函数定义域的类型和求法

关于函数定义域的类型和求法1.当函数是整式时例如那么函数的定义域是实数集R。2.如果函数中含有分式,那么函数的分母必须不为零。3.如果函数中含有偶次根式,那么根号内的式子必须不小于零。4.零的零次幂没有意义,即f(x)=x0，x≠0。5.对数的真数必须大于零。6.对数的底数满足大于零且不等于1。求函数定义域注意以下几点：一、常规型即给出函数的解析式的定义域求法,其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组,解此不等式(或组)即得原函数的定义域。第2页,共9页，2024年2月25日，星期天例1求函数的定义域。解:要使函数有意义,则必须满足由①解得x≤-3或x≥5 ③由②解得x≠5或x≠-11④由③和④求交集得x≤-3且x≠-11或x>5故所求函数的定义域为{x|x≤-3且x≠-11}∪{x|x>5}。第3页,共9页，2024年2月25日，星期天(-2,-1]∪[1,2)(2≤x<4且x≠3（1/2,1]X≥1/10,且x≠1）第4页,共9页，2024年2月25日，星期天二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。(1)已知f(x)的定义域,求f[g(x)]的定义域。其解法是:已知f(x)的定义域是[a,b]求f[g(x)]的定义域是解a≤g(x)≤b,即为所求的定义域。例1已知f(x)的定义域为[－2,2],求f(x2-1)的定义域。解：令-2≤x2-1≤2，得-1≤x2≤3，即0≤x2≤3，因此，从而故函数的定义域是第5页,共9页，2024年2月25日，星期天（2）已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域。其解法是：已知f[g(x)]的定义域是［a，b］，求f(x)定义域的方法是：由a≤x≤b，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。例2已知f(2x+1)的定义域为［1,2］,求f(x)的定义域。解：因为1≤x≤2,2≤2x≤4,3≤2x+1≤5.即函数f(x)的定义域是{x|3≤x≤5}。(3)已知f(2x-1)的定义域是[0,1],求f(3x)的定义域。解:因为0≤x≤1,0≤2x≤2,-1≤2x-1≤1.所以函数f(3x)的定义域是-1≤3x≤1即

{x|-1/3≤x≤1/3}。第6页,共9页，2024年2月25日，星期天例3已知函数

的定义域为R求实数m的取值范围。分析：函数的定义域为R，表明mx2-6mx+8+m≥0，使一切x∈R都成立，由x2项的系数是m，所以应分m=0或m≠0进行讨论。解：当m=0时，函数的定义域为R；当m≠0时，mx2-6mx+8+m≥0是二次不等式,其对一切实数x都成立的充要条件是综上可知0≤m≤1。注:不少同学容易忽略m=0的情况,希望通过此例解决问题。第7页,共9页，2024年2月25日，星期天例4已知函数

的定义域是R，求实数k的取值范围。解:要使函数有意义,则必须kx2+4kx+3≠0恒成立,因为f(x)的定义域为R,即kx2+4kx+3=0无实数根①当k≠0时，△=16k2-4×3k<0恒成立，解得②当k=0时，方程左边=3≠0恒成立。