2022年湖南省常德市第十一中学高二数学文月考试题含解析

2022年湖南省常德市第十一中学高二数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图所示的程序的输出结果为S=1320，则判断框中应填（）A．i≥9 B．i≤9 C．i≤10 D．i≥10参考答案：D【考点】程序框图．【分析】题目首先给循环变量和累积变量赋值，然后判断判断框中的条件是否满足，满足条件进入循环体，不满足条件算法结束．【解答】解：首先给循环变量i和累积变量S赋值12和1，判断12≥10，执行S=1×12=12，i=12﹣1=11；判断11≥10，执行S=12×11=132，i=11﹣1=10；判断10≥10，执行S=132×10=1320，i=10﹣1=9；判断9＜10，输出S的值为1320．故判断框中应填i≥10．故选：D．2.下列判断错误的是

（

）A．“”是“a<b”的充分不必要条件B．命题“”的否定是“”

C．若为假命题，则p，q均为假命题

D．”x=2”是“x2=4”的充分不必要条件参考答案：D3.已知数列,3,,…,,那么9是数列的(

)A.第12项

B.第13项

C.第14项 D.第15项参考答案：C4.抛物线的焦点坐标为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A5.无穷等比数列中，，则首项的取值范围是

(

).

A．

B．

C．

D．参考答案：B略6.阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．11参考答案：B【考点】程序框图．【分析】算法的功能是求S=0+lg+lg+lg+…+lg的值，根据条件确定跳出循环的i值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=0+lg+lg+lg+…+lg的值，∵S=lg+lg+…+lg=lg＞﹣1，而S=lg+lg+…+lg=lg＜﹣1，∴跳出循环的i值为9，∴输出i=9．故选：B．7.若函数在区间(a，b)内可导，且，若，则的值为（）A.2 B.4 C.8 D.12参考答案：C由函数在某一点处的定义可知，,故选C.点睛:函数y＝f(x)在x＝x0处的导数定义为:函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是li＝，称其为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或.当x变化时，f′(x)称为f(x)的导函数，则f′(x)＝＝.特别提醒：注意f′(x)与f′(x0)的区别，f′(x)是一个函数，f′(x0)是常数，f′(x0)是函数f′(x)在点x0处的函数值．8.下列语句是命题的是（

）A．这是一道难题

B．0.5是整数

C．

D．指数函数是增函数吗？

参考答案：B略9.下面的四个不等式：①；②；③

；④.其中不成立的有（

）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个参考答案：A10.过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为()A．2x＋y－3＝0

B．2x－y－3＝0

C．4x－y－3＝0

D．4x＋y－3＝0参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.椭圆M：（a＞b＞0）左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆M上任一点，且|PF1||PF2|最大值的取值范围是[2c2，3c2]，其中c=，则椭圆离心率e取值的最大值为．参考答案：考点：椭圆的简单性质．专题：综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据题意，|PF1|?|PF2|的最大值为a2，则由题意知2c2≤a2≤3c2，由此能够导出椭圆m的离心率e的取值范围，即可求出椭圆离心率e取值的最大值．解答：解：∵|PF1|?|PF2|的最大值=a2，∴由题意知2c2≤a2≤3c2，∴c≤a≤a，∴≤e≤．故椭圆离心率e取值的最大值为．故答案为：．点评：本题主要考查椭圆的简单性质．考查对基础知识的综合运用．|PF1|?|PF2|的最大值=a2是正确解题的关键．12.过抛物线y2=4x的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若|AB|=8，则线段AB中点的横坐标为．参考答案：3【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线y2=4x，可得焦点F（1，0），若AB⊥x轴，则|AB|=2p=4，不符合条件，舍去．设直线l的方程为：my=（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2）．与抛物线方程联立可得：y2﹣4my﹣4=0，利用根与系数的关系及其弦长公式：|AB|=，解得m．再利用中点坐标公式即可得出．【解答】解：由抛物线y2=4x，可得焦点F（1，0），若AB⊥x轴，则|AB|=2p=4，不符合条件，舍去．设直线l的方程为：my=（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为y2﹣4my﹣4=0，∴y1+y2=4m，y1y2=﹣4．∴|AB|===8，化为m2=1，解得m=±1，当m=1时，联立，化为x2﹣6x+1=0，∴x1+x2=6，因此=3．同理可得：m=﹣1时，=3．∴线段AB中点的横坐标为3．故答案为：3．13.下面关于向量的结论中，(1);(2)；(3)若

，则；（4）若向量平移后，起点和终点的发生变化，所以也发生变化；（5）已知A、B、C、D四点满足任三点不共线，但四点共面，O是平面ABCD外任一点，且其中正确的序号为

.参考答案：（1）（2）（5）14.若直线与抛物线交于、两点，则的中点坐标是（4，2），则直线的方程是

。参考答案：略15.已知F是双曲线C：的左焦点，B1B2是双曲线的虚轴，M是OB1的中点，过F、M的直线交双曲线C于A，且＝2，则双曲线C离心率是_______参考答案：略16.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M和N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值为________．参考答案：17.如图，正三角形P1P2P3，点A、B、C分别为边P1P2，P2P3，P3P1的中点，沿AB、BC、CA折起，使P1、P2、P3三点重合后为点P，则折起后二面角P—AB—C的余弦值为

