2023届北京市东城区示范校高考冲刺模拟数学试题含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.某工厂利用随机数表示对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001,002,...

599,600.从中抽取60个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行：

32211831297864540732524206443812234356773578905642

84421253313457860736253007328623457889072368960804

32567808436789535577348994837522535578321577892345

若从表中第6行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（）

A.324B.522C.535D.578

2.下列函数中，值域为R的偶函数是（）

A.y=x2+1B.y=ex-e~xC.y=lgxD.了=岳

97

3.抛物线”2=亦0>0/的准线与双曲线/的两条渐近线所围成的三角形面积为24，贝!1“的值为（）

,84

A.8B.6C.4D.2

2020

4.著名的斐波那契数列｛风｝：1,1,2,3,5,8,满足4=生=1，%+2=q+1+4，”eN*，若4=

«=1

贝II左=()

A.2020B.4038C.4039D.4040

5.在直角坐标系中，已知A（1,0）,B（4,0）,若直线x+,町-1=0上存在点P,使得|融|=2|尸8],则正实数"，的最

小值是（）

1

A.-B.3C.—D.73

33

6.已知正项等比数列｛q｝的前〃项和为S”，且7s2=4S4,则公比4的值为（）

B.I或；C.与D.

A.1

7.如图，在平行四边形A6CO中，。为对角线的交点，点P为平行四边形外一点，且AP||3尸〃。4,则而=

A

P

——3一一

A.DA+2DCB.-DA+DC

C.2DA+DCD.^DA+^DC

8.在三棱锥O—ABC中，AB=BC=CD=DA=1,且BC,C£>，D4,M,N分别是棱8C,CO的中点，

下面四个结论：

①

②MN//平面ABD;

③三棱锥A-CMN的体积的最大值为—；

12

④AO与BC一定不垂直.

其中所有正确命题的序号是（）

A.①②③B.②③④C.①④D.①②④

9.已知函数/（"=罐（a>0,且401）在区间［帆,2向上的值域为［八2向，贝！|a=（）

A.V2B.-C.而或夜D.i或4

10.射线测厚技术原理公式为/=/俨"必，其中/。，/分别为射线穿过被测物前后的强度，e是自然对数的底数，，为被

测物厚度，P为被测物的密度，〃是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用锢241（即A机）低能/射线测量钢板的

厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8,钢的密度为7.6,则这种射线的吸收系数为（）

（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，In2《0.6931,结果精确到0.001）

A.0.110B.0.112C.0.114D.0.116

11.中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数''合称“六艺礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是

体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数，'，指数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连

排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在第三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，贝胪六艺”课程讲座

不同的排课顺序共有（）

A.12种B.24种C.36种D.48种

12.已知集合A={0,1,2,3},B={x|—24x42},则等于（）

A.{0,1,2}B.{-2,-1,0,1,2}c.{-2,-1,0,1,2,3}D.{1,2}

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在AABC中，内角AB,。所对的边分别为仇。，

若2cosA(/?cosC+ccosB)=a=V13,z\ABC的面积为36，

贝！|A=,h+c=.

14.已知等差数列{4}的各项均为正数，6=1,且出+4=%，若〃—4=10,则%一4=.

15.如图，在一个倒置的高为2的圆锥形容器中，装有深度为〃的水，再放入一个半径为1的不锈钢制的实心半球后,

半球的大圆面、水面均与容器口相平，则〃的值为.

16.已知正数a,6满足a+b=L则。+工的最小值等于，此时许.

ab

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用

于艺术装饰，如图1.为了便于设计，可将该礼品看成是由圆。及其内接等腰三角形ABC绕底边上的高所在直线

A0旋转180。而成，如图2.已知圆。的半径为10an,设/区40=。,0＜。＜,，圆锥的侧面积为Sc＞.

(1)求S关于。的函数关系式；

(2)为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积S最大.求S取得最大值时腰A8的长度.

18.(12分)如图，在四棱锥P-A5CZ)中，底面ABC。是直角梯形且AD〃BC,ABLBC,AB=BC^2AD=2,

侧面为等边三角形，且平面243,平面ABC。.

