2023北师大版新教材高中数学选择性必修第一册同步练习-3 . 2 空间向量运算的坐标表示及应用

2023北师大版新教材高中数学选择性必修第一册

3.2空间向量运算的坐标表示及应用

基础过关练

题组一空间向量的坐标及运算的坐标表示

1.(2020江苏邢江中学期中)若向量a=(4,2,-4),b=(2,1,-1),则2a-3b=()

A.(6,3,-7)B.(-2,-1,-1)

C.(2,1,-5)D.(14,7,-11)

2.(2021山东师范大学附属中学月考)已知a=(l,2,2),b=(-2,1,1),则向量b在a

上的投影向量为()

244B244

------

999999

211

---

333D.

3.(2022安徽无为华星学校月考)已知｛a,b,c｝是空间向量的一组基，｛a,b+c,b-c｝

是空间向量的另一组基,若向量P在基｛a,b,c｝下的坐标为⑵3,-1),则向量P

在基｛a,b+c,b-c｝下的坐标是()

A.(2,-1,-2)B.(2,-1,2)

C.(2,1,-2)D.(2,1,2)

4.已知AABC的三个顶点坐标分别为A(2,3,1),B(4,1,-2),C(6,3,7),则AABC的

重心坐标为()

A.(6g,3)B.(4《,2)

C•(叫9g,l)

5.(2021辽宁盘锦第二高级中学阶段性考试)若a=(2,3,-

1),b=(2,0,3),c=(0,2,2),则a-(b+c)的值为

6.(2022安徽亳州二中月考)若a=(l,1,0),b=(-l,0,2),则与a+b同方向的单位

向量是.

题组二空间向量平行与垂直

7.(2022安徽芜湖一中月考)已知a=(入+1,0,2入)，b=(6,2uT,2),若a〃b,则

入和u的值分别为()

A.-,-B.5,2

52

c.--,-D.-5,-2

52'

8.(2021福建泉州期中)已知a=(l,5,-2),b=(m,2,m+1),若a±b,则m的值为

()

A.-6B.-8

C.6D.8

9.已知向量m=(l,1,0),n=(T,0,2),且km+n与2m-n互相平行,则实数k的值是

()

A.--B.-C.-D.-2

555

10.(2020陕西商丹高新学校期末)已知空间向量a=(入，1,-映，b=(入，1,1),则

“人=1”是“a_Lb”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

11.已知0为坐标原点，瓦?=(1,2,3),而=(2,1,2),而=(1,1,2),点Q在直线OP

上运动，则当9•丽取得最小值时，点Q的坐标为()

A•&浦B.(|,|5)

C.D.

\333/\3337

12.(2021山东新高考测评联盟联考)已知a=(x,T,3),b=(l,2,-

D,C=(1,O,l),c〃(2a+b).

⑴求实数x的值；

⑵若(a-b)_L(入a+b),求实数X的值.

题组三空间向量的长度和夹角

13.(2021山东师范大学附属中学月考)若向量a=(x,-4,-5),b=(1,-2,2),且a与

b的夹角的余弦值为6-则实数x的值为()

A.-3B.11C.3D.-3或11

14.(2021北京第四十三中学期中)已知向量a=(-l,2,1),b=(3,x,y),且a〃b,那

么［b|=()

A.3V6B.6C.9D.18

15.已知向量a=(l,2,3),b=(-2,-4,-6),|c|=V14,若(a+b)-c=7,则a与c的夹

角为()

A.30°B.60C.120°D.150°

16.(2020北京十二中期中)已知点A(0,1,2),B(1,-1,3),C(1,5,-1).

⑴若D为线段BC的中点,求线段AD的长；

(2)若而=(2,a,1),且荏-AD=1,求a的值,并求此时向量荏与南夹角的余弦值.

17.(2020山西太原第五中学月考)如图，以棱长为1的正方体的三条棱所在直线

为坐标轴，建立空间直角坐标系O-xyz,点P在线段AB上，点Q在线段DC上.

(1)当PB=2AP,且点P关于y轴的对称点为M时，求|PM|;

⑵当点P是面对角线AB的中点，点Q在面对角线DC上运动时,探究|PQ|的最小

值.

答案与分层梯度式解析

基础过关练

1.C因为a=(4,2「4),b=(2,LT),

所以2a-3b=2(4,2,-4)-3(2,1,-1)=⑵1,-5),故选C.

