3)

【一J+⑵-24(3C/W4)

X

(4)8

提示：点C和点D走过的路程分别为以OP为边的正方形的对角线的一半

9.(上海模拟)如图，正方形/8CO中，Z8=5,点E是8c延长线上一点，CE=BC,连

接8D动点朋1从2出发，以每秒地个单位长度的速度沿8。向。运动；动点N从E出发,

以每秒2个单位长度的速度沿E8向8运动，两点同时出发，当其中一点到达终点后另一点

也停止运动.设运动时间为，秒，过/作8。的垂线A/P交8E于尸.

(1)当/W=2时，求运动时间f；

(2)是否存在这样的/,使△朋PN为等腰三角形？若存在，求出/的值；若不存在，请说

明理由；

(3)设与△88重叠部分的面积为S,直接写出S与f的函数关系式和函数的定义

域.

解：(1)；正方形Z8C。，.•.ND8C=45°

.•.△8MP是等腰直角三角形

•：BM=@t,:.BP=^BM=2t

又PN=2,NE=2t

当0<7<2.5时，BP+PN+NE=BE

：.2t+2+2t=\0,：.t=2

当2.5<t<5时，BP-PN+NE=BE

.\2z-2+2/=10,：.t=3

(2)过M作MH_L3C于〃

驰ANQCs/\NMH,：.嗡=果

2

.QC_t.57-2/

・・5—2/_1OT-27'・・》c_10-3/

2

_,5/—2/

令A或=力则n了=年需

整理得2J-(3y+5)f+10y=0

为实数，［—(3y+5)『一4x2xl0y>0

5

即9歹?一50丁+2520,解得y25(舍去)或yWg

线段2c长度的最大值为春

(3)当0</<2.5时

*/4MPN=NQ8C+/8g=45。+90。=135°

・・・NMPN为钝角，:,MN>MP,MN>PN

若PM=PN,则5/=10—4/

解得7=，(4一娘)

BNCPE

当2.5</<5时

■:/MNP>/MBP=NMPB,：.MP>MN

若MN=PN,则ZPMN=ZMPN=45°

:.NMNP=9Q°,即

：.BN=NP,BP=2BN

・・・2，=2(10—2，)，解得，=¥

若PM=PN

■:PN=BP-BN=BP—(BE—NE)=BP+NE-BE

/.^2/—2/4-2/—10,解得，=5(4+W)

・•・当£=/（4一近），/=¥，，=5（4+啦）时，为等腰三角形

32

8f—50/+75/

(0<r<2.5)

20-6/

(4)S=

5z-y(2.5</<5)

10.（重庆模拟）如图，已知△4BC是等边三角形，点。是/C的中点，OB=\2,动点P

在线段上从点/向点8以每秒立个单位的速度运动，设运动时间为/秒.以点P为顶

点，作等边△尸MV,点M,N在直线OB上，取OB的中点。，以OD为边在△408内部作

如图所示的矩形ODER点E在线段48匕

（1）求当等边△尸lW的顶点M运动到与点O重合时/的值；

（2）求等边△PMV的边长（用含/的代数式表示）；

（3）设等边△尸脑V和矩形ODE尸重叠部分的面积为S,请直接写出S与/的函数关系式及

自变量/的取值范围；

（4）点P在运动过程中，是否存在点M,使得△EFM是等腰三角形？若存在，求出对应的

/的值；若不存在，请说明理由.

解：（1）当点M与点O重合时，

'：/\ABC.△尸MV是等边三角形，。为ZC中点

乙40P=30。，乙4尸。=90。

'：OB=[2,：.AO=4yf3=2AP=2yf3t\7

解得，=2—oLDW

C

...当/=2时，点M与点。重合

(2)由题设知NN8M=30。，N8=85，AP=/t

.•.尸8=8小-小/,PM=P8-tan30°=8一/

即等边△P/MV的边长为8-/

,2小/+6小(0W/W1)

—2小/+附什4小(1C/W2)

(3)S=<一孚J+iM(2VfW4)

2小『-2Mf+5M(4«W5)

<0(5<f<8)

