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文档简介
2022年山西省晋城市统招专升本数学自考
真题(含答案)
学校:班级:姓名:考号:
一、单选题(30题)
1.
.设y=cosa、则严=()
A.—coszB.COSHC.—sirLrD.sirtr
2.
已知43,C,I均为2)阶方阵,其中/为单位矩阵,若力BC=/,则下列各式
中总成立的是()
hBCA=IB.ACB=IC.BAC=ID.CBA=I
3.
设曲线y=—/(、r)在[a,瓦]上连续,则由曲线v=—/(/),直线x==b及1轴
围成的图形的面积A=()
A.if(.x)dxB.—f/(jr)dxC.[|/(x)|diD.Iff(.x)dxI
JavavaIJa
4.
若y(.r)=尸',则j/"(ln.r)dz=()
A.--+CB.—+CC.ln.r+CD.-ln.r+C'
x.r
5.
在空间直角坐标系中,若向量a与Or轴和轴正向的夹角分别为45°和60°,则向量
a与Oy轴正向的夹角为()
A.30°B.60°
C.45°D.60°或120°
6.
设函数/(x)的定义域为[0,1],则函数/(Inx)的定义域为)
A.(―8,+8)B.[1,e]c.Loa]D.(O.e]
7.
.设/'(1)在口.21上可积.且/(1)=1"(2)=1.j/Q、)cLr=-1,则]工/'(i)di=
()
A.-1B.OC.1D.2
8.
=cosZ,
曲线1在/=子处的法线方程为()
\y=sin2/
A.m=gB.y=1
C.?=e+1D.3=z—1
9.
若C为单位圆周|之|=1•则下列积分中,值不为零的是()
Afd-Rfd之
,Jccosz,Jr之2+2之+2
「fe'dznf虫
Jez2+5^+6Jcz
10.
•直线上7=弓」■尹与平面21+»=0的位置关系是()
一1LO
A.直线在平面内B.平行
C.垂直D.相交但不垂直
11.
已知函数在闭区间[一:%;%]上连续,则定积分C■/■“sinzdz=()
:-•:••!:}■•(..…第:领f“.•:
A,-1.—...,,•B.0-----""W'F—1梵!:!,:D.不确定
12.
(y=sinf•-
曲线广(/为参数)在?=■对应点处切线的方程为()
kr=2cos/4
A.汇=1B.y=1C.y=▲、+1D.y=i-1
13.
当z-0时,无穷小量e2,一l是无穷小量sin3①的()
A.低阶无穷小B.高阶无穷小
C.等价无穷小D.同阶但非等价无穷小
14.
—sin-#40,
设f(x)=«*3要使/(才)在(一8,+oo)上连续.则a=()
ax=0,
A.0B.1C.-i-D.3
o
15.
由方程中一siny=1所确定的隐函数y=/(x)的导数包=()
dx
Xx
A.-----------B.---------c.——D.
cosy-ycosj^-xx-cosycosx-J
枝"hm()
i尸+12
C.1
A.UH.一7
16.4
17.
函数J(T)=er—e—的一个原函数是)
A.F(Jt)=er-eB.F(^)=er+e-
r
C.PE)=6r-e-D.F(a)=—e—e
18.
.设/(了)=1.且f(0)=1,则=()
A.x+CB.-5-x2+x+C
C.>+z+CD.yj-2+C
19.
微分方程y'=y-l满足初始条件y\xm0=2的特解是()
A.y=1+CexB.歹=1+6”C.y=2exD.y=l+e-“
20.
则/述2dx=(
设函数/(x)=er,)
JX
A.------FCB.-Inx+CC.—卜CD.Inx+C
Xx
21.
DO[℃>100/CO3
下列级数£丁^~£一,z—,中,共有()个级数发散.
金皿〃+1)喜〃M〃n=i4
A.1B.2C.3D.4
22.
1
y(x)=与二,则x=o是/(*)的()
e7+l
A.可去间断点B.跳跃间断点C.第二类间断点D.连续点
23.
