河南省开封市金明中学高三数学理上学期摸底试题含解析

河南省开封市金明中学高三数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为(

)A、3

B、4

C、5

D、2参考答案：A2.如图，AB是⊙O的直径，VA垂直⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任意一点，M、N分别为VA、VC的中点，则下列结论正确的是()A．MN∥ABB．MN与BC所成的角为45°C．OC⊥平面VACD．平面VAC⊥平面VBC参考答案：D依题意，MN∥AC，又直线AC与AB相交，因此MN与AB不平行；注意到AC⊥BC，因此MN与BC所成的角是90°；注意到直线OC与AC不垂直，因此OC与平面VAC不垂直；由于BC⊥AC，BC⊥VA，因此BC⊥平面VAC.又BC?平面VBC，所以平面VBC⊥平面VAC.综上所述可知选D.3.已知函数对任意，都有的图像关于对称，且则（）A.0 B. C. D. 参考答案：【知识点】抽象函数及其应用．B10

【答案解析】B

解析：，即f（x+6）=﹣f（x），则f（x+12）=﹣f（x+6）=f（x），则f（x）为周期为12的函数，由于的图象关于（1，0）对称，则y=f（x）的图象关于（0，0）对称，即有f（﹣x）=﹣f（x），则f（2014）=f（12×167+10）=f（10）=f（﹣2），由于f（2）=4，则f（﹣2）=﹣f（2）=﹣4．故选B．【思路点拨】由，得到f（x+12）=﹣f（x+6）=f（x），则f（x）为周期为12的函数，再由的图象关于（1，0）对称，得到f（﹣x）=﹣f（x），运用周期，化简f（2014）=f（﹣2）=﹣f（2），即可得到答案．4.若是关于的实系数方程的一个复数根，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B因为是实系数方程的一个复数根，所以也是方程的根，则，，所以解得，，选B.5.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，若数列满足，且，则=

A．6

B．-6

C．2

D．-2参考答案：C6.已知定义域为R的奇函数，当时，满足，则A．

B．

C．－2

D．0参考答案：B定义域为的奇函数，可得，当时，满足，可得时，，则，，，，，，，，，故选B.

7.已知集合，，则（

）A. B.C. D.A∪B=R参考答案：B【分析】先求出集合B，再利用交集并集的定义判断选项．【详解】∵B＝，＝{x|}，∴A∩B＝．，故选：B．【点睛】本题考查交集并集的求法，是基础题，解题时要注意交集并集的区别．8.设是定义在R上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数t的取值范围是（

）（A）

（B）（C）

（D）参考答案：答案：A9.要得到函数的图象，只需将函数的图象（

）A．向左平移个单位

B．向右平移个单位C．向左平移个单位

D．向右平移个单位参考答案：A10.下列关于函数的判断中，正确的是

（）A.函数f（x）的图象是轴对称图形 B.函数f（x）的图象是中心对称图形C.函数f（x）有最大值 D.当时，f（x）是减函数参考答案：B【分析】A，B两个选项考查函数的奇偶性，所以必须先求出定义域；C,D两个选项考查函数的单调性，可以利用导数的知识对各选项进行分析、判断．【详解】函数的定义域为，且，函数f（x）是奇函数，所以B正确，A错误；，所以函数在上是减函数，所以函数f（x）没有最大值，且当，时，f（x）单调递减，但，，，所以C、D错误。故选B【点睛】本题考查函数的单调性、最值、对称性等，属于中档题目．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设、是平面内两个不平行的向量，若与平行，则实数