(1)求平面Q4B与平面POC所成的锐二面角的大小：

(2)若。。=义。&0效叫I),且直线8Q与平面POC所成角为q，求X的值.

19.(12分)已知中心在原点。的椭圆C的左焦点为耳(一1,0),C与丁轴正半轴交点为A，且

(1)求椭圆C的标准方程；

k

(2)过点A作斜率为占、&(%#2。0)的两条直线分别交C于异于点A的两点M、N.证明：当&■时，直

线MN过定点.

20.(12分)如图，在四棱锥A—3CDE中，平面BCDE，平面ABC,BE±EC,BC=1,AB=2,ZABC=60°.

(I)求证：B£1平面ACE；

(II)若锐二面角£一AB-。的余弦值为亘，求直线CE与平面ABC所成的角.

7

21.(12分)已知AA5C的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,若c=2a,bsinB-asinA=-asinC.

2

(I)求sinB的值；

TT

(II)求sin(2B+y)的值.

22.(10分)若〃>()/>0,且—I—=Vcib

ab

(1)求/+尸的最小值；

(2)是否存在。力，使得2a+3b=6?并说明理由.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

因为要对600个零件进行编号，所以编号必须是三位数，因此按要求从第6行第6列开始向右读取数据，大于600的,

重复出现的舍去，直至得到第六个编号.

【详解】

从第6行第6列开始向右读取数据，编号内的数据依次为：

436,535,577,348,522,535,578,324,577,…，因为535重复出现，所以符合要求的数据依次为

436,535,577,348,522,578,324,…，故第6个数据为578.选D.

【点睛】

本题考查了随机数表表的应用，正确掌握随机数表法的使用方法是解题的关键.

2.C

【解析】

试题分析：A中，函数为偶函数，但yNl,不满足条件；B中，函数为奇函数，不满足条件；C中，函数为偶函数且

yeR,满足条件；D中，函数为偶函数，但>20,不满足条件，故选C.

考点：1、函数的奇偶性；2、函数的值域.

3.A

【解析】

求得抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，解得两交点，由三角形的面积公式，计算即可得到所求值.

【详解】

抛物线/=ax（a>0/的准线为X=_j双曲线c；工一1=/的两条渐近线为1.=±可得两交点为,g-今卜（牛）

即有三角形的面积为,x-x—=272.解得。=8,故选A.

244

【点睛】

本题考查三角形的面积的求法，注意运用抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，考查运算能力，属于基础题.

4.D

【解析】

计算a,+%=«4，代入等式，根据知+2=4川+化简得到答案.

【详解】

%=1,%=2,%=3,故4+/=。4，

2020

£“2〃-1=4+“3+…+。4039=%+“5+%+…+。4039=4+%+-+”4039=…=^4040，

n=l

故z=4040.

故选：D.

【点睛】

本题考查了斐波那契数列，意在考查学生的计算能力和应用能力.

5.D

【解析】

设点P。一缈,y）,由|P4|=2|PB|,得关于）'的方程.由题意，该方程有解，则△之。，求出正实数，〃的取值范围,

即求正实数m的最小值.

【详解】

由题意，设点尸（1一年,y）.

■.■\PA\=2\PB\,：.\PAf=4\PBf,

即（1-〃+y2=4［（l-my_4）-+y2,

整理得（〃广+1））,+8平y+12=0,

则△=（8/〃）2-4（，〃2+1）x1220,解得m26或机4一6.

•/m>0,:.m>G,mniin=G.

故选：D.

【点睛】

本题考查直线与方程，考查平面内两点间距离公式，属于中档题.

6.C

【解析】

由7s2=4S,可得3(q+%)=4(%+4)，故可求q的值.

【详解】

因为7s2=4$4,所以3(q+6?2)=4(S4-S2)=4(o,+q)，

故“2=:,因｛a,｝为正项等比数列，故4>0,所以夕=白，故选C.

【点睛】

一般地，如果｛q｝为等比数列，S,为其前〃项和，则有性质：

(1)若m,〃,p,qeN*,机+〃=p+4,贝(Ja,“4,=玛4；

(2)公比4工1时，则有5“=A+3q",其中A,8为常数且A+B=O；

(3)Sn,S2„-Sn,S3n-S2n,-为等比数列(S#0)且公比为q".

