中考数学复习《四边形中的线段最值问题》专项检测卷-附带答案

第页中考数学复习《四边形中的线段最值问题》专项检测卷-附带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的动点，M，N分别是EF，AF的中点，则MN的最大值为（

）A．2 B．2 C．3 D．52．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是BC上任意一点，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F，若AC=22，则EF的长的最小值为（

A．2 B．1 C．2 D．23．如图，菱形ABCD中，AB=4，∠A=120°，点P、Q、K分别为线段BC、CD、BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（）A．4 B．25 C．4334．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M在DC上，DM=1，点N是AC上的一个动点，那么DN+MN的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．65．如上图所示，矩形ABCD，AB=6，BC=63，点E是边AD上的一个动点，点F是对角线BD上一个动点，连接BE，EF，则BE+EF的最小值是（

A．6 B．63 C．12 D．6．如图，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在AB、AD、CD上，AB=3，AE=1，DG>AE，BF=EG，BF与EG交于点P．连接DP，则DP的最小值为（

）

A．13−1 B．213 C．13 7．如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC=120°，则MA+MB+MD的最小值是（

）

A．33 B．3+33 C．6+38．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD边的中点，P，Q为BC边上两个动点，且PQ＝2，当四边形APQE的周长最小时，BP的长为（

）A．0 B．3 C．4 D．6二、填空题9．矩形ABCD中，AB=2，BC=6，点P为矩形内一个动点且满足∠PBC=∠PCD，则线段PD的最小值为．10．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=5，点E在BC上，且CE=4BE，点M为矩形内一动点，使得∠CME=45°，连接AM，则线段AM的最小值为．11．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝20，点E在AD上且DE＝4.点G在AE上且GE＝8，点P为BC边上的一个动点，F为EP的中点，则GF＋EF的最小值为．12．如图，四边形ABCD是菱形，AB＝4，且∠BAD＝30°，P为对角线AC（不含A点）上任意一点，则DP+12AP13．如图，在正方形ABCD中，AB=12，E为BC边上一点，CE=7．F为对角线BD上一动点（不与点B、D重合），过点F分别作FM⊥BC于点M、FN⊥CD于点N，连接EF、MN，则EF+MN的最小值为．14．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，点N是菱形内一动点，且满足MN=1，连接CN，则CN的最小值为．

15．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的动点，P是线段EF的中点，PG⊥BC，PH⊥CD，G，H为垂足，连接GH．若AB=8，AD=6，EF=5，则GH的最小值是．16．如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=2，E、F分别是AB和DC上的两个动点，M为BC的中点，则（1）DE+EF+FM的最小值是；（2）若∠EFD=45°，则DE+EF+FM的最小值为．三、解答题17．平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连AE，点F在线段AE上，连BF，连AC．(1)如图1，已知AB⊥AC，点E为BC中点，BF⊥AE．若AE=5，BF=26(2)如图2，已知AB=AE，∠BFE=∠BAC，将射线AE沿AC翻折交CD于H，过点C作CG⊥AC交AH于点G．若∠ACB=45°，求证：(3)如图3，已知AB⊥AC，若∠ACB=30°，AB=2，直接写出18．如图，在矩形ABCD中，点E为AB上一点，过点D作DP⊥CE于点P，连接DE交AP于点F，点P恰好为CE的中点．

