2020-2021学年高中数学新教材第一册学案：第二章一元二次函救、方程和不等式

第二幸一元二次函救、方程和不等式

2.2基本不等式（共2课时）

（第1课时）

学习目标

lo推导并掌握基本不等式，理斛这个基本不等式的几何意义,

并掌握定理中的不等号“N”取等号的条件是：当且仅当两个教相

等；

2.通过实例探究抽象基本不等式；通过多媒体体会基本不等式

好4而等号成立条件，

掌握运用基本不等式求最值；

重点难点

1.从不同角度探索不等式而〈管的证明过程，会用此不等式求

某些简单函数的最值；

2.基本不等式等w痣等号成立条件；

知识梳理

一、情境导学

（1）如图是在北京召开的第24界国际教学家大会的

会标，会桁是根据中国古代教学彖处灾的弦图设|讨

的，处灾是为了证明勾股定理而绘制了弦图。

弦图既标志着中国古代的教学成就，又象一只转动的风车，欢

迎来自世界各地的教学家们。

思考1:这图案中含有怎样的几何图形？

思考2：你能发现图嚎中的相等关系或不等关系吗？

(2)探究图形中的不等关系

将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中有4个全等的直

角三角形,设直角三角形的两条直角边长为a,bCa^bJ,那么

正方形的边长为V7寿、这样，4个直角三角形的面积的和是2ab,

正方形的面积为/+/、

由于4个直角三角形的面积之和小于正方形的面积，

我们就得到了一个不等式：a2+Z?2>2ab,

问题1.思考证明：你能给出它的证明吗？

学习过程

二、新知探究

基本不等式:如果a>0,b>0,我们用&、的分别代卷a、b,可

得a+c2疯，通常我们把上式写作:基本不等式早上疯(a>0,b>0)

(当且仅当a=b时，取等号)

(1J在教学中，我们称等为久。的算术平均数，称疝为久b

的几何平均.数。本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数

不小于它们的几何平均数.此不等式又叫均值不等式。

探兜1。从不等式的性质推导基本不等式

如果学生类比重要不等式的证明给出证明，再介绍书上的分析

法O

分析法证■明：证明不等式W^NV^(a>0/>0)

探究2.理解基本不等式等2而的几何意义

在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b、过

点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、

你能利用这个图形得出基本不等式而《审的几何斛奔吗？

(1)AB表示什么？(2)审表示哪个线段？(3)短对应哪

个线段呢？

C4J0D与CD的大小关系如何？

典例解析：

利用基本不等式求景值

鱼J1⑴已知。＞0力＞0,出?=36,求。+阴勺最小值。

(2)已知。＞0,/?＞0,。+。=18,求〃阴勺最大值。

基本不等式的使用条件

例2、1.(1)已知尤＜0,求函数/1(x)=x+L的最小值

x

⑵已知x＞3,函数尸x+」一,当x为何值时，函数有最值，并求其最值。

x-3

(3)若0求函数y=x(l-2x)的最大值。

a1.设0＜元〈-,求函数y=4x(3-2x)的最大值。

跟踪训练2

2.函数“幻二名再豆+力工能否用基本不等式求最小值？

J/+2

达标检涮

L下列不等式中，正确的是()

A、a+错误!N4B、a2+b2>4abCo错误2错误！

D、x?+错误!22错误！

2、若。>1,则。+错误!的最小值是()

A、2B.aC.错误！D、3

3、若mZ?都是正数，则错误!错误!的最小值为()

A.7B、8C,9D、10

4、已唉口X〉0,y>0,且错误！+错误！=1,贝1x+y的最小值为

课堂小结

我们学习了重要不等式。2+〃之2次?；基本不等式;两正教。、b

的算术平均教r学人几何平均数(而)及它们的关系(学'^yfab).

它们成立的条件不同，南者只要求八人都是卖数，而后者要求

a.Z?都是正教.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函教最

值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).

参考各亲：

问题lo证明：因为«2+b2-2ab=(a-b)2

v(a-/?)2>0,:.a2+b2>2ah,当且仅当a=b时等号成立

探究1：证明：要证g”疯

只要证a-\-b>2>[ab只要证a+b-2yfah>0只、要证[fi-痂NQ显

然，

是成立的.当且仅当a=b时，(3)中的等号成立.

