中考数学复习《相似三角形》专项检测卷-附带答案

第第页中考数学复习《相似三角形》专项检测卷-附带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一．选择题（共10小题）1．已知△ABC∽△DEF，点A、B、C对应点分别是D、E、F，AB：DE=9：4，那么S△ABC：S△DEF等于（）A．3：2B．9：4C．16：81D．81：162．彼此相似的矩形A1B1C1D1，A2B2C2D2，A3B3C3D3，…，按如图所示的方式放置．点A1，A2，A3，…，和点C1，C2，C3，…，分别在直线y=kx+b（k＞0）和x轴上，已知点B1、B2的坐标分别为（1，2），（3，4），则Bn的坐标是（）A．（2n﹣1，2n）B．（2n﹣，2n）C．（2n﹣1﹣，2n﹣1）D．（2n﹣1﹣1，2n﹣1）3．如图，已知Rt△ABC中，AB=5，BC=3，在线段AB上取一点D，作DE⊥AB交AC于E，将△ADE沿DE折叠，设点A落在线段BD上的对应点为A1，又设DA1的中点为F，若△FEA1∽△FBE，则AD等于（）A．B．C．D．4．如图，在平面直角坐标系中有一个四边形ABCD，现将四边形ABCD各顶点的横坐标和纵坐标都乘2，得到四边形A1B1C1D1，则四边形A1B1C1D1的面积与四边形ABCD的面积之比为（）A．2：1B．3：1C．4：1D．5：15．如图，△ACD∽△ABC，则下列式子：①CD2=AD•DB；②AC2=AD•AB；③=．其中一定成立的有（）A．3个B．1个C．2个D．0个6．如图，△ABC∽△A′B′C′，AD、BE分别是△ABC的高和中线，A′D′、B′E′分别是△A′B′C′的高和中线，且AD=4，A′D′=3，BE=6，则B′E′的长为（）A．B．C．D．7．如图，在Rt△ADB中，∠D=90°，C为AD上一点，若△CBD∽△BAD，则x的可能值是（）A．15B．20C．25D．308．复印纸的型号有A0、A1、A2、A3、A4等，它们有如下的关系：将上一个型号（例如A3）的复印纸在长的方向对折后得到两张下一型号（A4）的复印纸，且各种型号的复印纸的长与宽的比相等，那么这些型号的复印纸的长与宽的比约为（）A．1.414：1B．1：1C．1：0.618D．1.732：19．在一场赈灾演出中，根据需要必须用灯光照亮舞台中一个半径为2米的圆形区域，但由于当地条件简陋，当时没有这样的灯，舞台监督要求用另一种可照半径为1米的灯代替，那么至少需这样的代用灯（）A．5盏B．6盏C．7盏D．8盏10．在直角坐标系中，已知O（0，0），A（2，0），B（0，4），C（0，3），D为x轴上一点．若以D、O、C为顶点的三角形与△AOB相似，这样的D点有（）A．3个B．4个C．5个D．6个二．填空题（共10小题）11．如图，在正方形ABCD中，M是BC边上的动点，N在CD上，且，若AB=1，设BM=x，当x=时，以A、B、M为顶点的三角形和以N、C、M为顶点的三角形相似．12．如图，在矩形ABCD中，截去一个正方形ABFE后，使剩下的矩形对开后与原矩形相似，那么原矩形中AD：AB=．13．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的面积记作S1；取BE中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四边形E1D1EF1，它的面积记作S2，照此规律作下去，则S2023=．14．两个相似三角形对应的中线长分别是6cm和18cm，若较大三角形的周长是42cm，面积是12cm2，则较小三角形的周长为cm，面积为cm2．15．已知一次函数y=2x+2与x轴y轴交于A、B两点，另一直线y=kx+3交x轴正半轴与E，交y轴于F点，如△AOB与E、F、O三点组成的三角形相似，那么k值为．16．如图，矩形ODEF的一边落在矩形ABCO的一边上，并且矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，矩形ABCO的边AB=4，BC=4．