下列函数中为偶函数的是()
A.y=M+logs(1一、r)B.y=jrsiru、
C.y=ln(y1+.r+.r)D.y
24.
设/(%)的一个原函数为sin2M则,(①)dr
A.cos2xB.sin2jrC.CQS2N+CD.sin2/+C
25.
微分方程计+如=0的通解是
yx
2
A.x+y=25B.3J-+4y=C
C.x2+y2=CD.VT=7
26.
若函数f(z+1)=/,则/(j)=()
AdB.(x+1)2
C.(x-I)2D.x2-1
27.
已知函数N=exln,r.则dy=
A.—d.«-B.卜,ln.r+巳产TC.e'ln-rd.z、D.fjdx
28.
由曲线V=cos2z(z>0)轴,y轴所围成的平面图形面积为)
7t
A.
1
B.
7T
C.
2
I
D.
29.
卜列哪个式子是不正确的
A.limc-'=0B.lime'"=1
n・+8n
1D.lim(1+=e
n-0
30.
如果级数£,,”收敛.则它的和是()
A.«]+〃?++u,B.lim〃“
(一
,t
C.D.以上都不是
二、填空题(20题)
xf(jr2)ff(*)djr=
31.
32.
已知L是抛物线>=H2上点0(0.0)与B(l,l)之间的一段弧,则[rds
(sin2K、八
------■H>0•
已知函数/(/)=v1在i=0点连续,则a=
+a■1<0
33.
参数方程<*-5c°s',所确定曲线在,=口.处的切线方程为
34Iy=3sin/4
35.
设积分区域D为十44),*则d,rdv=
登3"+5”“
Z---------工的收敛区间为_
36.”1n
37微分方程—4“+4)=0的通解了(才)=
sin^.r
JT金0,
设函数/(l)=«,是常数)为连续函数,则“=
a♦.r=0
38.
lim/—sin?/一〃sin—\=
I7177)
39.
若3=cos孕+isin”,则1+TC,2+w,=
40.
设f(jc)=JC(JC+1)(1+2),,,(x+M),则/“(0)=
41.
42由曲线)=e-y=e及y轴围成的图形的面积是
43匕V(-〃----+-1-)-(〃---+--2-)-
ear—atN<0♦
函数/(x)=是连续函数,则a=
.«COS2JT+I>0
44.
y2
(:r'—T+1)sinjd.r=
45.'
设函数)•='arctanx,贝!|丁”=
46.
基级数的收敛域是.
47."Tn3
48设/(k,_y)=ln(.rz+y2)co&ry?,则f,(1,0)=
49.
设f(t)dt=jc2+Injr—1,则f(x)=
Ji
设函数/(ln.r)-2i+1.则/coin()
三、计算题(15题)
求极限如(短一答卜
51.
、口(X:1)2(II2)3e,
设y=—,--------2ky-
52,,工+3(.rH-4)
53.
求微分方程e'cosydr-沙2⑦=0满足初始条件y心。=0时的特解.
54.
/sin—+sin2z,i¥0,
设函数/(i)=1i用导数定义计算/(0).
0,1=0,
已知n=八yzTy",e>),/可微.求学字.
55.3x办
56.
设函数/(x)=/一j:/(z)dz,求世工)在区间[0.2]上的最大值与最小值.
设y=cos[f(12)],其中/'具有二阶导数.求也.
57.
设/(X)的一个原函数为一,求
58.
59.
求函数U=玄//在点p(lJJ)处的梯度和沿该梯度方向的方向导数.
将f(j)=-展开为(.r-2)的幕级数.
60.工
求由曲线y=%2与y=x+2所围成的平面图形的面积.
61.
62设函数y=.y〈i)由方程y=(ini)"♦.4确定,求
•rsinxdz
求极限limS—5-------,
°—°x'(er-1)
63.
64.
X=t,
求函数在点2)处沿曲线Jy=2/,在点M处的切线方
,工2+一+♦
z-2?
向的方向导数.
65.
已知函数,=.r(.y)由方程arctan上=In,d+所确定,求乎•.
xdy
四、证明题(10题)
66.