提示：

①当0W/W1时，PM经过线段/尸

设尸/交/产于点/PN交EF于氤G,则重叠部分为直角梯形/CWG

,:AP=®：.AJ=2^t,JO=4小-24

MO=4—2f,CW=8-f-(4-2f)=4+f

作GHLON于H

贝ijGH=FO=2事,HN=2,尸G=O”=4+f—2=2+f

・••S=StWFONG=g(尸G+ON)。尸。

=y(2+/+4+/)-2-\/3=2-\/3/+6^/3

②当1</W2时，PM经过线段尸O

设PM交EF于点/,则重叠部分为五边形IJONG

FJ=AJ—AF=2品一2季,FI=2t-2

.'•S-Sse®FONG_S^p/j—2yf3t+~(2y/31—2-^3)(2/—2)

=-2小/+64+4立

③当2</W4Ebj,PN经过线段ED

设PN交ED于点K,则重叠部分为五边形IMDKG

'：AP=y[3t,:.PE=4事一事f

：.IG=GE=4-t,EK=4小—小f

，KD=2小一(4小-小力=木/-2小，DN=t-2

•'•S=S低形IMNG-S4KDN

=y(4-/+8-r)-2-\/3-y(V3/-2^/3)(z-2)

=-坐J+

④当4</<5时，PM经过线段ED

设PM交ED于点、R,则重叠部分为△HMD

,:AP=®:.EP=4-4小

：.ER=2EP=2小L8小

，RD=2小-（2吸/-8小）=10\/5-24

MD=10—2f

；・S=Szx&M£)=彳(10-2/)(10\[3—2y[3t)

=2于/-2()7^+5即

⑤当5V/W8时，5=0

(4)*：MN=BN=PN=8—t,：.MB=]6-2t

①若月则/为中点

・・・OM=3

9：OM+MB=OB,・・・3+16—2/=12

.*./=3.5

②若FM=FE=6,则OM=96?-(2小9=29

•：OM+MB=OB,.>.2^6+16-2/=12

t=2+y[i>

③若EF=EA/=6,点M在。。或上

则DM=76-2事)2=2y[6

：.DB+DM=MB或者DB—DM=MB

.•.6+2而=16-2/或6-2加=16-2/

，/=5-,或t=5+y[6

综上所述，当f=3.5、2+乖、5—乖、5+加时,

11.(浙江某校自主招生)如图，正方形O/8C的顶点。在坐标原点，且CM边和48边所

在直线的解析式分别为尸3力和尸Jx4+年25.

(1)求正方形O48C的边长；

(2)现有动点P、。分别从C、A同时出发，点P沿线段CB向终点8运动，速度为每秒1

个单位，点0沿折线4-O-C向终点C运动，速度为每秒4个单位，设运动时间为2秒.当

人为何值时，将ACP。沿它的一边翻折，使得翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形？

(3)若正方形以每秒1•个单位的速度沿射线40下滑,直至顶点B落在x轴上时停止下滑.设

正方形在x轴下方部分的面积为S,求S关于滑行时间，的函数关系式，并写出相应自变量

，的取值范围.

解：⑴联立厂25

x=4

解得

y=3

：.A(4,3),：.OA=yj42+32=5

正方形0/8C的边长为5

(2)要使△CP0沿它的一边翻折，翻折前后的两个三角形组成的

四边形为菱形，根据轴对称的性质，只需△CP。为等腰三角形即可

当f=2秒时

•・•点P的速度为每秒1个单位，，。「二2

分两种情况：

①当点。在。力上时，.•.只存在一点°,使QC=QP

作QNLCP于N,则CN=yCP=OQ=1

4

QA=5—\=4,・,•左=s=2

②当点。在OC上时，同理只存在一点。，使CP=C0=2

.,.OQ+OZ=10-2=8,/.A：=y=4

综上所述，当，=2秒时:以所得的等腰三角形CP。沿底边翻折,

翻折后得到菱形的k值为2或4

(3)①当点/运动到点O时，，=3

当0<fW3时，设O'C'交x轴于点。

则tanNOOO』本3即D浅O'=伊DO='亳3，"。三力5

3Z

.\S=^DO'•±・y/=琶J

4s

②当点C运动到x轴上时，，=(5X])+§=4

当3V/W4时，设交x轴于点E

,

\'AO=^t—59；・A'E=—"彳15

・・・S=/(HE+O'Q)・5=^^

zzqqo

45

③当点5运动到x轴上时，，=(5+5义])+]=7

当4<fW7时，设8'C交x轴于点厂

5/-155Z-1535-5/

•：A'E=彳，:B'E=5-

♦44

・・・8户=《名1=35；5/

♦。_42135-5/35-5/_252175625

..S―5-•4

2324’+12’24

综上所述，S关于滑行时间，的函数关系式为:

<25?