将矩形ODEF绕点O逆时针旋转一周，连接EC、EA，则整个旋转过程中△ACE的最大面积为．17．如图，直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，在线段AB上取一点D，作DF⊥AB交AC于点F，现将△ADF沿DF折叠，使点A落在线段DB上，对应点记为A1；AD的中点E的对应点记为E1，若△E1FA1∽△E1BF，则AD=．18．如图，正方形ABCD的边长是2，E为BC的中点，点M、N分别在CD和AD上，且MN=1，当DM=时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．19．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（10，0），C（0，4），点P是边OA上一点，若△OPC与△ABP相似，则满足条件的点P有（用坐标示）20．如图，已知△ABC是面积为的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于（结果保留根号）．三．解答题（共8小题）21．一个矩形ABCD的较短边长为2．（1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；（2）如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积．22．如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，经几秒钟△PBQ与△ABC相似？试说明理由．23．如图：矩形草坪的长为a米，宽为b米（a＞b），沿草坪四周外围有宽为x米的环形小路．（1）草坪的长与宽的比值m=a：b，外围矩形的长与宽的比值n=（a+2x）：（b+2x）．（用含有a、b、x的代数式表示）；（2）请比较m与n的大小；（3）图中的两个矩形相似吗？为什么？24．矩形ABCD纸片的边AB长为2cm，动直线l分别交AD、BC于E、F两点，且EF∥AB；（1）若直线l是矩形ABCD的对称轴，且沿着直线l剪开后得的矩形EFCD与原矩形ABCD相似，试求AD的长？（2）若使AD=+1cm，试探究：在AD边上是否存在点E，使剪刀沿着直线l剪开后，所得到的小矩形纸片中存在与原矩形ABCD相似的情况．若存在，请求出AE的值，并判断E点在边AD上位置的特殊性；若不存在，试说明理由．25．如图，∠ABC=90°，BC=4，AC=5，以BC为公共边的直角△BCD与△ABC相似，且D、A在BC的两侧，求BD的长．（只要写出两种情况即可）26．在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，，点P在△ABC内，且PB=PC，点M是斜边AB上的中点，直线PM与边BC的交点为D（如图），点Q是直线PM上的一动点．（1）试判断直线PM与AC的位置关系，并证明你的结论；（2）当Q在△ABC的外部时，已知由点Q、B、D组成的三角形与△ABC相似，求QM的长；（3）当Q不在△ABC的边上时，设BQ=x，△BQM的面积为y，请直接写出y与x的函数关系式及函数的定义域．27．若矩形ABCD能以某种方式分割成n个小矩形，使得每个小矩形都与原矩形ABCD相似，则此时我们称矩形ABCD可以自相似n分割，已知AB=1，BC=x（x≥1），（1）若下图可以自相似2分割，请在图中画出分割草图，并求出x的值．（2）若矩形ABCD可以自相似3分割，请画出两种不同分割的草图，并直接写出相应的x值．28．已知A、B在直线l的同侧，自A、B向l作垂线，垂足分别为M、N，且AM=8，BN=6，MN=16，在线段MN上取一点C，使得△AMC与△BNC相似，求MC的值．29．如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD．（1）求证：EB=GD；（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=，求GD的长．