2024届安徽省天长市高三第五次模拟考试数学试卷含解析

2024届安徽省天长市高三第五次模拟考试数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知等差数列中，，，则数列的前10项和（）A．100 B．210 C．380 D．4002．3本不同的语文书，2本不同的数学书，从中任意取出2本，取出的书恰好都是数学书的概率是（）A． B． C． D．3．一物体作变速直线运动，其曲线如图所示，则该物体在间的运动路程为（）m．A．1 B． C． D．24．设函数在上可导，其导函数为，若函数在处取得极大值，则函数的图象可能是（）A． B．C． D．5．函数的部分图象大致为（）A． B．C． D．6．已知向量与的夹角为，定义为与的“向量积”，且是一个向量，它的长度，若，，则（）A． B．C．6 D．7．如图示，三棱锥的底面是等腰直角三角形，，且，，则与面所成角的正弦值等于（）A． B． C． D．8．已知是空间中两个不同的平面，是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是（）A．若，且，则B．若，且，则C．若，且，则D．若，且，则9．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是()A．(－∞，2] B．[2，＋∞)C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]10．若，满足约束条件，则的最大值是（）A． B． C．13 D．11．在长方体中，，则直线与平面所成角的余弦值为（）A． B． C． D．12．已知数列是以1为首项，2为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，设，，则当时，的最大值是（）A．8 B．9 C．10 D．11二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，，若线段的垂直平分线与轴交点的横坐标为，则的值为_________.14．若双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为______．15．复数（其中i为虚数单位）的共轭复数为________.16．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？答曰：二千一百一十二尺，术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”，这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”，就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为（底面圆的周长的平方高），则由此可推得圆周率的取值为________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）4月23日是“世界读书日”，某中学开展了一系列的读书教育活动．学校为了解高三学生课外阅读情况，采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个读书小组（每名学生只能参加一个读书小组）学生抽取12名学生参加问卷调查．各组人数统计如下：小组甲乙丙丁人数12969（1）从参加问卷调查的12名学生中随机抽取2人，求这2人来自同一个小组的概率；（2）从已抽取的甲、丙两个小组的学生中随机抽取2人，用表示抽得甲组学生的人数，求随机变量的分布列和数学期望．18．（12分）已知函数.（1）讨论函数的极值；（2）记关于的方程的两根分别为，求证：.19．（12分）已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.20．（12分）在四棱锥中，是等边三角形，点在棱上，平面平面．（1）求证：平面平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值的最大值；（3）设直线与平面相交于点，若，求的值．21．（12分）已知数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，证明：.22．（10分）某省新课改后某校为预测2020届高三毕业班的本科上线情况，从该校上一届高三（1）班到高三（5）班随机抽取50人，得到各班抽取的人数和其中本科上线人数，并将抽取数据制成下面的条形统计图.（1）根据条形统计图，估计本届高三学生本科上线率.（2）已知该省甲市2020届高考考生人数为4万，假设以（1）中的本科上线率作为甲市每个考生本科上线的概率.（i）若从甲市随机抽取10名高三学生，求恰有8名学生达到本科线的概率（结果精确到0.01）；（ii）已知该省乙市2020届高考考生人数为3.6万，假设该市每个考生本科上线率均为，若2020届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市，求p的取值范围.可能用到的参考数据：取，.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

设公差为，由已知可得，进而求出的通项公式，即可求解.【详解】设公差为，，，,.故选：B.【点睛】本题考查等差数列的基本量计算以及前项和，属于基础题.2、D【解析】

把5本书编号，然后用列举法列出所有基本事件．计数后可求得概率．【详解】3本不同的语文书编号为，2本不同的数学书编号为，从中任意取出2本，所有的可能为：共10个，恰好都是数学书的只有一种，∴所求概率为．故选：D.【点睛】本题考查古典概型，解题方法是列举法，用列举法写出所有的基本事件，然后计数计算概率．3、C【解析】