7.D

【解析】

连接0P,根据题目，证明出四边形AP。。为平行四边形，然后，利用向量的线性运算即可求出答案

【详解】

连接0P,由AP||OB,3尸〃。4知，四边形AP30为平行四边形，可得四边形"0。为平行四边形，所以

____1131

DP^DA+DO=DA+-DA+-DC^-DA+-DC.

2222

【点睛】

本题考查向量的线性运算问题，属于基础题

8.D

【解析】

①通过证明ACJ_平面OBO,证得②通过证明MN//3O,证得例N//平面加(；③求得三棱锥

A-CNN体积的最大值，由此判断③的正确性；④利用反证法证得AD与3c一定不垂直.

【详解】

设AC的中点为。，连接。8,。。，则AC_L03,AC1OD,又所以AC_L平面0B。，所以

AC，BO,故①正确；因为MV//BO,所以例N//平面4h，故②正确；当平面D4c与平面ABC垂直时，VA_CMN

最大'最大值为喂.=匕小=/$点=能,故③错误；若与8C垂直，又因为所以3S

平面4口，所以XBD1AC,所以5。，平面A8C,所以8£>_LOB,因为OB=OD,所以显然3。

与08不可能垂直，故④正确.

故选：D

D

B

【点睛】

本小题主要考查空间线线垂直、线面平行、几何体体积有关命题真假性的判断，考查空间想象能力和逻辑推理能力，

属于中档题.

9.C

【解析】

对。进行分类讨论，结合指数函数的单调性及值域求解.

【详解】

d"—""—2m

分析知，m>0.讨论：当4>1时，\,所以d"=2,m=2,所以4=收；当0<。<1时，<,

a2,n=2m[a2m2=m

所以a"'=g,根=；,所以.综上，a=，或故选C.

【点睛】

本题主要考查指数函数的值域问题，指数函数的值域一般是利用单调性求解，侧重考查数学运算和数学抽象的核心素

养.

10.C

【解析】

根据题意知,r=0区。=7.6,；=；,代入公式/=i°e®，求出〃即可.

AZ

【详解】

由题意可得,f=0&夕=7.6,：=；因为/=,

所以1=e-7.6*0.8*即=_ln2_...0.6931

®0.114.

27.6X0.86.08

所以这种射线的吸收系数为0114.

故选:C

【点睛】

本题主要考查知识的迁移能力，把数学知识与物理知识相融合;重点考查指数型函数，利用指数的相关性质来研究指数型

函数的性质,以及解指数型方程；属于中档题.

11.C

【解析】

根据“数”排在第三节，则“射”和“御”两门课程相邻有3类排法，再考虑两者的顺序，有"=2种，剩余的3门全排列,

即可求解.

【详解】

由题意，“数”排在第三节，贝心射"和“御'’两门课程相邻时，可排在第1节和第2节或第4节和第5节或第5节和第6

节，有3种，再考虑两者的顺序，有&=2种，

剩余的3门全排列，安排在剩下的3个位置，有=6种，

所以“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有3x2x6=36种不同的排法.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了排列、组合的应用，其中解答中认真审题，根据题设条件，先排列有限制条件的元素是解答的关键,

着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

12.A

【解析】

进行交集的运算即可.

【详解】

・•・A={0,1,2,3},8={x|—2领Jc2},

二噌8={0,1，2).

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了列举法、描述法的定义，考查了交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.-7

3

【解析】

(1)由已知及正弦定理，三角函数恒等变换的应用可得2cosAsinA=sinA,从而求得

cosA=1,结合范围Ae(O,兀),即可得到答案

(2)运用余弦定理和三角形面积公式，结合完全平方公式，即可得到答案

【详解】

(1)由已知及正弦定理可得

2cosA(sinflcosC+sinCcos5)=sinA,可得：2cosAsin(B+C)=sinA

解得2cosAsinA=sinA,BPcosA=—

2

,：Ae(0,,

7C

A=—

3

⑵由面积公式可得：3jJ=g0csinA=¥尻，即历=12

由余弦定理可得：13=62+/—2/?ccosA

即有13=(/?+C)2—3/?C=(/?+C)2—36

解得匕+c=7

【点睛】

本题主要考查了运用正弦定理、余弦定理和面积公式解三角形，题目较为基础，只要按照题意运用公式即可求出答案

14.10

【解析】

设等差数列｛%｝的公差为d>0,根据4=1,且。2+4=6,可得2+6d=l+7d,解得d,进而得出结论.