参考答案一．选择题（共10小题）1．已知△ABC∽△DEF，点A、B、C对应点分别是D、E、F，AB：DE=9：4，那么S△ABC：S△DEF等于（）A．3：2B．9：4C．16：81D．81：16解：∵△ABC∽△DEF，AB：DE=9：4，∴S△ABC：S△DEF=81：16．故选D．2．彼此相似的矩形A1B1C1D1，A2B2C2D2，A3B3C3D3，…，按如图所示的方式放置．点A1，A2，A3，…，和点C1，C2，C3，…，分别在直线y=kx+b（k＞0）和x轴上，已知点B1、B2的坐标分别为（1，2），（3，4），则Bn的坐标是（）A．（2n﹣1，2n）B．（2n﹣，2n）C．（2n﹣1﹣，2n﹣1）D．（2n﹣1﹣1，2n﹣1）解：∵B1（1，2），∴相似矩形的长是宽的2倍，∵点B1、B2的坐标分别为（1，2），（3，4），∴A1（0，2），A2（1，4），∵点A1，A2在直线y=kx+b上，∴，解得，∴y=2x+2，∵点A3在直线y=2x+2上，∴y=2×3+2=8，∴点A3的坐标为（3，8），∴点B3的横坐标为3+×8=7，∴点B3（7，8），…，Bn的坐标为（2n﹣1，2n）．故选A．3．如图，已知Rt△ABC中，AB=5，BC=3，在线段AB上取一点D，作DE⊥AB交AC于E，将△ADE沿DE折叠，设点A落在线段BD上的对应点为A1，又设DA1的中点为F，若△FEA1∽△FBE，则AD等于（）A．B．C．D．解：∵Rt△ABC中，AB=5，BC=3，∴AC==4，设AD=2x，则DA1=AD=2x，∵DA1的中点为F，∴DF=A1F=x，∵∠ADE=∠C=90°，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，∴，∴，解得：DE=，∴EF==，FB=AB﹣AF=5﹣3x，∵△FEA1∽△FBE，∴，∴EF2=FA1•FB，∴（）2=x•（5﹣3x），解得：x=，∴AD=．故选A．4．如图，在平面直角坐标系中有一个四边形ABCD，现将四边形ABCD各顶点的横坐标和纵坐标都乘2，得到四边形A1B1C1D1，则四边形A1B1C1D1的面积与四边形ABCD的面积之比为（）A．2：1B．3：1C．4：1D．5：1解：∵四边形ABCD各顶点的横坐标和纵坐标都乘2，得到四边形A1B1C1D1，∴四边形A1B1C1D1∽四边形ABCD，相似比为2：1，∴四边形A1B1C1D1的面积与四边形ABCD的面积之比为4：1．故选C．5．如图，△ACD∽△ABC，则下列式子：①CD2=AD•DB；②AC2=AD•AB；③=．其中一定成立的有（）A．3个B．1个C．2个D．0个解：∵△ACD∽△ABC，∴AC：AB=AD：AC=CD：BC，∴AC2=AD•AB，只有②正确．故选B．6．如图，△ABC∽△A′B′C′，AD、BE分别是△ABC的高和中线，A′D′、B′E′分别是△A′B′C′的高和中线，且AD=4，A′D′=3，BE=6，则B′E′的长为（）A．B．C．D．解：∵△ABC∽△A′B′C′，AD、BE分别是△ABC的高和中线，A′D′、B′E′分别是△A′B′C′的高和中线，∴∵AD=4，A′D′=3，BE=6，∴解得：B′E′=．故选D．7．如图，在Rt△ADB中，∠D=90°，C为AD上一点，若△CBD∽△BAD，则x的可能值是（）A．15B．20C．25D．30解：∵△CBD∽△BAD，∴∠A=∠DBC，由三角形的外角性质得，∠ACB=∠DBC+∠D，∴6x=∠A+90°，∵∠A＜45°，∴6x＜45°+90°，解得x＜22.5°，又∵6x＞90°，∴x＞15°，∴x的可能值是20．故选B．8．复印纸的型号有A0、A1、A2、A3、A4等，它们有如下的关系：将上一个型号（例如A3）的复印纸在长的方向对折后得到两张下一型号（A4）的复印纸，且各种型号的复印纸的长与宽的比相等，那么这些型号的复印纸的长与宽的比约为（）A．1.414：1B．1：1C．1：0.618D．