由图像用分段函数表示，该物体在间的运动路程可用定积分表示，计算即得解【详解】由题中图像可得，由变速直线运动的路程公式，可得．所以物体在间的运动路程是．故选：C【点睛】本题考查了定积分的实际应用，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.4、B【解析】

由题意首先确定导函数的符号，然后结合题意确定函数在区间和处函数的特征即可确定函数图像.【详解】函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极大值，当时，；当时，；当时，.时，，时，，当或时，；当时，.故选：【点睛】根据函数取得极大值，判断导函数在极值点附近左侧为正，右侧为负，由正负情况讨论图像可能成立的选项，是判断图像问题常见方法，有一定难度.5、B【解析】

图像分析采用排除法，利用奇偶性判断函数为奇函数，再利用特值确定函数的正负情况。【详解】，故奇函数，四个图像均符合。当时，，，排除C、D当时，，，排除A。故选B。【点睛】图像分析采用排除法，一般可供判断的主要有：奇偶性、周期性、单调性、及特殊值。6、D【解析】

先根据向量坐标运算求出和，进而求出，代入题中给的定义即可求解.【详解】由题意，则，，得，由定义知，故选:D.【点睛】此题考查向量的坐标运算，引入新定义，属于简单题目.7、A【解析】

首先找出与面所成角，根据所成角所在三角形利用余弦定理求出所成角的余弦值，再根据同角三角函数关系求出所成角的正弦值.【详解】由题知是等腰直角三角形且，是等边三角形，设中点为，连接，，可知，，同时易知，，所以面，故即为与面所成角，有，故.故选：A.【点睛】本题主要考查了空间几何题中线面夹角的计算，属于基础题.8、D【解析】

利用线面平行和垂直的判定定理和性质定理,对选项做出判断，举出反例排除.【详解】解：对于，当，且，则与的位置关系不定，故错；对于，当时，不能判定，故错；对于，若，且，则与的位置关系不定，故错；对于，由可得，又，则故正确．故选：．【点睛】本题考查空间线面位置关系.判断线面位置位置关系利用好线面平行和垂直的判定定理和性质定理.一般可借助正方体模型，以正方体为主线直观感知并准确判断．9、B【解析】由f(1)=得a2=,∴a=或a=-(舍),即f(x)=(.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,故选B.10、C【解析】

由已知画出可行域，利用目标函数的几何意义求最大值．【详解】解：表示可行域内的点到坐标原点的距离的平方，画出不等式组表示的可行域，如图，由解得即点到坐标原点的距离最大，即．故选：．【点睛】本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，属于基础题．11、C【解析】

在长方体中，得与平面交于，过做于，可证平面，可得为所求解的角，解，即可求出结论.【详解】在长方体中，平面即为平面，过做于，平面，平面，平面，为与平面所成角，在，，直线与平面所成角的余弦值为.故选:C.【点睛】本题考查直线与平面所成的角，定义法求空间角要体现“做”“证”“算”，三步骤缺一不可，属于基础题.12、B【解析】

根据题意计算，，，解不等式得到答案.【详解】∵是以1为首项，2为公差的等差数列，∴.∵是以1为首项，2为公比的等比数列，∴.∴.∵，∴，解得.则当时，的最大值是9.故选：.【点睛】本题考查了等差数列，等比数列，f分组求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解析】

设，写出直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理求得，由抛物线定义得焦点弦长，求得，再写出的垂直平分线方程，得，从而可得结论．【详解】抛物线的焦点坐标为，直线的方程为，据得.设，则.线段垂直平分线方程为，令，则，所以，所以.故答案为：1．【点睛】本题考查抛物线的焦点弦问题，根据抛物线的定义表示出焦点弦长是解题关键．14、【解析】

利用,得到的关系式,然后代入双曲线的渐近线方程即可求解.【详解】因为双曲线的离心率为,所以,即,因为双曲线的渐近线方程为,所以双曲线的渐近线方程为.故答案为:【点睛】本题考查双曲线的几何性质;考查运算求解能力;熟练掌握双曲线的几何性质是求解本题的关键;属于基础题.15、【解析】

