福建省南平市麻沙中学高三数学理联考试卷含解析

福建省南平市麻沙中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（

）A.72种 B.144种 C.288种 D.360种参考答案：B【分析】利用分步计数原理结合排列求解即可【详解】第一步排语文，英语，化学，生物4种，且化学排在生物前面，有种排法；第二步将数学和物理插入前4科除最后位置外的4个空挡中的2个，有种排法，所以不同的排表方法共有种.选.【点睛】本题考查排列的应用，不相邻采用插空法求解，准确分步是关键，是基础题2.函数的图像如图所示，在区间上可找到个不同的数使得则的取值范围是（A）

（B）（C）

（D）参考答案：B3.等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2=2px（p＞0），O为抛物线的顶点，OA⊥OB，△AOB的面积是16，抛物线的焦点为F，若M是抛物线上的动点，则的最大值为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】抛物线的简单性质．【分析】设等腰直角三角形OAB的顶点A（x1，y1），B（x2，y2），利用OA=OB可求得x1=x2，进而可求得AB=4p，从而可得S△OAB．设过点N的直线方程为y=k（x+1），代入y2=4x，过M作准线的垂线，垂足为A，则|MF|=|MA|，考虑直线与抛物线相切及倾斜角为0°，即可得出p．设M到准线的距离等于d，由抛物线的定义，化简为==，换元，利用基本不等式求得最大值．【解答】解：设等腰直角三角形OAB的顶点A（x1，y1），B（x2，y2），则y12=2px1，y22=2px2．由OA=OB得：x12+y12=x22+y22，∴x12﹣x22+2px1﹣2px2=0，即（x1﹣x2）（x1+x2+2p）=0，∵x1＞0，x2＞0，2p＞0，∴x1=x2，即A，B关于x轴对称．∴直线OA的方程为：y=xtan45°=x，与抛物线联立，解得或，故AB=4p，∴S△OAB=×2p×4p=4p2．∵△AOB的面积为16，∴p=2；焦点F（1，0），设M（m，n），则n2=4m，m＞0，设M到准线x=﹣1的距离等于d，则==．令m+1=t，t＞1，则=≤（当且仅当t=3时，等号成立）．故的最大值为，故选C．4.在中，，AB=2，AC=1，E，F为边BC的三等分点，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A5.定义在上的函数在上为减函数，且函数为偶函数，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D6.如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长都等于2，D在AC1上，F为BB1中点，且FD⊥AC1，有下述结论（1）AC1⊥BC；

（2）=1；（3）面FAC1⊥面ACC1A1；（4）三棱锥D﹣ACF的体积为．其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C【考点】棱锥的结构特征．【专题】综合题；空间位置关系与距离．【分析】（1）连接AB1，则∠B1C1A即为BC和AC1所成的角，由余弦定理，即可判断；（2）连接AF，C1F，由正三棱柱的定义，即可判断；（3）连接CD，则CD⊥AC1，且FD⊥AC1，则∠CDF为二面角F﹣AC1﹣C的平面角，通过解三角形CDF，即可判断；（4）由于AD⊥平面CDF，通过VD﹣ACF=VA﹣DCF即可求出体积．【解答】解：（1）连接AB1，则∠B1C1A即为BC和AC1所成的角，在三角形AB1C1中，B1C1=2，AB1=2，AC1=2，cos∠B1C1A==，故（1）错；（2）连接AF，C1F，则易得AF=FC1=，又FD⊥AC1，则AD=DC1，故（2）正确；（3）连接CD，则CD⊥AC1，且FD⊥AC1，则∠CDF为二面角F﹣AC1﹣C的平面角，CD=，CF=，DF=，即CD2+DF2=CF2，故二面角F﹣AC1﹣C的大小为90°，面FAC1⊥面ACC1A1，故（3）正确；（4）由于CD⊥AC1，且FD⊥AC1，则AD⊥平面CDF，则VD﹣ACF=VA﹣DCF=?AD?S△DCF==．故（4）正确．故选：C．【点评】本题考查正三棱柱的定义和性质，考查线面垂直的判定和性质，空间的二面角，以及棱锥的体积，注意运用转换法，属于中档题．7.将函数f（x）=log3x的图象上每一点向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到y=h（x）的图象，则h（x）的解析式是（）A．﹣1+log3x B．1+log3x C．log33x﹣3 D．log3（3x﹣3）参考答案：D【考点】4N：对数函数的图象与性质．【分析】由题意结合函数图象的平移变换考查所得的函数的解析式即可求得最终结果．【解答】解：将函数f（x）=log3x的图象上每一点向右平移1个单位，所得函数的解析式为：g（x）=log3（x﹣1），再向其上平移1个单位，得到函数为h（x）的解析式是h（x）=log3（x﹣1）+1=log3（3x﹣3），故选：D．8.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如下左图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．其实际直观图中四边形不存在，当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是（）A．a，b B．a，c C．c，b D．b，d参考答案：A【考点】L7：简单空间图形的三视图．【分析】相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．根据三视图看到方向，可以确定三个识图的形状，判断答案【解答】解：∵相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．∴其正视图和侧视图是一个圆，∵俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上∴俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，故选：A．9.定义在R上的函数满足，则的值为A