1.732：1解：设小长方形的宽为x，长为y，则大长方形的宽为y，长为2x，由题意得：y：x=2x：y，∴x：y=1：，设x=k，y=k，则2x=k，∴相似比=2x：y=2k：k=：1≈1.414：1．故选A．9．在一场赈灾演出中，根据需要必须用灯光照亮舞台中一个半径为2米的圆形区域，但由于当地条件简陋，当时没有这样的灯，舞台监督要求用另一种可照半径为1米的灯代替，那么至少需这样的代用灯（）A．5盏B．6盏C．7盏D．8盏解：如图，设半径为2的圆的圆心是O，在圆周上作正六边形ABCDEF，其边长都是2．再分别以各边中点为圆心作六个半径为l的圆．所以共需7盏灯．故选C．10．在直角坐标系中，已知O（0，0），A（2，0），B（0，4），C（0，3），D为x轴上一点．若以D、O、C为顶点的三角形与△AOB相似，这样的D点有（）A．3个B．4个C．5个D．6个解：如图：若△OCD∽△OBA，则需，∴，∴OD=，∴D与D′的坐标分别为（，0），（﹣，0），若△OCD∽△OAB，则需，即，∴OD=6，∴D″与D′″的坐标分别为（6，0），（﹣6，0）．∴若以D、O、C为顶点的三角形与△AOB相似，这样的D点有4个．故选B．二．填空题（共10小题）11．如图，在正方形ABCD中，M是BC边上的动点，N在CD上，且，若AB=1，设BM=x，当x=或时，以A、B、M为顶点的三角形和以N、C、M为顶点的三角形相似．解：∵，AB=1，∴CN=×1=，∵BM=x，∴CM=1﹣x，①当CN与BM是对应边时，=，即=，解得x=，②当CN与AB是对应边时，=，即=，解得x=．综上所述，x的值是或．故答案为：或．12．如图，在矩形ABCD中，截去一个正方形ABFE后，使剩下的矩形对开后与原矩形相似，那么原矩形中AD：AB=或2．解：∵四边形ABFE是正方形，∴DE=AD﹣AB，∵剩下的矩形对开后与原矩形相似，∴=，即=，整理得，2AD2﹣2AD•AB﹣AB2=0，解得AD=AB，AD=AB（舍去），∴AD：AB=，或=，=，整理得AD=2AB，∴AD：AB=2，综上所述，AD：AB=或2．故答案为：或2．13．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的面积记作S1；取BE中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四边形E1D1EF1，它的面积记作S2，照此规律作下去，则S2023=（）2022．解：∵∠C=90°，AC=BC=2，∴S△ABC=×2×2=2，∵点E为BC的点，ED∥AB，∴=（）2=∴S△CDE=，同理可得S△BEF=，∴S1=1，∵取BE中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四边形E1D1EF1，∴四边形E1D1EF1与四边形EDAF相似，∴=（）2=，∴S2=，同理可得S3=（）2，由此规律可得S2023=（）222．故答案为（）2022．14．两个相似三角形对应的中线长分别是6cm和18cm，若较大三角形的周长是42cm，面积是12cm2，则较小三角形的周长为14cm，面积为cm2．解：∵两个相似三角形对应的中线长分别是6cm和18cm，∴此相似三角形的相似比为：6：18=1：3；∴此相似三角形的周长比为：1：3，面积比为：1：9，∵较大三角形的周长是42cm，面积是12cm2，∴较小三角形的周长为：42×=14（cm），面积为：12×=（cm2）．故答案为：14，．15．已知一次函数y=2x+2与x轴y轴交于A、B两点，另一直线y=kx+3交x轴正半轴与E，交y轴于F点，如△AOB与E、F、O三点组成的三角形相似，那么k值为﹣2或﹣．解：∵一次函数y=2x+2与x轴y轴交于A、B两点，∴A（﹣1，0），B（0，2），∴OA=1，OB=2，∵直线y=kx+3交y轴于F点，∴F（0，3），∴OF=3，∵△AOB与E、F、O三点组成的三角形相似，∴=或=，即=或=，解得OE=或OE=6，当OE=时，y=﹣2x+3，或OE=6时，y=﹣x+3，所以，k=﹣2或﹣．