设函数下H)=/(])/(&)(1>o),其中“工)在区间[”.+8)上连续,/”(外在
x-a
(a,+8)内存在且大于零,求证:FQ)在(a,+8)内单调递增.
67.
证明:/x/(sin.r)d.r=/(sin.r)cLr,并十卜算—ls^nz—d.r.
Jo4JoJo1+cosjr
证明函数f(x)=InQ-+46+1)为奇函数.
68.
69.
涯如⑴在M上连家腼好:。』]上的任船网诵微信/⑴血
0</(《w1,证明:在[0,1]上至少有一点&使得/(f)=&
70.
证明不等式:当a>b>e时,2<也'<:(«々2.71828).
aIn。b
71.
已知方程.r11—x7—x3+.r=0有一正根r=1.证明方程1124°—7才,—3T2+1=0
必有一个小于1的正根.
72.
设/(x)在[0,c]上可导J(H)单调递减且/(0)=0,用拉格朗日中值定理证明:对任
意a.b,04aW64a+6=C,恒有/(«+/>)</(a>
-dzdz
已知二元函数z=xex,证明:X—+y—=X
73.小川
74.
已知明・。2.%是Ar=b的解,证明:。=3ai—a2—2%为齐次线性方程组Ar=0的解.
75.
已知方程4①+3工・3—V=0有一负根w=-2,证明方程4+9]2—5w*=0必有一个
大于一2的负根.
五、应用题(10题)
76.
已知曲线y=a行(a>0)与曲线y=InC在点Q'o,%)处有公切线,试求:
(1)常数a和切点(4,外);
(2)两曲线与1轴围成的平面图形的面积S.
77.
设函数/U)=(.r+2『/(.r),其中/(“在[-2,5]具有二阶导致出/(5)=0,
证明:存在Je(-2,5),使尸"⑶=0.
78.
已知D是抛物线L:y=2x和直线z=,所围成的平面区域.试求:
(1)区域Q的面积;
(2)区域。绕OH轴旋转所形成空间旋转体的体积.
79.
曲线》=£3(]>0),直线々+),=2以及.V轴围成一平面图形D,试求平面图形D绕
y轴旋转一周所得旋转体的体积.
80.
现有边长为96厘米的正方形纸板,将其四角各剪去一个大小相同的小正方形.折做成
无盖纸箱.问剪区的小正方形边长为多少时做成的无盖纸箱的容积最大?
81.
由曲线》=(1一1)(X-2)和二轴围成一平面图形,求此平面图形绕y轴旋转一周所
成的旋转体的体积.
82.
设平面图形D由曲线y=-和直线.y=n=2及]轴围成.求:
(1)平面图形D的面积;
(2)这图形绕I轴旋转一周所得旋转体的体积.
83.
钦做一个容积为Vn?的无盖圆柱形储盘桶,底用铝制,蟾用械制,已知每平方米
铝价是械价的5倍洞怎样做才能使费用最少.
84.
求由抛物线y=F与直线y=x所围成的平面图形的面积及该图形绕x轴旋转一周
所形成的旋转体的体积.
85.
将长为〃的铁线成两段,一段围成正方形,另一段围成圆形,问这两段铁吆长各是多
少时,正方形与圆形的面积之和最小?
六、综合题(2题)
已知函数/(X)=3x—1—fi,
Jo1+r
(1)求/(x)在[0,1]上的最大值;
(2)证明:方程f(j-)=0在区间(0,1)内有唯一实数根.
86.
设函数/(x)=ax3+for2+cz-9具有如下件质:
(1)在点x=-1的左侧临近单调减少;
(2)在点1r=-1的右侧临近单调增加;
(3)其图形在点(1,2)的两侧凹凸性发生改变,
试确定常数的值.
参考答案
1A因为(cos.r)3=cos/z+等),
则(cos.r)‘z。⑻=cos(才+)=cos(.r+10094)=-cos.r,故应选A.
2.A
A解析:考查逆矩阵及矩阵乘积.因为48C=/,故*=BC,因此3c4=/成立.