-1

B

0

C

1

D2.参考答案：C略10.已知||=1，||=2，与的夹角为60°，则+在方向上的投影为(

)A．2 B．1 C．

D．参考答案：A考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：求出向量a，b的数量积，再求（）=2，由+在方向上的投影为，计算即可得到．解：||=1，||=2，与的夹角为60°，则=||?||?cos60°=1×=1，则（）=+=1+1=2，则+在方向上的投影为==2．故选A．点评：本题考查平面向量的数量积的坐标表示和性质，考查向量的投影的求法，考查运算能力，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图所示，过⊙O外一点A作一条直线与⊙O交于C，D两点，AB切⊙O于B，弦MN过CD的中点P．已知AC=4，AB=6，则MP·NP=．参考答案：略12.已知函数，则函数过点的切线方程为

.参考答案：和13.

▲

．参考答案：.14.已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各项点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，，，，则此球的表面积等于

.参考答案：15.设无穷等比数列的前n项和为Sn，首项是，若Sn＝，，则公比的取值范围是

．参考答案：因为，所以，则，即，所以，因为，所以，所以，即，所以公比的取值范围是。16.如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA=3，OC=5，若=﹣7，则的值是

．参考答案：9【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量的线性表示与数量积运算，利用?=（+）?（+）求出||=||=4；再利用?=（+）?（+）求出运算结果．【解答】解：平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA=3，OC=5，∴+=；若?=﹣7，则（+）?（+）=+?+?+?=+?（+）﹣=32﹣=﹣7；∴=16，∴||=||=4；∴?=（+）?（+）=?+?+?+=﹣+?（+）+=﹣42+0+52=9．17.有下列命题:①命题“使得”的否定是“都有”；②设是简单命题，若为假命题，则为真命题；③是的充分不必要条件；④若函数为偶函数则；其中所有正确的说法的序号是

。参考答案：④三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数已知曲线在点（1，）处的切线与直线垂直。（I）求a的值。（II）求函数的极值点。（III）若对于任意的总存在使得成立，求实数m的取值范围。参考答案：（I）,因为曲线在点（1，）处的切线与直线垂直，故（II）由（I）得（x>0）(1)①(1)式有两个根当b>0时，,此时当b<-4时，此时

②综上可知，当b>0时当b<-4时，（III）则，若总存在使得成立。即总存在使得成立即总存在使得成立即F（x）是单调递增函数。设19.（本小题满分12分）在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A，B，C所对的边，且.（I）求角C的大小；（II）若，且的面积为，求的值.参考答案：20.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已2cosC（acosB+bcosA）=c．（1）求角C；（2）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．参考答案：【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知可得2cosCsinC=sinC，结合范围C∈（0，π），解得cosC=，可得C的值．（2）由三角形的面积公式可求ab=3，利用余弦定理解得a+b的值，即可得解△ABC的周长．【解答】解：（1）∵2cosC（acosB+bcosA）=c．∴由正弦定理可得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，可得：2cosCsin（A+B）=2cosCsinC=sinC，∵C∈（0，π），sinC≠0，∴解得：cosC=，可得：C=．（2）∵c=，C=，∴由△ABC的面积为=absinC=，解得：ab=3，∴由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，可得：7=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab=（a+b）2﹣9，解得：a+b=4，∴△ABC的周长=a+b+c=4+．21.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）.下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：抽取次序12345678零件尺寸9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04抽取次序910111213141516零件尺寸10.269.9110.1310.029.2210.0410.049.95

经计算得，，，，，其中为抽取的第i个零件的尺寸，抽取次序，样本的相关系数.（1）求的相关系数r，并回答是否可以认为这一年生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小，（若，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.①从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？②在之外的数据成为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差（精确到0.01）.参考答案：（1）认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小；（2）①需对当天的生产过程进行检查；②0.09.【分析】（1）代入数据计算，比较|r|与0.25的大小作出结论；（2）（i）计算合格零件尺寸范围，得出结论；（ii）代入公式计算即可．【详解】(1)因为1，2，3，…，16的平均数为8.5，所以样本(xi，i)(i＝1，2，…，16)的相关系数r＝＝≈－0.178，所以|r|＝0.178＜0.25