故答案为：﹣2或﹣．16．如图，矩形ODEF的一边落在矩形ABCO的一边上，并且矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，矩形ABCO的边AB=4，BC=4．将矩形ODEF绕点O逆时针旋转一周，连接EC、EA，则整个旋转过程中△ACE的最大面积为8+8．解：∵矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，矩形ABCO的边AB=4，BC=4，∴OF=，OD=1，∴OE===2，所以点E的轨迹为以点O为圆心，以2为半径的圆，设点O到AC的距离为h，AC===8，∴8h=4×4，解得h=2，∴当点E到AC的距离为2+2时，△ACE的面积有最大值，S最大=×8（2+2）=8+8．故答案为8+8．17．如图，直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，在线段AB上取一点D，作DF⊥AB交AC于点F，现将△ADF沿DF折叠，使点A落在线段DB上，对应点记为A1；AD的中点E的对应点记为E1，若△E1FA1∽△E1BF，则AD=．解：∵∠ACB=90°，AB=10，BC=6，∴AC===8，设AD=2x，∵点E为AD的中点，将△ADF沿DF折叠，点A对应点记为A1，点E的对应点为E1，∴AE=DE=DE1=A1E1=x，∵DF⊥AB，∠ACB=90°，∠A=∠A，∴△ABC∽△AFD，∴=，即=，解得DF=x，在Rt△DE1F中，E1F===，又∵BE1=AB﹣AE1=10﹣3x，△E1FA1∽△E1BF，∴=，∴E1F2=A1E1•BE1，即（）2=x（10﹣3x），解得x=，∴AD的长为2×=．故答案为：．18．如图，正方形ABCD的边长是2，E为BC的中点，点M、N分别在CD和AD上，且MN=1，当DM=或时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠A=90°，∴AB=BC=2，∵E为BC的中点，∴BE=1，若△ABE∽△NDM，则，即：=2，设DM=x，DN=2x，∴x2+（2x）2=1，解得：x=；若△ABE∽△MDN，则，即：=，设DM=2y，DN=y，∴（2y）2+y2=1，解得：2y=；∴当DM=或时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．故答案为：或．19．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（10，0），C（0，4），点P是边OA上一点，若△OPC与△ABP相似，则满足条件的点P有（2，0）或（8，0）或（5，0）（用坐标示）解：∵A（10，0），C（0，4），∴OA=10，OC=AB=4，设OP=x，则AP=10﹣x，∵△OPC与△ABP相似，∴=或=，即=或=，解得x=2、x=8或x=5，∴点P的坐标为（2，0）或（8，0）或（5，0）．故答案为：（2，0）或（8，0）或（5，0）．20．如图，已知△ABC是面积为的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于（结果保留根号）．解：∵△ABC∽△ADE，AB=2AD，∴=，∵AB=2AD，S△ABC=，∴S△ADE=，如图，在△EAF中，过点F作FH⊥AE交AE于H，∵∠EAF=∠BAD=45°，∠AEF=60°，∴∠AFH=45°，∠EFH=30°，∴AH=HF，设AH=HF=x，则EH=xtan30°=x．又∵S△ADE=，作CM⊥AB交AB于M，∵△ABC是面积为的等边三角形，∴×AB×CM=，∠BCM=30°，设AB=2k，BM=k，CM=k，∴k=1，AB=2，∴AE=AB=1，∴x+x=1，解得x==．∴S△AEF=×1×=．故答案为：．三．解答题（共8小题）21．一个矩形ABCD的较短边长为2．