浙江省宁波市北仑区小浃江中学2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷（含解析）

-2024学年浙江省宁波市北仑区小浃江中学八年级（下）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分.在每小题给中，只有一项符合题目要求）1．（3分）下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A． B． C． D．2．（3分）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．以下是在棋谱中截取的四个部分（）A． B． C． D．3．（3分）为了使课间十分钟活动更加丰富有趣，班长打算先对全班同学喜欢的活动项目进行民意调．下面的调查数据中，他最应该关注的是（）A．众数 B．中位数 C．平均数 D．加权平均数4．（3分）下列计算正确的是（）A． B． C． D．5．（3分）用配方法解方程x2﹣4x﹣7＝0，下列配方正确的是（）A．（x﹣4）2＝23 B．（x+4）2＝23 C．（x﹣2）2＝11 D．（x+2）2＝36．（3分）一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，则这个多边形是（）A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形7．（3分）若用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，则首先应该假设这个四边形中（）A．至少有一个角是钝角或直角 B．没有一个角是锐角 C．每一个角都是钝角或直角 D．每一个角是锐角8．（3分）如图，在平行四边形ABCD，O是AC、BD的交点，若△CDE的周长为11cm，则平行四边形ABCD的周长为（）A．20cm B．22cm C．24cm D．26cm9．（3分）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若a﹣b+c＝0，则它有一根为﹣1，则一元二次方程ax2+bx+c＝0两个不相等的实数根；其中正确的是（）A．②③④ B．①③④ C．②③ D．①②10．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝4，E是边DC延长线上一点，连接BE，连接FC，则FC的最小值是（）A． B．2 C． D．二、填空题（每小题4分，共24分）.11．（4分）当有意义时，x的取值范围是．12．（4分）为弘扬传统文化，某校在读书节举行了“诗词竞赛”，某班20名同学参加了此次竞赛，则全班20名同学的成绩的中位数是．人数2774成绩（分）70809010013．（4分）有一边长为3的等腰三角形，它的两边长是方程x2﹣4x+k＝0的两根，则k＝．14．（4分）已知样本x1，x2，…xn的平均数是5，方差是3，则样本3x1+5，3x2+52，…3xn+5的方差是．15．（4分）如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于点D，DF＝1，则边BC的长为．16．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝30°，将△ABC沿AC翻折至△AB'C，连接B'D．当BC长为时，△AB'D是直角三角形．三、解答题（本题有8个小题，共66分）17．（6分）计算：（1）；（2）．18．（6分）解方程：（1）x2﹣2x﹣1＝0；（2）（x﹣3）（2x+1）＝（x﹣3）2．19．（8分）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形ABC如图所示．（1）请作出△ABC关于原点O成中心对称的△A'B'C'；（2）在网格图中作出▱ABCD．（3）写出点A'的坐标．20．（6分）如图，在四边形ABCD中，AC＝BD，E、F分别是AB、CD中点，EF分别交AC、BD于点H、G．求证：OG＝OH．21．（8分）2023年第19届亚运会将在杭州举行，某校举办了“迎亚运，展风采”知识竞赛，学生得分均为整数，为了解学生对亚运知识的掌握情况，结果如下：七年级10名学生的竞赛成绩：94，83，94，96，94，95，87八年级10名学生的竞赛成绩：83，95，86，95，82，95，91对上述两个年级各10名学生的竞赛成绩做如下分析：年级平均数众数中位数方差七年级90b91d八年级a95c34.2根据以上信息，解答下列问题：（1）请直接写出a，b，c，d的值．（2）你认为上述七、八年级各10名学生的竞赛成绩哪个年级好？为什么？（3）圆圆说：“由样本数据可以估计本次竞赛七年级学生中肯定没有同学得满分”．你认为圆圆的说法正确吗？请说明理由．22．（10分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜边AB上的一点，垂足为E，延长DE到F，使∠A＝∠F．（1）求证：四边形ADFC是平行四边形．（2）连接CD，若CD平分∠ADE，CF＝10，求四边形ADFC的面积．23．（10分）根据以下素材，完成探索任务．探索果园土地规划和销售利润问题素材1某农户承包了一块长方形果园ABCD，图1是果园的平面图，其中AB＝200米，上下两条横向道路的宽度都为2x米，左右两条纵向道路的宽度都为x米出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12米，且不小于5米.