探究2：易证火tZSACDs/et^DCB,那么CD2=CACB即

CD二痴.

这个圆的半径为等，显然，它大于或等于CO,即等2旅，

其中当且仅当点。与圆心重合..，即。=。时，等号成立.

因此：基本不等式点4审几何意义是“半投不小于半钱”

例i(D解析:Q等3疝

\a+b22y[^b2序=12(当且仅当a=b=60寸取等)

(2)解析:Q八而/—r可a+b，",°？(/。亍+人、2)勺/18、),=8…1

(当且仅当。=人=9时取等)故aZ粕最大值为81

…c⑴解"(x)=x+L=-[(-x)+(」)]?2.(-x)?(-)=-2

例2。xxVx

当且仅当-x=-,即x=-1时有最小值-2

X

(2)Qx>3,\y=x+—J—=(x-3)+—+3?2J(x3)?—3=5

x-3x-3Vx-3

当且仅当x-3=—即x=4时，函数有最小值，最小值为5。

x-3

..0<x<-,Ql-2x>0

(3Jo不•2

\y=x(l-2x)=g鬃x(1一2制苗督+(；2*)=1

11

X——x——

当旦仅当2x=(l-2xJ，即4时，取“=”号,・•.当4时，翦救

J=x(l—2x)的景大值是。

3

W：QO<x<-\3-2%>0

跟踪训练(U

\y=2g|x(3-2x)W2(2士卫尸=2,当且仅当2x=3-2x即x=2?(0,」)时取等

2242

(2)由基本不等式知^/?互+-rJ=?2,序^^=2

Jf+2NJx?+2

当且仅当/再5=—=即/+2=1时取等，而这是不可

77+2

能的，故此函数不能用基本不等式求最小值。

达标检测

1.解析：选D.〃v0,则。+错误!N4不成立，故A错；a=l,Z?=1,

/+尻v4次?，故B错,。=4,Z?=16,则错误!v错误!，故C错；由基本

不等式可知D项正确.

2o解析：选D。«>1,所以〃一1>0,

所以〃+错误！=〃-1+错误！+1之2错误！+1=3.当且仅当1二错误！

即Q=2时取等号*

3o解析：选C。因为a,b都是正数，所以错误!错误!=5+错误!+错误!

>5+2错误！=9,

当且仅当b=2a>0时取等号,

4o解析：x+y=(x+y)•错误！=10+错误！+错误!N10+2错误！=10+6=

16o

2o2基本不等式（第2课时）

学习目标

lo能够运用基本不等式解决生活中的应用问题；

2o围绕如何引导学生分析题意、设未知量、找出数量关索进

行求解这个中心，发展教学抽象和教学建模的核心素养。

重点难点

重点:在实际问题中建立不等关京，并能正确运用基本不等式求

最值；

唯点:注意运用不等式求最大（小）值的条件

知识梳理

I、小试牛力

1、判断正误.（正确的打“加’，错误的打“义”）

（1J对任意的a,b€R,若〃与Z?的和为定值，刘ab有最大

值、（）

（2）若孙=4,则x+y的最小值为4。（）

（3J函数/（幻=/+错误!的最小值为2错误!一1。（）

2、已知x+y=l且x〉0,y>0,则错误!+错误!的最小值是（）

A、2B,3C、4D、6

学习过程

二、新知探究

问题1.用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园，问这个矩形的

长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？

结论1:__________

问题2.用段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形茉

园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面彳只是多少？

结论2：__________

（三）典例解析

均值不等式在实际问题中的应用

例1、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其叁积为4800/,深

为3mo如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造

价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低造价为多少

元？

跟踪训练1.某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一如

图所示的一个矩形综合性体闲广场，其总面积

3000m2,其中场地四周（阴影部分）为通道，；

通道宽度均为2m,中间的三个矩形区域将铺设

塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动

场地占地面积为S平方米、

（1）分别写出用x表示y和S的函数关式（写出函数定义域力

（2）怎样设计能使S取得最大值，最大值为多少?

2.某商品进货价为每件50元，据市场调查，当销售价格为每件

x（50S烂80）元时，每天销售的件数为错误!，若想每天获得的利润

最多，则销售价应定为多少元？

【归纳总结】

利用基本不等式证明简单的不等式

例2已知。，。都是正教，且〃+/?=1,

求证：（1+*]+庐9.