（1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；（2）如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积．解：（1）由已知得MN=AB=2，MD=AD=BC，∵沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，∴矩形DMNC与矩形ABCD相似，=，∴DM•BC=AB•MN，即BC2=4，∴BC=2，即它的另一边长为2；（2）∵矩形EFDC与原矩形ABCD相似，∴=，∵AB=CD=2，BC=4，∴DF==1，∴矩形EFDC的面积=CD•DF=2×1=2．22．如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，经几秒钟△PBQ与△ABC相似？试说明理由．解：设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，则AP=2xcm，BQ=4xcm，∵AB=8cm，BC=16cm，∴BP=AB﹣AP=（8﹣2x）cm，∵∠B是公共角，∵①当，即时，△PBQ∽△ABC，解得：x=2；②当，即时，△QBP∽△ABC，解得：x=0.8，∴经2或0.8秒钟△PBQ与△ABC相似．23．如图：矩形草坪的长为a米，宽为b米（a＞b），沿草坪四周外围有宽为x米的环形小路．（1）草坪的长与宽的比值m=a：b，外围矩形的长与宽的比值n=（a+2x）：（b+2x）．（用含有a、b、x的代数式表示）；（2）请比较m与n的大小；（3）图中的两个矩形相似吗？为什么？解：（1）∵矩形草坪的长为a米，宽为b米（a＞b），∴草坪的长与宽的比值m=a：b，外围矩形的长与宽的比值n=（a+2x）：（b+2x）；（2）m﹣n=﹣==，∵a＞b＞0，∴m﹣n=＞0，∴m＞n；（3）若图中的两个矩形相似，则需m=n，∵m＞n，∴图中的两个矩形不相似．故答案为：（1）a：b，（a+2x）：（b+2x）．24．矩形ABCD纸片的边AB长为2cm，动直线l分别交AD、BC于E、F两点，且EF∥AB；（1）若直线l是矩形ABCD的对称轴，且沿着直线l剪开后得的矩形EFCD与原矩形ABCD相似，试求AD的长？（2）若使AD=+1cm，试探究：在AD边上是否存在点E，使剪刀沿着直线l剪开后，所得到的小矩形纸片中存在与原矩形ABCD相似的情况．若存在，请求出AE的值，并判断E点在边AD上位置的特殊性；若不存在，试说明理由．解：（1）∵矩形EFCD∽矩形CBAD，∴=，（2分）又∵CD=AB=2，可设AD=2CF=2x，∴=，（2分）则：x=，故：AD=2．（1分）（2）假设存在矩形EFCD与矩形ABCD相似；则DC必与AD对应，ED必与DC对应，有：=，∴DC2=AD•ED，（1分）又∵DC=2cm，AD=+1cm，∴ED===﹣1（cm）∴AE=AD﹣（﹣1）=2，（2分）而AE=2＞﹣1=ED，依据对称性考虑，必定存在当AE=﹣1时，使矩形EFBA与矩形ABCD相似的情形，综上述：当AE=﹣1或2时，在剪开所得到的小矩形纸片中必存在与原矩形相似；且该两种情形中，E刚好是边AD的两个黄金分割点．25．如图，∠ABC=90°，BC=4，AC=5，以BC为公共边的直角△BCD与△ABC相似，且D、A在BC的两侧，求BD的长．（只要写出两种情况即可）解：有多种情况，写出2种即可，如：（1）假设△BCD∽△CAB，∴=，即=，BD=．（2）假设△BDC∽△ABC，∴=，即=，BD=．26．在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，，点P在△ABC内，且PB=PC，点M是斜边AB上的中点，直线PM与边BC的交点为D（如图），点Q是直线PM上的一动点．（1）试判断直线PM与AC的位置关系，并证明你的结论；（2）当Q在△ABC的外部时，已知由点Q、B、D组成的三角形与△ABC相似，求QM的长；（3）当Q不在△ABC的边上时，设BQ=x，△BQM的面积为y，请直接写出y与x的函数关系式及函数的定义域．解：（1）PM∥AC