3c【精析】由定积分的几何意义知C正确.
【精析】/"(#)=-c-J,/"(In.r)=-----»
.r
*r1
/(lnj)d.r------------dz=—Irur4-C.故应选D.
4.D,'
5.D
设所求的夹角为夕.则有cos30+cosz45°4-cos260°=I,得cos。=±J.8=60°
或120°,应选D.
6.B
[答案1B
【精析】/(.r)的定义域为[0,1],对于来说应满足0&ln.r=1,即14zWe,
故应选B.
7.D
[答案]D
【精析】.r/'(.r)cLr=[jd/(a)=J/(j)|—f/(.r)cLr
=2/(2)—/(1)—j/(j-)d.r=2—1—(—1)=2.
故应选D.
8.A
[答案]A
【精析】半2cos2fdv
=0♦
dx—sin?da”=i
切线斜率A=0,故法线方程为k=cos?=§.故应选A.
T/
9.D
1答案」D
【精析】I)项中.函数/(2)=C在单位圆周内有奇点Z=。,而其他二项中的函数在单
位圆周内均解析.故由柯西积分定理知.选项1)中的积分值不为零.
10.B
[答案1B
【精析】直线的方向向量为s=<-1,2,3}.平面的法向量”={2,1,0},由于
s♦”=0,直线上的点(0,1,-2)不在平面上,故直线与平面平行,应选B.
11.B
由于被积函数/si;为奇函数I,「Sbsinjrdj:=0.
12.B
[答案]B
d.v
*n
当
O叱
【精析】由于半=d7石-V
2-
一
dr
I>
SI
切线方程为了=1.JLJ.
【精析】lim111=lim件=日,
10sin"LO3、r3
所以与是同阶非等价无穷小.故应选
13De?'-1sin3TD.
14.C
【精析】limLinf=lim1f=1f(O)=a.根据连续的定义可知a=J.
LO3J-O1333
15.B
B
【评注】本题考查由方程所确定的隐函数的导数.方程两边同时对x求导可得
dydy„dyy
y+X'---cosj/--=0,—=------x.
dxdxdrcos7
16.B
17.B
【精析】J/(jJdk=](e"—ef)d_r=|e'dj:-+Je-'d(—h)=e"++C,结合选项
可知B正确.
18.B
[答案1B
【精析】由/'(幻=1,/'(0)=1可知/(H)=.r+1,所以j/(x)d,r=J(T+1)d.r=
}>+?+(:.应选B.
B
【评注】y'=yy'-y-,
y=e^~ldxJ-l-e^~ltkcb:+C=ex(e-x+C)-Cex+1,
v)
将4Ko=2代入y得C=l,y=l+e”.
19.B1
C
【评注】f£S^dx='(lnx)+C=4+C.
20.C'%x
21.B
B
«1001003
【评注】由p级数的敛散性知最发散;由比较判别法知g记扁发散;袋收
敛;由莱布尼茨判别法知
22.B
23.B
[答案]B
【精析】因为/(-x>=(-x)sin(-r)==JQ、).所以y=jsinj,是偶函数.
24D【精析】由原函数及不定积分的定义知,应选D.
25.C
【精析】由也十业=。,得也=一业,分离变量得一共壮=川”
yXyx
两边积分.得)./+G=另即/+V=C为原微分方程的通解,故应选C.
26.C
【精析】令,=1+1,则z=f—1,/(,r+1)=f(t)=(f—1产.则/(z)=(.x—1)2.
应选C.
27.B
rp
dy=d(eJlnjr)=eJdlar+lnxdex=(丁+e'lni)dw,故选B.
28.D
【精析】平面图形的面积$=「cos2/d.r=皿薯*=】.故应选口.
JoZoZ
29.C
—9-1)=物41=全故应选。
30.C
[答案1C
【精析】级数收敛则其和为〃-8时部分和数列《5」的极限,即limS“=lim»*•故
LL:―।
应选C.
31.
4
【精析】py(a-2)=y|/(.r2)f"(J'')d(.r2)
=yj/(-r2)d[/(.r2)]
=4•产(/)+c
4
32.