,beca,

+

跟踪训练3.已知:a,b,c€R,求证:"+万+错误!+b+CO

达标检测

1、已知正数4、Z?满足出?=10,则a+Z?的最小值是（）

Ao10B、25C.5D、2错误!

2、小王从甲地到乙地和从乙地到甲地的时速分别为〃和

其全程的平均时速为心则（）

A.a<v<\^abB、v=错误！

C、错误!〈错误！D、V=错误！

3、票公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6

万元/次，一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总

存储费用之和最小，则x的值具_________、

4.禁单核决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它

的后墙利用间喑不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧

墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米爱价20元，求：

①仓库面积S的最大允许值是多少？

②为使S达利最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅

应设计为多长？

5.已知4>0,Z?>0,c>0,且〃+Z?+c=l,求证弓+"29。

课堂小结

1.利用基本不等式来解题时，要学会审题及根据题意列出函数表

达式，要懂得利用基本不等式来求最大(小)值

2.利用基本不等式解决实际问题的一般步骤：先建目标函数，再

用基本不等式求函数的最值，从而得出实际问题的解。

参考答案：

〜、小试牛刀

lo答案：(\)X(2JX(3)N

2.斛折：法一：错误！+错误！=错误！=错误!N错误！=4,

当且仅当x=y=错误!时取等号，

法二：错误！+错误！=错误！+错误！=2+错误！+错误左4,当且仅当X=y=错误!时

取等号,

答喙：C

二、探究新知

问题1。解：(1J设矩形菜园的长为］m,宽为ym,则q=ioo,

篱笆的长为2(x+y)m

由号2历，

可得x+y>2x/ioo,2(x+y)>40

等号当且仅当x=,时,成立，此时x=y=10,因此，这个矩形的长、宽为

10m时，

所用篱笆最短，最短篱笆为40m

问题2.斛:设矩形菜园的长为im,宽为ym,则

2(%+y)=36,%+y=18,

矩形菜园的面积为孙rn2,

由历《亨吟=9,

可得<81,

可得等号当且仅当X=丁时成立，止匕时*x=y=9

因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面

积为81a

三、典例解析

例1.解：设底面的长为xm,宽为ym,水池总造价为z元，

才艮据题意有z=150x^22+120(2x3x+2x3y)=240000+720(%+y)

3盯=4800xy=1600

由今积为4800疗，可得

由基本不等式与不等式性质，可得240°°°+72°(x+y)N24°(X)°+72°x2H

日口z>240000+720x2,1600,z>297600

可得等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=40

所以，将水池的地面设计成边长为40m的正方形时总造价最低,

最低造价为297600元

跟踪训练1［解析］(1)由已知移=3000,2〃+6=y,

贝Iy=错误!(6<x<500),

S-(x-4)a+(x-6)a-(2x-10Ja=(2x-10)•错误！=(x-5)

(y-6)=3030-6x-----J-C---(6<x<500).

<2)5=3030-6x-错误03030-2错误！=3030-2x300=2430.

当且仅当6%=错误!，即x=50时,"="成立，此时x=50。y=60,

Smax=2430.即设计x=50m,y=60m时，运动场地面积最大，

最大值为2430n?、

跟踪训练2.将析：方法一：设当销售价格为每件x元时，获得的

利泗为y,由题意知，y=(x-50)•错误！

=(工一50)•错误！

=错误!.

x—50^0,「.x—50+错误!之20,

105八八

•，石20+20=2500,

当且仅当了-50二错误!，即x=60或x=40(舍去)时，等号成立，

'max=2500.

方法二：由题意如，y=(x-50)•错误!，

令x-50=Kx=t+5Q(t>0),

贝Uy=错误！=错误！=错误!S错误！=2500,

当且仅当t=错误!,即，=10时，等号成立，

此时X—60,'max—2500.

答：当销售价格定为60元时，每天获得的利润最多，最多利润

为2500元、

例2.：结合条件。+匕=1,将不等式左边进行迨当变形，然后利用基

本不等式进行证明即可。

证明：因为a>0,b>0,a+b=l,

所以1+：=