(1)求证：△DEP∽△CEB；(2)如图1，若BEBC=3(3)如图2，在（2）的条件下，点G、Q分别为DP、DE上的动点，若CP=5，请直接写出GF+GQ的最小值．19．如图1，将矩形ABOC放置于第一象限，使其顶点O位于原点，且点B，C分别位于x轴，y轴上．若A(m,n)满足m−20+(1)求点A的坐标；(2)取AC中点M，连接MO，△CMO与△NMO关于MO所在直线对称，连接AN并延长，交x轴于点P．①求AP的长；②如图2，点D位于线段AC上，且CD=16．点E为平面内一动点，满足DE⊥OE，连接PE．请你求出线段PE长度的最大值．20．问题提出（1）如图1，点P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OA，垂足为D，若PD=2，则点P到边OB的距离是；问题探究（2）如图2，已知矩形ABCD的一边AB长为6，点P为边AD上一动点，连接BP、CP，且满足∠BPC=60°，求BC的最小值；（结果保留根号）问题解决（3）如图3，正方形ABCD是某植物园的花卉展示区的部分平面示意图，其中AB=400米，三条观光小路BM、BN和MN（小路宽度不计，M在AD边上，N在CD边上）拟将这个展示区分成四个区域，用来展示不同的花卉，根据实际需要，MB平分∠AMN，并且要求△BMN的面积尽可能小，那么是否存在满足条件的面积最小的△BMN？若存在，请求出△BMN的面积的最小值．若不存在，请说明理由．（结果保留根号）参考答案1．B解：如图所示，连接AE，∵M，N分别是EF，AF的中点，∴MN是△AEF的中位线，∴MN=1∵四边形ABCD是正方形，∠B=90°，∴AE=A∴当BE最大时，AE最大，此时MN最大，∵点E是BC上的动点，∴当点E和点C重合时，BE最大，即BC的长度，∴此时AE=4+∴MN=1∴MN的最大值为2．故选B．2．解：如图，连接OP、EF，∵正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是BC上任意一点，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F，∴四边形OEPF为矩形，∴EF=OP，∴EF最小时OP最小，当OP⊥BC于P的时候OP最小，而当OP⊥BC时，P为BC的中点，∴OP=12BC∵AC=22则BC=2，∴OP=1，∴EF的长的最小值为1．故选：B．3．解：作点P关于BD的对称点P1，根据菱形的性质，点P1落在线段连接P∴PK=∴PK+QK=∴当P1,Q,K在同一直线并且P1过点A作AE⊥CD交CD于点E∵∠BAD=120°,AB∴∠ADC=180°−120°=60°∵AB=4∴AD=4∴AE=∴PK+QK最小为2故选D．4．解：∵四边形ABCD是正方形，∴点B与D关于直线AC对称，连接BD，BN，BM交AC于N′则DN=BN，∵DN+MN=BN+MN≥BM，当B、N、M三点共线时，DN+MN取得最小值，则N′则BM的长即为DN+MN的最小值，∵四边形ABCD是正方形，∴AC是线段BD的垂直平分线，又CM=CD−DM=4−1=3，在Rt△BCM中，BM=故DN+MN的最小值是5．故选：C．5．解：作点B关于AD的对称点B′，过点B′作B′G⊥BD于点G，交

由对称性可得B′∴BE+EF≥B∴当B′，E，F三点共线，且B′F⊥BD时，即点E在点H处，点F在点G∵AB=6，BC=63∴BB′=12∴∠ADB=30°，∵∠ABD+∠BB∴∠BB∴B故选：B．6．解：如图，过点E作EM⊥CD于点M，取BE的中点Q，连接QP、QD，

∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠A=∠ADC=∠DME=90°，AB∥∴四边形ADME是矩形，∴EM=AD=AB，在Rt△BAF和RtBF=EGAB=ME∴Rt△BAF≌∴∠ABF=∠MEG，∠AFB=∠EGM，∵AB∥∴∠MGE=∠BEG=∠AFB，∵∠ABF+∠AFB=90°，∴∠ABF+∠BEG=90°，∴∠EPF=90°，∴BF⊥EG，∵△EPB是直角三角形，Q是BE的中点，∴QP=1∵AB=3，AE=1，∴BE=3−1=2，∴QB=QE=1，∵QD−QP≤DP，∴当Q、D、P共线时，DP有最小值，∵QP=12BE=1∴QD=A∴PD=13∴PD的最小值为13−1故选A．7．解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，连接BD，