^(5V5-1)
【精析】由题意得,
fxds=[-rI(2工4dz=[x,1+da,djr=-j^(l+4x3)7I=心(51).
[答案12
【精析】rh函数在口=0处连续,可知)=/(O),
j--U.,T
即Iini(2.r-u)=limS'n*"^=2Iini=a.即a=2.
33,2……”…
34.
y=——x+3V2
35.
4K
[答案]4n
【精析】由二重积分的几何意义知\±rdy即为积分区域的面积,
所以JJclrdy=以=4兀.
D
36.
,,ELni'3"+5"w+1n(3/5)"+11
【评注】收敛半径R=hm---------rr=Inn---lun^--^――=-
n3+5…3(3/5)”+55
।⑶"1⑶"
181+-・181+-
当x=-上时,级数Z(TT,*收敛,当x=±时,级数Z发散,
5gn5*in
所以收敛区间为卜
37.
2r2r
(;e+C2.re
【精析】微分方程对应的特征方程为r2-4r+4=0,得r=2为二重特征根.故通解
2j2l
为为才)Cie+C2xe,Ci,C2为任意常数.
38.
b
[答案]b
【精析】函数在0时为初等函数,在其定义区间是连续的,故若函数为连续函数,
只需使其在广=0处也连续即可,即要满足=八。),所以a=lim业也
ri.sin4r,
hhrn-......=IK
”--bx
39.
-1
【精析】考察重要极限lim打竺=1的应用.
一0JC
1
sin一
1.1
lim—sin〃-zzsin——=lim—sin??—lim/zsin-=0-lim—L=-i
“f8n“f871;J-*007l“f8_L
n
40.0
[答案]o
【精析】1+w2+w4=1+cos率+isin苧+cos粤十isin=1--y+
OMOM乙
争=0
41.
〃!
匚答案1〃!
【精析】=lim,(')---=lim(.r+1)(.r+2)…()+”)=〃!.
j-*uJCz-*0
42.
1
根据定积分的应用•知所求面积为A=f'(e-eJ)d.r=(e.r-e")=1.
Jo0
43.1
[答案11
【精析】£(;+i,+2)=£(备-德-1T+H+…
本=一圭七洋尸1,故级数的和为1.
44.
X
2
,[答案]1
【精析】lim/(x)=lim(e—«)=1—limfix)=lim(«cos2x+JT)=a•由/(x)的
.r-U,r•“.r»n".,-u'
连续性•知1—4=a♦即a=-y.
45.
1—ySinZ
乙
[答案]1-Jsin2
【精析】|/Il)sin2.rd.r=|sinJ.rcLr
=21sin2.rclr=f(1—cos2.r)(lr
Jt>J0
=(x—《sin2H、=1—4~由12.
46.
2
(1+x2)2
解:J,'=arctan'+),"=1、+"二=?、、
^1+.V-1+X-(1+X-)(1+广)2
47.
[-33)
[-33)
]
【评注】哥级数的系数a,满足回信=!如色半二=;,所以收敛半径
方
当x=3,级数变为调和级数岸,所以发散;当x=-3,级
8f-IV1
数变为交错级数令与=一,因为%>〃“M,且lim%=O,根据交错级数
wne
审敛法(莱布尼茨定理),级数£匕且收敛;所以级数之二的收敛域为[-3,3).
“=4〃"3
48.2
/(x»0)=瓜产,/:(1,0)=(In/),=1•2]=—=2.
49.
2JC+—
x
m裁加油二d+buT两酬』求导可得J⑺=(¥+huT),二
1
2H-.
1
50.
2ex
【精析】因为.f'(hu)=2.r|1=2e国门,所以『(工)=2eJIl,/(z)=2e\…,
/⑺⑴=2d,所以/<2019)(z)=2e二
51.
lim匚披丝”
【精析】原式=
x*sin.7'
x-ysin2j:
lim-----------
LQJC
1-cos2x
lim
x-0
1(2x)2
2
52.