素材2该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元问题解决任务1解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响.（1）请直接写出纵向道路宽度x的取值范围．（2）若中间种植的面积是44800m2，则路面设置的宽度是否符合要求.任务2解决果园种植的预期利润问题．（总利润＝销售利润﹣承包费）（3）若农户预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？24．（12分）已知在平行四边形ABCD中，动点P在AD边上，以每秒0.5cm的速度从点A向点D运动．（1）如图1，在运动过程中，若CP平分∠BCD，求∠B的度数．（2）如图2，另一动点Q在BC边上，以每秒2cm的速度从点C出发，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），当运动时间为秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．（3）如图3，连结BP并延长与CD的延长线交于点F，CE平分∠ACF交BF于E点，当AE⊥CE，DF＝8时（4）如图4，在（1）的条件下，连结BP并延长与CD的延长线交于点F，若AB＝4cm，求△APF的面积．参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分.在每小题给中，只有一项符合题目要求）1．（3分）下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、是最简二次根式；B、＝5；C、＝，故此选项不符合题意；D、，故此选项不符合题意；故选：A．2．（3分）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．以下是在棋谱中截取的四个部分（）A． B． C． D．【解答】解：选项A、B、C不都能找到一个点，所以不是中心对称图形．选项D能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合．故选：D．3．（3分）为了使课间十分钟活动更加丰富有趣，班长打算先对全班同学喜欢的活动项目进行民意调．下面的调查数据中，他最应该关注的是（）A．众数 B．中位数 C．平均数 D．加权平均数【解答】解：此问题应当看最喜欢的活动项目的人最多，应当用众数．故选：A．4．（3分）下列计算正确的是（）A． B． C． D．【解答】解：×＝，故A错误；＝5，故B正确；÷＝，故C错误；5与2，故D错误；故选：B．5．（3分）用配方法解方程x2﹣4x﹣7＝0，下列配方正确的是（）A．（x﹣4）2＝23 B．（x+4）2＝23 C．（x﹣2）2＝11 D．（x+2）2＝3【解答】解：x2﹣4x﹣6＝0，x2﹣6x＝7，x2﹣8x+4＝7+4，（x﹣2）2＝11，故选：C．6．（3分）一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，则这个多边形是（）A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形【解答】解：设这个多边形的边数为n，则（n﹣2）•180°＝2×360°，解得：n＝2，即这个多边形是六边形，故选：C．7．（3分）若用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，则首先应该假设这个四边形中（）A．至少有一个角是钝角或直角 B．没有一个角是锐角 C．每一个角都是钝角或直角 D．每一个角是锐角【解答】解：用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，首先应该假设这个四边形中每一个角是锐角，故选：D．8．（3分）如图，在平行四边形ABCD，O是AC、BD的交点，若△CDE的周长为11cm，则平行四边形ABCD的周长为（）A．20cm B．22cm C．24cm D．26cm【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，AB＝CD，∵OE⊥AC，∴AE＝CE，∵△CDE的周长为11cm，∴△CDE的周长为：CD+CE+DE＝CD+CE+AE＝AD+CD＝11cm．∴▱ABCD的周长为2（AD+CD）＝2×11＝22厘米，故选：B．9．（3分）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若a﹣b+c＝0，则它有一根为﹣1，则一元二次方程ax2+bx+c＝0两个不相等的实数根；其中正确的是（）A．②③④ B．①③④ C．②③ D．①②【解答】解：①若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则ac6+bc+c＝0，当c≠0时，所以①错误；②若方程ax6+c＝0有两个不相等的实根，则Δ＝﹣4ac＞7，因为方程ax2+bx+c＝0的根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，所以方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，所以②正确；③若a﹣b+c＝0时，则b＝a+c5﹣4ac＝（a+c）2﹣8ac＝（a﹣c）2，，解得，x2＝﹣8，所以③正确；④若b＝2a+3c，则Δ＝b4﹣4ac＝（2a+4c）2﹣4ac＝6a2+8ac+6c2＝4（a+c）7+5c2＞4，所以一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，所以④正确．