【详解】

设公差为d,

因为出+4=4,

所以q+d+a1+5d=4+1d,

所以d=4=1,

所以%-4=（〃一q）d=10xl=10

故答案为：10

【点睛】

本题主要考查了等差数列的通项公式、需熟记公式，属于基础题.

15.蚯

【解析】

由已知可得到圆锥的底面半径，再由圆锥的体积等于半球的体积与水的体积之和即可建立方程.

【详解】

设圆锥的底面半径为广，体积为V,半球的体积为匕，水（小圆锥）的体积为匕，如图

rh,4

则OA=r,OC=l,O3=2,班=/?,所以ED=2xr=V777xl，解得/=§，

所以V=，乃/x2=§万，V.=—7T,V,=—7rx(—)2xh=—7rhy,

39132329

Q21

由丫=匕+匕，得万=乃+乃川，解得力=蚯.

939

故答案为：啦

【点睛】

本题考查圆锥的体积、球的体积的计算，考查学生空间想象能力与计算能力，是一道中档题.

16.3

2

【解析】

根据题意，分析可得2+,=2+@±2=2+3+1,由基本不等式的性质可得最小值，进而分析基本不等式成立的条

ababab

件可得a的值，即可得答案.

【详解】

根据题意，正数。、〃满足a+Z?=l,

b1ba+bba,lba,_

则一+-=-+----=-+-+l>2/-x-+l=3,

abababNab

当且仅当a=b==时，等号成立，

故2+工的最小值为3,此时a=’.

ab2

故答案为：3；—.

2

【点睛】

本题考查基本不等式及其应用，考查转化与化归能力，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)S=400兀sinOcos?。，(0<^<-)(2)侧面积S取得最大值时，等腰三角形的腰AB的长度为型®cm

23

【解析】

7T

试题分析：(1)由条件，AB=20cos6,8D=20cos夕sin。，所以S=400万sinScos?。，(0<6><-);(2)

2

S=400万sin9cos2g=400乃卜所以得/(x)=x—丁，通过求导分析，得/(x)在x=*

时取得极大值，也是最大值.

试题解析：

(1)设B］交BC于点D,过G作。垂足为E，

在AAOE1中，AE=10cos0>AB=2AE=20cos^,

在AABD中，BD=AB•sin。=20cos夕sin。,

JI

所以S=400万sinecos?。，(0<^<—)

2

(2)要使侧面积最大，由(1)得：

S=400万sin6cos2,=4OO^-(sin^-sin30j

☆x=sin。，所以得/(x)=x-x3,

由f，(x)=l-3d=0得:

时，/,(x)>0,当xw时，rw<o

所以/(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减,

所以/(“在工=当时取得极大值，也是最大值;

所以当sin。=也时，侧面积S取得最大值,

3

此时等腰三角形的腰长AB=20cos6=2071-sin2^=20

答：侧面积S取得最大值时，等腰三角形的腰AB的长度为型底cm.

3

18.(1)-；(2)延立.

46

【解析】

(1)分别取ABCD的中点为O,E,易得OP,OE,OB两两垂直，以OE,OB,OP所在直线为刘z轴建立空

间直角坐标系，易得汨=(1,0,0)为平面Q48的法向量，只需求出平面PDC的法向量为7,再利用

cos6=|cos<n-AD>|=计算即可；

\n\\AD\

(2)求出丽，利用|cos<W,8C>|=sin。计算即可.

【详解】

(1)分别取A8的中点为O,E,连结PQEO.

因为AO〃8C,所以。E〃8C.

因为所以ABJ_O£.