【精析】两边同取自然对数,得
1nly=21n(工+1)十31n(z+2)--1-ln(x+3)—In(工+4),
乙
两边分别对1求导,得
J_,=2,311
7-工+1十4+220+3)一彳+4'
,=工+2-「2上3_]_1:
J工十3(z+4)..*+11+22(x+3)*+4.
53.
解:微分方程可化为电=卫;即xe'dx=tanK^,
dxtany
两端积分可得(x-l^+C^-lnlcosyl,将vLo=O代入,得-1+G=O,即
G=1.故所求特解为ln|cosM=er-xe,-l.
54.
2
sin—+sin2Al
=j/(0+Aa-)-/(0)Ai
【精析】/(0)imlim
Ar-0Al
zA.2।sin2Ai\
lim(Aisin—H----------)=0+1ml吗
Ar-oA.rAIALOAVT
orsin2Ar
=Llim------=L.0
2Az
55.
【精析】设〃=+>,D=€,则N=f(U.V),
■■■1•,~♦e3•
a工du{E+ydvy
=:---/+-e>/v*
dzdzVc?N工/JT
—=—•—尸—j—・e*•।-石
dya”(w+dv\y
56.
【精析】设y(x)djr=k,
Jc
对/(»的等式两边同时取从0到2的定积分,得「/(力d*=(1<Lr—「Ad八
JGJ0J0
于是k=[/(x)<Lc=掾-2K
JQa
由上式解得k=1■,故/Gr>=/-J,
令f(x)=2x=0得驻点x=Ot
当了e(0.2)时•恒有"n>o•表明/(X)在区间(0,2)内严格单调增加.
所以/<0>=-卷是函数JXG在[0,2]的最小值.
/(2)=是函数/(x)在[0,2]的最大值.
57.
【精析】据题意=-sint/(x2)]•/\jr2)•2x=-2ar/,(x2)$inr/(x2)]»
dk
=[-2/"(x2)—4//(12)]5由1/(/)]—4>[八]2)1cos]/(工I)].
58.
【精析】原式=令厂一,:
1t1f]
=*/(,)--y/a)dt
L0ZJo
12
-T1/<1)-Tex01
=T/<1)-Te+T,
又/(.r)=(e/)'=2ie/,/(l)=2e,
所以--1-e+y.
59.
【精析】易见函数〃在整个R3中可微,因为grad”=(/£,24炉,2个葭),
所以grad”=(1.2.2),
函数在点(1,1,1)处沿梯度方向的方向导数为该点处梯度的模:
grad”=JI?+2?+2?=3.
60.
【精析】…
=:*(-1)"(三3”
4n-04
「(jr—2Y
=<o,4).
w-04
61.
2,2(Y2、232°
解:S=j](x+2)dx-J],dx=—+2x----=—.
62.
【精析】y=•jr,nz+(1皿/•(x'orY
=•2”+(显>•(ef
,,ln<Lr)Dtr
=e"rin(lnj-)4-J?•r^-•—I-x'+(lnj)•e^'•2lru-•—
iikrxJx
=(In工厂•-ln(lnr)+土]•工联+2(1皿尸】•工31
63.
£sinrd«r-2c
o1-N"sin.L•Lx
原式=lim1_
~7^----=hm-----j----,
/—*0XL。oJy
64.
【精析】曲线在M<1,2,一2)点处对应t=1,故切线的方向向量为I(1,4/,
—8/2)|=(1.4,—8),其单位向量
!(1,4,—8)=
由
2
票|=—^3>(x2+y+z2)-^
OJC|(1.2,-2)11.2.-2)行'
=[(X2+:/十/)一'—y2(x2十十之21I5
=27f
dyI(i,2,-2)I1U2.-2)
=4
-zy(x2+y+z*)-7
(1.2.-2)27
Ju1,4du8du14
于是\—♦-----—•—
813,2.<l.2>2>9dy(i.2,2)93z<1,2・2)243,
65.
【精析】方程arctan}=InVx2H-v2两边对y求导,得
]
].2m+21y
y/x2-+v22/N+9
X
即=-g—■—f,x-y=
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