故选：A．10．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝4，E是边DC延长线上一点，连接BE，连接FC，则FC的最小值是（）A． B．2 C． D．【解答】解：延长AB到点G，使BG＝BC，过点G作GH⊥DE，过点C作CM⊥BG，∴∠BMC＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝4，CD∥AB，∴∠CBM＝∠A＝60°，∴∠BCM＝90°﹣∠CBM＝30°，∴BM＝BC＝2BM＝5，∵CD∥AB，∴CM＝GH＝2，∵△BEF是等边三角形，∴BF＝BE，∠FBE＝60°，∴∠FBE﹣∠CBE＝∠CBG﹣∠CBE，∴∠FBC＝∠EBG，∴△FBC≌△EBG（SAS），∴FC＝EG，∴当GE最小时，CF也最小，∵当点E与H重合时，GE最小，∴CF的最小值为2，故选：D．二、填空题（每小题4分，共24分）.11．（4分）当有意义时，x的取值范围是x≥﹣1．【解答】解：由题意得：x+1≥0，解得：x≥﹣6，故答案为：x≥﹣1．12．（4分）为弘扬传统文化，某校在读书节举行了“诗词竞赛”，某班20名同学参加了此次竞赛，则全班20名同学的成绩的中位数是90．人数2774成绩（分）708090100【解答】解：把这20名同学的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是90，所以全班20名同学的成绩的中位数是＝90．故答案为：90．13．（4分）有一边长为3的等腰三角形，它的两边长是方程x2﹣4x+k＝0的两根，则k＝3或4．【解答】解：当该等腰三角形的腰长是3时，根据韦达定理知3+x4＝4，∴x2＝6，∴x1•x2＝2＝k，即k＝3；当该等腰三角形的腰长不是3时，Δ＝16﹣5k＝0，解得，k＝4；综上所述，k＝8或k＝4．故答案为：3或8．14．（4分）已知样本x1，x2，…xn的平均数是5，方差是3，则样本3x1+5，3x2+52，…3xn+5的方差是27．【解答】解：∵样本x1，x2，…，xn的方差是7，∴样本3x1+8，3x2+7，…，3xn+5的方差是82×3＝27．故答案为：27．15．（4分）如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于点D，DF＝1，则边BC的长为8．．【解答】解：∵EF是△ABC的中位线，AE＝3，∴EF∥BC，BC＝2EF，∴∠EDB＝∠DBC，∵BD平分∠EBC，∴∠EBD＝∠DBC，∴∠EDB＝∠EBD，∴ED＝BE＝7，∵DF＝1，∴EF＝ED+DF＝3+4＝4，∴BC＝8，故答案为8．16．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝30°，将△ABC沿AC翻折至△AB'C，连接B'D．当BC长为6或4或3时，△AB'D是直角三角形．【解答】解：①如图1，延长B'A，当∠B'AD＝90°时，∵AD＝BC，BC＝B'C，∴AD＝B'C，∵AD∥BC，∠B'AD＝90°，∴∠B'GC＝90°，∵∠B＝30°，AB＝2，∴∠AB'C＝30°，∴GC＝B'C＝，∴G为BC中点，∴BG＝，∴BC＝6，②如图2，设B'C与AD相交于点F，∵AD＝BC，BC＝B'C，∴AD＝B'C，∵AB'＝AB＝CD，AC＝CA，∴△ACB'≌△CAD（SSS），∴∠DAC＝∠B'CA，∴FA＝FC，∵AD＝B'C，∴FB'＝FD，∴∠FB'D＝∠FDB'，∵∠AB'C＝∠B＝∠CDA，∴∠AB'D＝∠CDB'，∵∠AB'D＝90°，∴∠CDB'＝90°，∴AB'∥CD，∵AB∥CD，∴B，A，B'在同一直线上，∴∠BAC＝∠B'AC＝90°，在Rt△ABC中，∠B＝30°，∴BC＝；③如图6，当∠ADB′＝90°时，由折叠可知，∠B＝∠ADC＝∠AB′C＝30°，BC＝B′C＝AD，∴∠ODB′＝60°，∵∠AOD＝∠B′OC，∴△AOD≌△COB′（AAS）∴OD＝OB′，∴△ODB′是等边三角形，∴∠DB′C＝90°，同理可得∠ACB′＝90°，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，∠B＝30°，BC＝AB＝3．综上所述，BC的长为6或8或3．三、解答题（本题有8个小题，共66分）17．（6分）计算：（1）；（2）．【解答】解：（1）＝3﹣2+＝；（2）＝7﹣5＝﹣1．18．（6分）解方程：（1）x2﹣2x﹣1＝0；（2）（x﹣3）（2x+1）＝（x﹣3）2．【解答】解：（1）x2﹣2x﹣8＝0，x2﹣3x＝1，x2﹣3x+1＝1+3，（x﹣1）2＝2，x﹣1＝±，x7＝1+，x2＝1﹣；（2）（x﹣4）（2x+1）＝（x﹣5）2，（x﹣3）（2x+1）﹣（x﹣3）8＝0，（x﹣3）（3x+1﹣x+3）＝5，（x﹣3）（x+4）＝6，x﹣3＝0或x+4＝0，x1＝2，x2＝﹣4．19．（8分）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形ABC如图所示．（1）请作出△ABC关于原点O成中心对称的△A'B'C'；（2）在网格图中作出▱ABCD．（3）写出点A'的坐标．