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中学数学竞赛练习题集

数论部分

1.求满意2p2p8m22m的全部素数p和正整数m.

2.设a、b为整数，*、y为整数，证明：形如a*by的正整数中，最小值a*0by0(a,b).

22

3.求方程*y2(*y)*y的全部正整数解?

4.正整数n满意当10k2时，有nk1(modk)，求n的最小值.

6.已知a1，a?,a3,a4，是满意条件a1a?a3

a4关于*的方程*耳*a2*%*a4*a5

7.试求出全部这样的正整数

a使得关于*的二次方程a*22(2a1)*4(a3)0至少

有一个整数根.2

8.是否存在质数p、q，使得关于*的一元二次方程p*q*p0有有理数根,22

9.已知m、n均为正整数，且mn，2022mm2022nn.证明：mn是为完全平方数.

22

10.已知k为常数，关于*的一元二次方程(k2k)*(46k)*80的解都是整数，求k的值.

2

9n10n2022能表示为两个连续自然数之积，求5.a是三位数,b是一位数，且2b

2a、一—都是整数，求

bab1b的最大值与最小值

a59的五个不同的整数，且

b是2022的整数根，求b的值.11.已知n为自然数,n的最大值.

12.设a是3的正整数次幕,

b是2的正整数次幕,试确定全部这样的a、b，使得二次方程

2*a*b0的根是整数

13.是否存在这样的正整数

n，使得3n27n1能整除n3n2n1请说明理由14.求使得2n(n1)(n2)(n

3)12可表示为2个正整数平方和的自然数n的个数.15.证明：存在无穷多对正整数m,n，满意方程m225n210mn7mn

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2

16.求方程*36*25*y3y2的整数解.

1

17.已知a、b都是正整数，试问关于*的方程*2ab*(ab)0是否有两个整数解

2

18.求方程*2y2208(*y)的全部正整数解.

2

19.设a为质数，b为正整数，且9(2ab)509(4a511b)求a，b的值.

20.已知正整数a满意192a3191,且a2022，求满意条件的全部可能的正整数

a的和.

21.试确定一切有理数r，使得关于*的方程r*2r2*r10有根且只有整数根.

22.已知p为质数，使二次方程*22p*p2

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