张文博-引入数学建模思想-数模讲座105

引入数学建模思想

上好数学课北京邮电大学理学院张文博2011/11长沙zhangwb@数学类课程在理工类本科基础课程中至关重要；数学类课程有其独有的特点；如何讲好数学类课程是一个非常重要的问题：对于这个问题的探讨，已经有了大量的卓有成效的分析和讨论，提出了各种各样的实践方法，但是一个无法回避的事情是，教师是教学环节中最为重要的部分；讲好一门课程不仅仅是纯粹技术的问题，更主要的是教师对讲授课程的付出，这包括教材和教学过程等很多方面。概述用数学工具去解决实际问题是学习和研究的源动力；解决实际问题的关键在于对实际问题的抽象化，即数学模型的建立过程；简捷的例子有助于把握问题的要点；根据课程的需要将模型实例与课程要点有机结合；跟上时代的脚步；给学生留出想象的空间；不要成为数学建模竞赛的培训课程。注重构造数学模型思想的引入一个例子书名：微积分与概率统计:生命动力学的建模作者：FrederickR.Adler出版社：高等教育出版社出版时间：2011年7月1日6.3概率论--样本空间、实验和事件可以想象样本空间就是一个掷飞镖实验的飞镖盘（图6.3.28）.一个简单事件对应于飞镖盘上的一个点.事件对应于飞镖盘上的区域.例如,一个简单事件是恰好击中飞镖盘上半部的中心.事件则包括击中“靶心”（击中这个区域的任何一个点）,得分20,以及击中飞镖盘的上半部分.6.3概率论--集合论一个概率模型为每一个事件赋予一个概率.这样做需要知道事件是什么（实验和可能的结果）以及发生的“可能性”.对掷飞镖实验,一个概率模型为击中一个区域的机会和该区域的大小（面积）成正比.这意味着一个准头很差的飞镖手击中飞镖盘边缘和击中“靶心”的可能性是相同的.一个完全不同的概率模型则被用于有丰富经验的英国飞镖手,他可以将飞镖中的大部分投到“靶心”附近.6.7随机变量--随机变量的类型向一个飞镖盘投掷飞镖是各类实验中的一个,且其他实验可以以此类比.每一个简单事件对应于飞镖盘上的一个点，简单事件构成连续统.通常,我们无需关心飞镖击中的确切位置,而仅需知道其得分即可（图6.7.75）.其得分为一个随机变量的例子.因为我们可以通过飞镖击中的确切位置得到得分,它是击中位置的一个函数.这个函数的定义域等于样本空间（飞镖盘上的所有点），而值域等于可能得分的集合.我们给出如下的定义.6.7随机变量--随机变量的类型定义6.9

一个随机变量是一个从样本空间到实数的某个子集的函数.当函数的取值有有限多个时,它称为离散型随机变量.若函数的取值为一个连续统时,它称为连续型随机变量.更为科学地,一个随机变量是可以依赖于一个实验结果的度量.当度量仅可选择有限多个数值时,对应的随机变量称为离散型随机变量.当度量可以选择一个无限的取值范围时,其相应的随机变量称为连续型随机变量.6.7随机变量--随机变量的类型例6.7.1

与飞镖相关的简单随机变量假设一个选手只要得到10分以上即为获胜,或者如果他得分不超过9分则失败.在一个锦标赛上,获胜一次得到1分,失败得0分.用随机变量W描述选手是否获胜,当飞镖击中10分或者更高分的任何地方时其取值为1,而如果飞镖得分少于10分则取值为0.换句话说,令W表示此次掷飞镖获胜的次数.一个取值仅为0和1的随机变量称为Bernoulli随机变量.7.1联合分布--联合分布的定义两个飞镖手在当地的俱乐部中的一场高赌注比赛中相遇,图7.1.1中给出了每一个人得分的概率分布.我们是否有足够的信息来猜测将会发生什么？假设其中一个人总是第一个掷飞镖,结果将依赖于第二个投手在第一个人掷完后表现出来的好或坏的反应.若第二个投手不受第一个投手的影响,则他们的投掷是独立的；无论第一个投手是击中靶心还是脱靶,第二个投手击中靶心的概率都将是一样的.仍在继续还考虑了联合分布、条件分布、协方差、相关系数……6.1概率模型的导出随机人口增长：随机生育例6.1.1确定型生育模型例6.1.2具有随机生育率的人口增长模型随机人口增长：随机迁移例6.1.4确定型迁移的人口增长模型例6.1.5带有随机迁移的人口增长模型Markov链6.2扩散和遗传的随机模型随机扩散：离散-时间模型随机扩散：Markov链模型同系繁殖的遗传模型高度的动力模型混合遗传的动力模型模型目录6.4条件概率例6.4.7利用条件概率研究色盲问题例6.4.11疾病检测中的条件概率例6.4.12热带岛屿上的条件概率6.5独立性和Markov链例6.5.2投掷一个非均匀的硬币和一个非独立硬币的区别例6.5.11关于一个均匀硬币的Markov链例6.5.12一只紧张兔子的Markov链6.6显