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）（1）求证：；（2）已知函数f（x）=+，用反证法证明方程没有负数根.参考答案：（1）证明：要证

只需证

只需证

即证

只需证

只需证

即证

上式显然成立，命题得证。

……

6分（2）证明：设存在x0＜0（x0≠－1），使f（x0）=0，则e=—由于0＜e＜1得0＜—＜1，解得＜x0＜2，与已知x0＜0矛盾，因此方程f（x）=0没有负数根。………12分略19.如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，AB=2，AC=PA=4．（1）求直线PB与平面PAC所成角的正弦值；（2）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．参考答案：以A为原点，在平面ABC内作垂直于AC的射线为x轴，以射线AC为y轴，射线AP为z轴建立如图所示空间直角坐标系，则P（0，0，4），B（，1，0），C（0，4，0），利用向量法求解解：（1）如图，以A为原点，在平面ABC内作垂直于AC的射线为x轴，以射线AC为y轴，射线AP为z轴建立如图所示空间直角坐标系，…则P（0，0，4），B（，1，0），C（0，4，0），故，由x轴⊥平面PAC得平面PAC的一个法向量为，…设直线PB与平面PAC所成角为α，则sinα=|cos|=||==，即直线PB与平面PAC所成角的正弦值为．…（2）∵，，设=（x，y，z）为平面PBC的一个法向量，则，，可取为平面PBC的一个法向量，…可知平面PAC的一个法向量为，设二面角A﹣PC﹣B的平面角为β，则β为锐角，则cosβ=|cos＜，＞|=，即二面角A﹣PC﹣B的余弦值为．…

20.已知椭圆C：x2+3y2=4．（I）求椭圆的离心率；（Ⅱ）试判断命题“若过点M（1，0）的动直线l交椭圆于A，B两点，则在直角坐标平面上存在定点N，使得以线段AB为直径的圆恒过点N”的真假，若为真命题，求出定点N的坐标；若为假命题，请说明理由．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）由题意求出a，b的值，结合隐含条件求得c，则椭圆的离心率可求；（Ⅱ）假设存在定点N，使得以线段AB为直径的圆恒过点N，然后分直线AB的斜率存在和不存在求解，当斜率存在时，设出直线方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系及AN⊥BN列式求得N的坐标；当斜率不存在时，验证AN⊥BN成立即可．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆方程知a2=4，，∵a2=b2+c2，∴，则，∴椭圆的离心率为；（Ⅱ）真命题．由椭圆的对称性知，点N在x轴上，设N（t，0），①当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），由得，（1+3k2）x2﹣6k2x+3k2﹣4=0．∴△=4（9k2+4）＞0，，，∵以线段AB为直径的圆过点N，∴AN⊥BN，∴，则（x1﹣t）（x2﹣t）+y1y2=0，∴，∴，则，即﹣4﹣6tk2+t2+3t2k2=0，∴3tk2（t﹣2）+（t2﹣4）=0，即（t﹣2）（3tk2+t+2）=0．∴若以线段AB为直径的圆恒过点N（t，0），则t﹣2=0，即t=2，∴当直线AB的斜率存在时，存在N（2，0）使命题是真命题；②当直线AB的斜率不存在时，其方程为x=1．A（1，1），B（1，﹣1），以线段AB为直径的圆的方程为（x﹣1）2+y2=1，∵N（2，0）满足方程（x﹣1）2+y2=1，∴当直线AB的斜率不存在时，点N（2，0）也能使命题是真命题．综上①②知，存在点N（2，0），使命题是真命题．【点评】本题考查椭圆标准方程的求法，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，训练了存在性问题的求解方法，体现了分类讨论的数学思想方法，属中档题．21.（本小题满分13分）已知点,点关于y轴的对称点为，直线AM，BM相交于点M，且两直线的斜率、满足.（1）求点M的轨迹C的方程；（2）设轨迹C与y轴的交点为T，是否存在平行于AT的直线，使得直线与轨迹C有公共点，且直线AT与的距离等于？若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由.参考答案：（1）依题意可得点，---------------------------------------1分设点，显然，由得，----------------------------------------------3分整理得，即点M的轨迹C的方程为.()-------------------------------------5分(2)在方程中令得，即点,------------------------------6分则,假设存在符合题意的直线，其方程为，--------------------------7分由消去y得，------------------①---------------------8分∵直线与轨迹C有公共点

∴方程①的根判别式，即，---------------------------------------------------------------------10分又由直线AT与的距离等于得，解得或，-----------------------------------------------------------12分∵,而，∴满足题意的直线存在，其方程为：.---------------------------------------13分22.某厂家拟在“五一”节举行大型促销活动，经测算某产品销售价格x（单位：元/件）与每日销售量y（单位：万件）满足关系式y=+2（x﹣5）2，其中2＜x＜5，a为常数，已知销售价格为3元时，每日销售量10万件．（1）求a的值；（2）若该商品的成本为2元/件，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．参考答案：【分析】（1）由f（3）=10代入函数的解析式，解关于a的方程，可得a值；（2）商场每日销售该商品所获得的利润=每日的销售量×销售该商品的单利润，可得日销售量的利润函数为关于x的三次多项式函数，再用求导数的方法讨论函数的单调性，得出函数的极大值点，从而得出最大值对应的x值．【解答】解：（1）因为x=3时，y=10，所以a+