因为侧面243为等边三角形，

所以AB_LOP

又因为平面Q4B_L平面ABCD,

平面P/LBc平面ABC£>=AB,OPu平面。46,

所以OP_L平面ABCD,

所以OP,OE,03两两垂直.

以。为空间坐标系的原点，分别以OEOB,OP所在直线为X，Vz轴建立如图所示的空间直角坐标系,

^AB=BC=2AD=2,则O(0,0,0),4(0,T0),B(0,l,0),C(2,l,0),Z>(l,-l,0),P(0,0,百),

DC=(1,2,0),PC=(2,1,-73).

_n-DC=Ofx+2y=0

设平面PDC的法向量为九=(x,y,z),贝!r，即〈厂^

n-PC=0[2x+y-\J3z=0

取1y=1，则x=—2,z=—G，所以〃=(—2,1,—6).

又砺二(1,0,0)为平面B45的法向量，设平面与平面POC所成的锐二面角的大小为则

cosg=|COS<A2-AD>1=I"=/2,=显,

川皿7(-2)2+12+(-73)22

]T

所以平面.与平面加c所成的锐二面角的大小为“

(2)由(1)得，平面由DC的法向量为石=(-2,1,-百)，前=(2,1,-石),

所以成苑=前+义守=(-2义+2,-/1,&)(0效丸1).

又直线BQ与平面PDC所成角为y,

所以|cos“，丽>|=sing,即鲁第=*,

3I〃II5。I2

14A—4—?1—3/11\/5

P7(-2)2+12+C-x/3)2X7(-2A+2)2+(-2)2+(>/32)22，

化简得6万-64+1=0,所以丸=也8,符合题意.

6

【点睛】

本题考查利用向量坐标法求面面角、线面角，涉及到面面垂直的性质定理的应用，做好此类题的关键是准确写出点的

坐标，是一道中档题.

22

19.(1)—+^-=1；(2)见解析.

43

【解析】

(1)在RfA4£。中，计算出|做|的值，可得出。的值，进而可得出。的值，由此可得出椭圆C的标准方程；

(2)设点A/(4，x)、N(x2,y2),设直线MN的方程为丫=履+，"，将该直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理,

根据已知条件得出%#2=匕+自，利用韦达定理和斜率公式化简得出〃，与攵所满足的关系式，代入直线MN的方程,

即可得出直线MN所过定点的坐标.

【详解】

⑴在R〃kAf；。中，|0耳|=c=l,|AK|=J|OA『+|O凰2=",

'''^AF}O--,Z-OAF[--,.1.«=|^/^|==2,=J4—C?=6),

3o

22

因此，椭圆C的标准方程为上+二=1；

43

(2)由题不妨设MV:y=依+/”，设点M(X],y),N(x2,y2)

’22

土匕=]

联立{43一，消去y化简得(4公+3)/+8加a+4〃/-12=0,

y=kx+m

口8km4/?z2-12

且i=一而音…2=上"

1k、....y.—必-

15/3%-5/3Vi->/3V3

•/k2=―—,;北屈=卜七,.・・二——=—―+-^—―,

与一1玉x2x}x2

，代入y=Ax’+m(，=1,2),化简得(女2一22)中2+(&-1)卜”6)(%+々)+m2-2gm+3=0,

化简得8GM加一

,;m±C，..86k=3Qn一6),...m=8fA+&,

直线MN:y=kx+8匣因此，直线MN过定点(一挛，百.

【点睛】

本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中直线过定点的问题，考查计算能力，属于中等题.

20.(I)详见解析；(H)45°.

【解析】

(I)由余弦定理解得AC,即可得到ACL8C,由面面垂直的性质可得AC,平面3CDE,即可得到AC_L8£,

从而得证；

(H)在平面BCDE中，过点E作EOLBC于点。，则OE_L平面ABC,如图所示建立空间直角坐标系，设

A(-a,J5,0),E(0,0/),其中0<。<1,匕>0,利用空间向量法得到二面角的余弦，即可得到。力的关系，从而得

解；

【详解】

解：(I)证明：在AABC中，AC2=BC2+AB2-2BC-cosZABC»解得AC=g,

则AC?+=452,从而ACj_8c

因为平面BCDEL平面ABC,平