五「（0V/W3）

50/-751,、

——（3V/W4）

s=<O

252.175625”―、

牙+7T—N（4<，W7）

12.(浙江某校自主招生)如图，正方形Z8CO的边长为8cm,动点P从点/出发沿边

以1cm/秒的速度向点8匀速移动(点P不与点工、8重合)，动点。从点8出发沿折线BC

-CD以2cm/秒的速度匀速移动.点、P、。同时出发，当点P停止时，点。也随之停止.连

接工。交8。于点E.设点P运动时间为，(秒).

(1)当点。在线段8c上运动时，点尸出发多少时间后，NBEP=NBEQ?

(2)设的面积为S(cn?),求s关于，的函数关系式，并写出t的取值范围；

(3)当4<f<8时，求△4PE的面积为S的变化范围.

解（1）4尸=xcm,BQ=2xcm

•：4BEP=4BEQ,BE=BE,/PBE=NQBE=45。

:.△PBE"AQBE,：.PB=BQ

o

即8—x=2x,

8

・••点P出发了秒后，NBEP=NBEQ

(2)①当0VxW4时，点。在5c上，作ENJL48于N,EM工BC于M

,AEAD__8__£

,:AD〃BC,♦•面=画=不=7

AE_4,AE_4

E0=7,••诟=x+4

.NE_AE.心匹—8x

•,丽=瓦，・・NE=aq=。+4

2

/.S=\AP-NE—4-%•-4x

22x+4x+4

即S=E(0VZ4)

②当4VxV8时，点0在8上，QFLABF,交BD于H

AE_AD_8_4

~EQ=7{Q=16-2X=8-x

pn^g_4.NE_4_4

1EQ~8-x*••力Q—8-x+4-12-x

NFAF

作ENU8于N,则适=而

.AE-FQ32

•・'E-F012-x

；・S=4Ap-NE=・—2.16x

2212—x12-x

即S=fL(4<x<8)

12—x

(3)当4Vx<8时，由S=7^=，得x=-^\

12—xlo+o

12s

V4<x<8,：.4<,<8

16+3c

V5>0,.,.16+S>0,/.4(16+5)<125<8(16+5)

解得8Vs<32

13.（浙江模拟）如图，菱形/BCD的边长为6且/。/3=60。，以点4为原点、边所

在直线为x轴且顶点D在第一象限建立平面直角坐标系.动点尸从点。出发沿折线D-C-

8向终点8以每秒2个单位的速度运动，同时动点。从点力出发沿x轴负半轴以每秒1个

单位的速度运动，当点尸到达终点时停止运动.设运动时间为3直线尸0交边/。于点E.

（1）求出经过4D、C三点的抛物线解析式；

（2）是否存在时刻，，使得PQLBD?若存在，求出/值，若不存在，请说明理由；

（3）设NE长为y,试求y与7之间的函数关系式；

（4）若尸、G为。C边上两点，且点。尸=bG=l,试在对角线。8上找一点“、抛物线对

称轴上找一点N,使得四边形FMNG周长最小并求出周长最小值.

解：（1）由题意得：D（3,3小）、C（9,3小）

设经过力、。、C三点的抛物线解析式为了=冰2+旅

把。、C两点坐标代入上式，得：

9a+3b=3小V34y[3

解得：〃=9,bl=3

.81a+9b=3小

•••抛物线的解析式为：尸_唱入唱

(2)连接ZC

•.•四边形Z8CZ)是菱形，.•./C_L8。

若PQLBD,则尸0〃ZC

当点P在。C上时

,JPC//AQ,PQ//AC,.•.四边形PQ4C是平行四边形

：.PC=AQ,即6-2/=/,

.1=2

当点P在C8上时，P0与NC相交，此时不存在符合要求的才值

(3)①当点尸在DC上，即00W3时

'：DP//AQ,:.丛DEPs丛AEQ

.DEDPIt„.

••y~AQ~t~2,"y-3Al

②当点尸在C8上，即3</W6时

,:AE〃BP,:.丛QEAs丛QPB

AEA

-_0PH-V_<

"BP~QB'K|12-2r—6+t

12-2/

-y^~6+r

综上所述，j，与，之间的函数关系式为:

(2(00W3)

12-2/

尸1(3<K6)

6+t

(4)作点厂关于直线2。的对称点尸，由菱形对称性知尸'在。/上，且。F'=£>F=1

作点G关于抛物线对称轴的对称点G',易求。G'=4y

连接F'G'交。8于点