,

2.B,.a=(l,2)2),b=(-2)1,1),Aa•b=lX(-2)+2X1+2X1=2,

向量a方向上的单位向量e=-^-=Q,f

\a\\333/

..・向量b在a上的投影向量为胃白儡齐,G，|,|)=(|,第).故选B.

3.D因为向量P在基｛a,b,c｝下的坐标为(2,3,-1),所以P=2a+3b-c.

设向量P在基｛a,b+c,b-c｝下的坐标是(x,y,z),则P=xa+y(b+c)+z(b-

c)=xa+(y+z)b+(y-z)c,

x=2,(x=2,

所以,y+z=3,解得｛y—1,所以向量p在基｛a,b+c,b-c｝卜的坐标是(2,1,2).故

(y-z=T，(Z=2.

选D.

4.B设aABC的重心G的坐标为(x,y,z),0为坐标原点,BC的中点为D,则

信加痔函+|而罚+洛怎+福赤+式丽-在瓜

OA)=1(OA+OB+OC),即(x,y,z)=|[(2,3,1)+(4,1,-2)+(6,3,7)]=(4,1,2).

5.答案5

解析因为b=(2,0,3),c=(0,2,2),

所以b+c=(2,2,5),

又因为a=(2,3,-1),

所以a・(b+c)=2X2+3X2+(-1)X5=5.

6.答案(0,9,学)

解析,.,a+b=(0,1,2),|a+b|=y,.,.与a+b同方向的单位向量是(0,京岛，即

(嗟，甯

7.A因为a〃b，所以b=ma(m£R),

(6=m(A+1),(m=『

BP2/i-l=Tnx0,解得1'=『故选A.

2=mx2A,=工，

8.D因为a_Lb,所以a•b=0,

因为a=(l,5,-2),b=(m,2,m+1),

所以m+10-2(m+l)=0,解得m=8,

故选D.

9.D9向量m=(l,l,0),n=(-1,0,2),

km+n=(k-1,k,2),2m-n=(3,2,-2).

•.•km+n与2m-n互相平行，

解得k=-2,故选D.

32-Z

10.A当入=1时,a=(l,1,-2),b=(l,1,1),所以a♦b=0,即a_Lb,故充分性成立;

当a±b时,a•b=0,即A2+l-2=0,解得入=±1,故必要性不成立.

所以“人=1”是“a_Lb”的充分不必要条件.故选A.

11.C设的=入而(入£R),贝1」丽=函—丽=m一人OP=(1一入，2-入，3—2人)，

QB=OB-OQ=OB-入OP=(2-入，1-入，2-2人)，

所以训•丽=(1一入，2-入，3-2入)•(2-X,1-X,2-2X)=2(3X2-8X+5)=2^3

4\211

3)-3,

所以当人胃时,m・丽取得最小值,此时的W前=(*,*即点Q的坐标为

13，3，3/,

12.解析⑴2a+b=2(x,-1,3)+(1,2,T)=(2x+1,0,5).

•.•c〃(2a+b),

/.设c=u(2a+b)(uWO),

.,.(1,0,1)=(u(2x+l),0,5u),

，匕(2：：1)=1,解得卜.

[5〃—1,1%=2,

•••实数x的值为2.

(2)由⑴可知a=(2,-1,3),则a-b=(2,-1,3)-(1,2,-1)=(1,-3,4),

Xa+b=X(2,-1,3)+(1,2,-1)

=(2入+1,-入+2,3入-1).

(a-b)_L(入a+b),

.,.2X+1-3(-入+2)+4(3X-1)=0,

17

13.A根据题意得cos〈a,b〉**7H名":咚

\a\\b\VX2+164-25XV1+44-46

化简得各行=咚解得x=-3.

vx2+412

故选A.

14.A根据题意，设b=ka(k£R),

即(3,x,y)=k(-l,2,1),

则有k=-3,则x=-6,y=-3,

则b=(3,—6,—3),

故Ib|=V9+36+9=3V6.

故选A.

15.C由题意可得|a|=VI4,且b=-2a,所以-a•c=7,

所以cos<a,c>_：；cq=］，

|a||c|142

因为0°W〈a,c>W180°,所以<a,c>=120°，故选C.

16.解析(1)由题意得,D(l,2,1),.•.而=(1,1,一1),|AD|=V1+1+1=V3,即

线段AD的长为次.

(2)易矢口荏二(1,一2,1),.•.荏•前=2—2a+l=l,解得a=l,：.AD=(2,1,1).

cos<荏,而>=翌

\AB\\AD\V6xV66

即向量荏与而夹角的余弦值为;.

6

17.解析由题意知A(l,0,