∵菱形ABCD中，∠ABC=120°，∴∠DAB=60°，AD=AB=DC=BC，∴△ADB是等边三角形，∴∠MAE=30°，∴AM=2ME，∵MD=MB，∴MA+MB+MD=2ME+2DM=2DE，根据垂线段最短，此时DE最短，即MA+MB+MD最小，∵菱形ABCD的边长为6，∴DE=A∴2DE=63∴MA+MB+MD的最小值是63故选：D．8．解：如图，在AD上截取线段AF＝PQ＝2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点．∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD=8，∠D=90°，∠QCE＝90°，∵PQ=2，∴DF=AD−AF=6,∵点F点关于BC的对称点G，∴FG⊥AD∴∠DFG=90°∴四边形FGHD是矩形，∴GH＝DF＝6，∠H＝90°,∵点E是CD中点，∴CE=2，∴EH＝2+4＝6，∴∠GEH＝45°，∴∠CEQ＝45°，设BP＝x，则CQ＝BC﹣BP﹣PQ＝8﹣x﹣2＝6﹣x，在△CQE中，∵∠QCE＝90°，∠CEQ＝45°，∴CQ＝EC，∴6﹣x＝2，解得x＝4．故选：C．9．解：如图，∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD=2，∠BCD=90°，∴∠PCD+∠PCB=90°，∵∠PBC=∠PCD，∴∠PBC+∠PCB=90°，∴∠BPC=90°，∴点P在以BC为直径的⊙O上，在Rt△OCD中，OC=12由勾股定理得，OD=O∵PD≥OD−OP，∴当P，D，O三点共线时，PD最小，∴PD的最小值为OD−OP=13故答案为：13−210．解：∵BC=5，CE=4BE∴CE=4，如图，作△ECM的外接圆⊙O，点M的轨迹是矩形内以O为圆心，OE为半径的⊙O，连接OA、OE、OC，OA交⊙O于M′当M与M′重合时，AM过点O作OH⊥EC于点H，∵∠CME=45°∴∠EOC=90°，∴OM′=OE=OC=2过点O作OG⊥AB于点G，∴BG=OH=2，OG=BH=BE+EH=3，AG=6-2=4，∴OA=A则AM故答案为：5−2211．解：作A点关于BC的对称点A'，连接A'E，交，BC于点P，连接AP，∵AD=20，DE=4，∴AE=16，∵GE=8，∴G是AE的中点，∵F是EP的中点，∴AP=2GF，∴GF+EF=12AP+1=12此时，GF+EF取得最小值，∵AB=6，∴AA`=12，在Rt∆AA`E中，A′∴GF+EF的最小值为10．故答案为：10．12．解：∵四边形ABCD为菱形，AB=4，∠BAD=30°，∴AD=AB=4，∠BAC=∠CAD=15°，如图所示，以AB为一边，在AB下方作∠BAE=∠BAC=15°，过点P作PF⊥AE，过点D作DH⊥AE，∴∠EAP=30°，∠PFA=90°，∠DHA=90°，∴PF=12∴DP+12当D、P、F三点共线时，取得最小值，最小即为DH长度，在Rt∆DHA中，∠DAH=45°，∴DH=故答案为：2213．解：连接CF、AF，如图：∵FM⊥BC，FN⊥CD，∠BCD=90°，∴四边形CNFM为矩形，∴CF=MN，∵四边形ABCD是正方形，∴由正方形的对称性可得AF=CF，∴MN=AF，∴EF+MN=EF+AF，当EF+MN最小时，EF+AF最小，此时A、F、E共线，EF+MN的最小值即为AE的长，如图：∵AB=12，CE=7，∴BE=BC−CE=AB−CE=5，∴AE=A∴EF+MN的最小值为13，故答案为：13．14．解：过点M作MH⊥CD交CD的延长线于点H，如图所示：

∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°，∴AB∥CD，∴∠HDM=∠A=60°，∴∠HMD=30°，∵点M是AD边的中点，∴DM=1∴DH=1根据勾股定理，得：HM=D∵CD=2，∴CH=CD+DH=2+1根据勾股定理，得：CM=H∵MN=1，当点N运动到线段CM上的点N'时，CNCN∴CN的最小值为7−1故答案为：7−115．解：连接AC、AP、CP，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD=6，∠BAD=∠B=∠C=90°，∴AC=A∵P是线段EF的中点，EF=5∴AP=1∵PG⊥BC，PH⊥CD，∴∠PGC=∠PHC=90°，∴四边形PGCH是矩形，∴GH=CP，当A、P、C三点共线时，CP∴GH的最小值是7.5，故答案为：7.5．16．解：（1）如下图所示，延长DA作点D的关于点A的对称点D′，延长MC作点M的关于点C对称点C′，作DN∥CM可得DE=D∴DE+EF+FM=D∴D′E+EF+FM∵DN∥CM′，且DN=CM∴四边形DNM∵M为BC的中点∴NM′=DC=AB=6∴D′（2）过点E作EP⊥CD于P，∵∠EFD=45°，∴EP=PF=BC=2，∴EF=22则DE+EF+FM=DE+FM+22∴求DE+FM+22的最小值即先求DE+FM过点E作EM′=EM∴DE+FM=DE+EM∴当D，E，M′三点共线时，DE+E此时DE∥∴∠EDP=∠MFC，∴△DEP∽△FMC，∴EPMC设CF=x，则DP=DC−PF−CF=6−2−x=4−x．∴21解得x=4∴CF=43，DE=DP2∴DE+EM∴DE+EF+FM的最小值为5+22故答案为：5+2217．（1）解：∵AB⊥AC，如图1，∴∠BAC=90°，E为BC的中点，AE=5，∴AE=BE=EC=5，∵BF⊥AE，∴∠BFE=90°，在Rt△BEF中，EF=∴AF=AE−EF=4；（2）证明：如图2，设射线AE与射线GC交于点M，由题可设∠CAM=∠CAG=α，∵AC⊥CG，∴∠ACM=∠ACG=90°，∴∠AMG=∠AGM=90°−α，∴AM=AG，∵∠BFE=∠BAC，∴∠ABF+∠BAE=∠CAM+∠BAE，∴∠ABF=∠CAM=α，∵AB=AE，∴∠ABE=∠AEB，∴∠ABF+∠FBE=∠ACB+∠CAM，∵∠ABF=∠CAM=α，∴∠FBE=∠ACB=45°，延长BF交AC于N，∴BN=CN，过E作EP⊥AC于P，则∠APE=∠BNA=90°，在△ABN与△EAP中，