.参考答案：-1略12.一个几何体的三视图如右图所示，正视图是一个边长为2的正三角形，侧视图是一个等腰直角三角形，则该几何体的体积为

．参考答案：4

13.已知圆C的圆心在直线x﹣y=0上，且圆C与两条直线x+y=0和x+y﹣12=0都相切，则圆C的标准方程是．参考答案：（x﹣3）2+（y﹣3）2=18【考点】圆的切线方程．【专题】计算题；直线与圆．【分析】圆心在直线x﹣y=0上，设出圆心，利用圆C与两条直线x+y=0和x+y﹣12=0都相切，就是圆心到直线等距离，求解即可．【解答】解：圆心在x﹣y=0上，圆心为（a，a），因为圆C与两条直线x+y=0和x+y﹣12=0都相切，所以=，解得a=3，圆c的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣3）2=18．故答案为：（x﹣3）2+（y﹣3）2=18．【点评】考查圆的方程的求法，一般情况下：求圆C的方程，就是求圆心、求半径．14.已知等比数列的各项都为正数，且当时，，则数列，，，，…，，…的前项和等于_______________.参考答案：略15.已知函数f（x）=|2x+1+|在[﹣，3]上单调递增，则实数a的取值范围．参考答案：[0，1]【考点】3F：函数单调性的性质．【分析】利用换元法，令2x=t，，是单调增函数，转化求勾勾函数在是单调增区间，可得a的范围．【解答】解：函数f（x）=|2x+1+|在[﹣，3]上单调递增，当a=0时，函数在[﹣，3]上单调递增恒成立；当a≠0时，令2x=t，，则函数t在[﹣，3]上是单调递增．那么：函数f（x）=|2x+1+|转化为g（t）=||在是单调递增，根据勾勾函数的性质可知：①当a＞0时，函数g（t）在（，+∞）单调递增，故得：，解得：0＜a≤1．②当a＜0时，g（t）=||的零点为t=，函数y=2t是定义域R上的增函数，∵，∴只需，解得：0＜a≤1．故无解；综上所得：实数a的取值范围是[0，1]．16.已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，则a的取值范围是____________．参考答案：[－1,1]17.若双曲线的一条渐近线与圆至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是_____________.参考答案：(1,2]略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数的最大值为.（1）求的值；（2）若方程在内有两个零点，求的取值范围.参考答案：（1）由，得的最大值为故.（2）方程即所以因为方程在内有两个零点,所以直线与函数的图象在内有两个交点，因为，所以，结合图象可得的取值范围是.19.(本题满分12分)设数列的前项和为，满足，且。（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）设数列的前项和为，且，证明：对一切正整数，

都有：参考答案：解：（Ⅰ）∵∴

…………………4分（Ⅱ）由得检验知，满足∴变形可得∴数列是以1为首项，1为公差的等差

解得…………………7分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知代入得=……………8分∵∴∴∴即∴

∴…………………12分

略20.已知向量，，函数。（1）求的单调递增区间；（2）若不等式都成立，求实数m的最大值.参考答案：（Ⅰ）

由

，

得所以的单调增区间是

（Ⅱ）因为

所以

所以

所以，m的最大值为0.

略21.已知函数f（x）=lnx﹣2ax（其中a∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）的图象在x=1处的切线平行于直线x+y﹣2=0，求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）设g（x）=f（x）+x2，且函数g（x）有极大值点x0，求证：x0f（x0）+1+ax02＞0．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（I）令f′（1）=﹣1解出a，得出f（x）的解析式，在利用导数判断f（x）的单调性，得出最值；（II）令g′（x）=0有解且x0为g（x）的极大值点可得出a与x0的关系和x0的范围，令h（x）=xf（x）+1+ax2，判断h（x）的单调性即可得出结论．【解答】解：（I）f′（x）=﹣2a，∵f（x）的图象在x=1处的切线平行于直线x+y﹣2=0，∴f′（1）=1﹣2a=﹣1，即a=1．∴f（x）=lnx﹣2x，f′（x）=，令f′（x）=0得x=，当0时，f′（x）＞0，当x时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，]上单调递增，在（，+∞）上单调递减，∴f（x）的最大值为f（）=﹣1﹣ln2．（II）g（x）=lnx﹣2ax+x2，g′（x）=x+﹣2a=，令g′（x）=0得x2﹣2ax+1=0，①当△=4a2﹣4≤0即﹣1≤a≤1时，x2﹣2ax+1≥0恒成立，即g′（x）≥0，∴g（x）在（0，+∞）单调递增，∴g（x）无极值点，不符合题意；②当△=4a2﹣4＞0时，方程g′（x）=0有两解x1，x0，∵x0是g（x）的极大值点，∴0＜x0＜x1，又x1x0=1，∴x1+x2=2a＞0，∴a＞1，0＜x0＜1．又g′（x0）=x0+﹣2a=0，∴a=．∴x0f（x0）+1+ax02=x0lnx0﹣，设h（x）=xlnx﹣，则h′（x）=﹣x2++lnx，h″（x）=﹣3x+=，∴当0＜x＜时，h″（x）＞0，当x时，h″（x）＜0，∴h′（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，∴h′（x）≤h′（）=ln＜0，∴h（x）在（0，1）上单调递减，∴h（x0）＞h（1）=0，即x0lnx0﹣＞0，∴x0f（x0