利用复数的乘法运算求出，再利用共轭复数的概念即可求解.【详解】由，则.故答案为：【点睛】本题考查了复数的四则运算以及共轭复数的概念，属于基础题.16、3【解析】

根据圆堡瑽（圆柱体）的体积为（底面圆的周长的平方高）,可得,进而可求出的值【详解】解:设圆柱底面圆的半径为,圆柱的高为,由题意知,解得.故答案为:3.【点睛】本题主要考查了圆柱的体积公式.只要能看懂题目意思,结合方程的思想即可求出结果.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）见解析，【解析】

（1）采用分层抽样的方法甲组抽取4人，乙组抽取3人，丙组抽取2人，丁组抽取3人，从参加问卷调查的12名学生中随机抽取2人，基本事件总数为，这两人来自同一小组取法共有，由此可求出所求的概率；（2）从已抽取的甲、丙两个小组的学生中随机抽取2人，而甲、丙两个小组学生分别有4人和2人，所以抽取的两人中是甲组的学生的人数的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量的分布列和数学期望.【详解】（1）由题设易得，问卷调查从四个小组中抽取的人数分别为4，3，2，3（人），从参加问卷调查的12名学生中随机抽取两名的取法共有（种），抽取的两名学生来自同一小组的取法共有（种），所以，抽取的两名学生来自同一个小组的概率为（2）由（1）知，在参加问卷调查的12名学生中，来自甲、丙两小组的学生人数分别为4人、2人，所以，抽取的两人中是甲组的学生的人数的可能取值为0，1，2,因为所以随机变量的分布列为：012所求的期望为【点睛】此题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查分层抽样、古典概型、排列组合等知识，考查运算能力，属于中档题.18、（1）见解析；（2）见解析【解析】

（1）对函数求导，对参数讨论，得函数单调区间，进而求出极值；（2）是方程的两根，代入方程，化简换元，构造新函数利用函数单调性求最值可解.【详解】（1）依题意，；若，则，则函数在上单调递增，此时函数既无极大值，也无极小值；若，则，令，解得，故当时，，单调递增；当时，，单调递减，此时函数有极大值，无极小值；若，则，令，解得，故当时，，单调递增；当时，，单调递减，此时函数有极大值，无极小值；（2）依题意，，则，，故，；要证：，即证，即证：，即证，设，只需证：，设，则，故在上单调递增，故，即，故.【点睛】本题考查函数极值及利用导数证明二元不等式.证明二元不等式常用方法是转化为证明一元不等式，再转化为函数最值问题.利用导数证明不等式的基本方法：(1)若与的最值易求出，可直接转化为证明；(2)若与的最值不易求出，可构造函数，然后根据函数的单调性或最值，证明.19、（1）；（2）【解析】

（1）分类讨论去绝对值号，即可求解；（2）原不等式可转化为在R上恒成立，分别求函数与的最小值，根据能同时成立，可得的最小值，即可求解.【详解】（1）①当时,不等式可化为,得，无解；②当-2≤x≤1时,不等式可化为得x>0,故0<x≤1;③当x>1时,不等式可化为,得x<2,故1<x<2.综上，不等式的解集为（2）由题意知在R上恒成立，所以令，则当时，又当时，取得最小值，且又所以当时，与同时取得最小值.所以所以，即实数的取值范围为【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的解法，分类讨论，函数的最值，属于中档题.20、（1）证明见解析（2）（3）【解析】

（1）取中点为,连接,由等边三角形性质可得,再由面面垂直的性质可得,根据平行直线的性质可得,进而求证；（2）以为原点,过作的平行线,分别以,,分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,设,由点在棱上,可设,即可得到,再求得平面的法向量,进而利用数量积求解；（3）设,,则,求得,,即可求得点的坐标,再由与平面的法向量垂直,进而求解.【详解】（1）证明:取中点为,连接,因为是等边三角形,所以,因为且相交于,所以平面,所以,因为,所以,因为,在平面内,所以,所以.（2）以为原点,过作的平行线,分别以,,分别为轴,轴,