∠BNA=∠APE∠ABN=∠EAP∴△ABN≌△EAPAAS∴AN=EP，过E作EQ⊥CM于Q，∴∠EQC=∠ACM=∠EPC=90°，∴四边形EQCP为矩形，∵∠BCM=90°−∠ACB=45°，∴∠BCM=∠ACB，∴EP=EQ=AN，∴矩形EQCP为正方形，∴EQ∥AC，∴∠MEQ=∠FAN，在△MEQ与△FAN中，∠MEQ=∠FANEQ=AN∠EQM=∠ANF=90°∴△EQM≌△ANFASA∴AF=EM，∵AM=AE+EM，∴AG=AE+AF；（3）解：如图3，把AC绕点A逆时针旋转60°得到AN，得到等边△ACN，同理以AF为边构造等边△AFM，∴AF=AM=FM，AC=AN=CN，∴∠FAM−∠MAC=∠CAN−∠MAC，∴∠CAF=∠NAM，在△AFC与△AMN中，AF=AM∠CAF=∠NAM∴△AFC≌△AMNSAS，∴CF=MN，∴AF+BF+CF=BF+FM+MN，当B，F，M，N四点共线时，AF+BF+CF最小，即为线段BN的长度，如图4，过N作NT⊥BA交其延长线于T，∴∠BTN=90°，∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°，∵AB=2，∴BC=2AB=4，∴AC=B∴AN=AC=23∵∠BAN=∠BAC+∠CAN=150°，∴∠TAN=180°−∠BAN=30°，在Rt△TAN中，TN=∴AT=A∴TB=TA+AB=3+2=5，∴BN=T∴AF+BF+CF的最小值为2718．（1）解：证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠BEC=∠DCE，∵DP⊥CE，点P为CE的中点，∴CD=DE，∠DPE=90°，∴∠DCE=∠DEP，∴∠DPE=∠B，∠DEP=∠BEC，∴△DEP∽△CEB；（2）如图1，延长AP交DC的延长线于点H，

∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥∴∠H=∠PAE，∵点P为CE的中点，∴PC=PE，在△PCH和△PEA中，∠H=∠PAE∠CPH=∠EPA∴△PCH≌△PEA(AAS∴CH=AE，PH=PA，∵BEBC=34，设BE=3k(k>0)，则∴EC=B∴PE=PC=12∵△DEP∽△CEB，∴DEEC=DP∴DE=256k由（1）知：CD=DE，∴CD=AB=25∴AE=CH=AB−BE=25∴DH=CD+CH=25∵AB∥∴△AEF∽△HDF，∴EFDF（3）∵DP是线段CE的垂直平分线，∴直线DP是△DCE的对称轴，作点Q关于DP的对称点Q′，点Q′在DC上，且DQ′=DQ，连接GQ

当F、G、Q′三点在同一条直线上，且FQ′由（2）知：PE=PC=5∵CP=5，∴52解得：k=2，∴DE=256k=253∵EFDF∴DF=32∵FQ∴∠DQ∵∠ADC=90°，∴∠ADC+∠DQ∴FQ′∴△FDQ∴FQ′AD∴FQ∴GF+GQ的最小值为2563919．（1）解：∵m−20+∴m−20=0，n−12=0，解得m=20，n=12，∴点A的坐标为(20,12)；（2）①∵△CMO与△NMO关于MO所在直线对称，∴ON=OC=12，MN=CM=AM=10，CN⊥OM，如图，连接NC，∵MN=AM=MC，∴∠MAN=∠MNA，∠MNC=∠MCN，设∠MAN=∠MNA=α，∠MNC=∠MCN=β，在△ACN中，∠ACN+∠CAN+∠ANM+∠MNC=180°，∴2α+2β=180°，∴α+β=90°，∴∠CNA=90°，∴∠NCA+∠CAN=90°，∵∠NCA+∠OMC=90°，∴∠CAN=∠OMC