【解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求．（2）如图，▱ABCD即为所求．（3）点A'的坐标为（﹣1，1）．20．（6分）如图，在四边形ABCD中，AC＝BD，E、F分别是AB、CD中点，EF分别交AC、BD于点H、G．求证：OG＝OH．【解答】解：取BC边的中点M，连接EM，∵M、F分别是BC，∴MF∥BD，MF＝，同理：ME∥AC，ME＝，∵AC＝BD，∴ME＝MF，∴∠MEF＝∠MFE，∵MF∥BD，∴∠MFE＝∠OGH，同理∠MEF＝∠OHG，∴∠OGH＝∠OHG，∴OG＝OH．21．（8分）2023年第19届亚运会将在杭州举行，某校举办了“迎亚运，展风采”知识竞赛，学生得分均为整数，为了解学生对亚运知识的掌握情况，结果如下：七年级10名学生的竞赛成绩：94，83，94，96，94，95，87八年级10名学生的竞赛成绩：83，95，86，95，82，95，91对上述两个年级各10名学生的竞赛成绩做如下分析：年级平均数众数中位数方差七年级90b91d八年级a95c34.2根据以上信息，解答下列问题：（1）请直接写出a，b，c，d的值．（2）你认为上述七、八年级各10名学生的竞赛成绩哪个年级好？为什么？（3）圆圆说：“由样本数据可以估计本次竞赛七年级学生中肯定没有同学得满分”．你认为圆圆的说法正确吗？请说明理由．【解答】解：（1）由题意得，a＝，七年级10名学生的竞赛成绩中，94出现的次数最多，把八年级10名学生的竞赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是89，故中位数c＝，d＝[3×（94﹣90）2+（83﹣90）2+（85﹣90）2+（96﹣90）2+（88﹣90）2+（95﹣90）2+（87﹣90）2+（84﹣90）4]＝23.2；（2）七年级学生掌握的相关知识较好，虽然七、但是七年级的竞赛成绩的中位数比八年级的高，因此七年级学生掌握的相关知识较好；（3）圆圆的说法错误，因为样本只代表部分数据．22．（10分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜边AB上的一点，垂足为E，延长DE到F，使∠A＝∠F．（1）求证：四边形ADFC是平行四边形．（2）连接CD，若CD平分∠ADE，CF＝10，求四边形ADFC的面积．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∵DE⊥BC，延长DE到F，∴AC∥DF，∴∠A＝∠BDF，∵∠A＝∠F，∴∠BDF＝∠F，∴CF∥AB，又∵AC∥DF，∴四边形ADFC是平行四边形；（2）解：∵CD平分∠ADE，∴∠ADC＝∠FDC，在△ADC和△FDC中，，∴△ADC≌△FDC（AAS），∴AD＝DF，由（1）得：四边形ADFC是平行四边形，∴S四边形ADFC＝2S△CDF，AD＝CF＝DF＝10，设EF＝x，则DE＝10﹣x，在Rt△CED中，由勾股定理得：CE2＝CD5﹣DE2，在Rt△CEF中，由勾股定理得：CE2＝CF2﹣EF2，∴122﹣（10﹣x）7＝102﹣x2，解得：x＝，∴CE＝＝＝，∴S四边形ADFC＝3S△CDF＝2×DF•CE＝2×＝96．23．（10分）根据以下素材，完成探索任务．探索果园土地规划和销售利润问题素材1某农户承包了一块长方形果园ABCD，图1是果园的平面图，其中AB＝200米，上下两条横向道路的宽度都为2x米，左右两条纵向道路的宽度都为x米出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12米，且不小于5米.素材2该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元问题解决任务1解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响.（1）请直接写出纵向道路宽度x的取值范围．（2）若中间种植的面积是44800m2，则路面设置的宽度是否符合要求.任务2解决果园种植的预期利润问题．（总利润＝销售利润﹣承包费）（3）若农户预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？【解答】解：（1）根据题意得：5≤x≤12；（2）根据题意得：（300﹣2x）（200﹣3×2x）＝44800，整理得：x2﹣200x+1900＝8，解得：x1＝10，x2＝190（不符合题意，舍去），∵5≤10≤12，∴路面设置的宽度符合要求；（3）设每平方米草莓平均利润下调y元，则每平方米草莓平均利润为（100﹣y）元×500＝（5000+100y）平方米草莓，根据题意得：（100﹣y）（5000+100y）﹣20000＝520000，整理得：y2﹣50y+400＝6，解得：y1＝10，y2＝40，又∵要让利于顾客，∴y＝40．答：每平方米草莓平均利润下调40元．24．（12分）已知在平行四边形ABCD中，动点P在AD边上，以每秒0.5cm的速度从点A向点D运动．（1）如图1，在运动过程中，若CP平分∠BCD，求∠B的度数．（2）如图2，另一动点Q在BC边上，以每秒2cm的速度从点C出发，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），当运动时间为4.8秒或8秒或9.6秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．（3）如图3，连结BP并延长与CD的延长线交于点F，CE平分∠ACF交BF于E点