陈清华-数学模型-数模讲座40

数学模型MathematicalModel北京师范大学管理学院陈清华上课地点：教七405上课时间：每周，星期三，上午10:00-12:00

双周，星期五，上午10:00-12:008.3利益的分配效益的合理分配和费用的合理负担日常生活中很多企业方面有较多的应用需要例13人，每人投资均为3000元，共获得利润900元，如何分配利润？3人，每人投资分别为1000，3000，5000元，共获得利润900元，如何分配利润？3人，分别投资厂房、现金和劳力，共获得利润900元，如何分配利润？3人，分别投资厂房、现金和关系网，共获得利润900元，如何分配利润？例2甲乙丙三人合作经商，若甲乙合作获利7元，甲丙合作获利5元，乙丙合作获利4元，三人合作获利11元。又知每人单干获利1元。问三人合作时如何分配获利？记甲乙丙三人分配为要满足如图有多个解[I,v]~n人合作对策，v~特征函数~n人从v(I)得到的分配，满足v(s)~子集s的获利这个集合还是比较大选择其中的点应该没有很极端的矛盾出现，但可能还是不能体现所谓的公平，有人会有意见。如何公平，而让每个人不可能有意见？公平的收益分配（公理体系）I.对称性.一个分配方案应与成员的编号无关.II.有效性.对于每次合作中均无贡献者,不应从合作的效益中得到好处.III.合理性.合作收益全部分光.IV.可加性.n人同时进行两项合作时,每人分配的所得应是两项分配所得之和.合作对策收益分配的Shapley

定理:对一切特征函数v,Shapley

值是唯一满足条件I~IV的函数.F.S.Reberts,DiscreteMathematicalModels(1976),Ch.6

s

~子集s中的元素数目，

Si~包含i的所有子集~由

s

决定的“贡献”的权重~i对合作s的“贡献”Shapley合作对策Shapley值

1/31/61/61/311213I17511011416471/312/37/3x1=13/3类似可得x2=23/6,x3=17/61223三人(I={1,2,3})经商中甲的分配x1的计算污水处理，排入河流三城镇可单独建处理厂，或联合建厂(用管道将污水由上游城镇送往下游城镇)20km38km河流123Q1=5Q3=5Q2=3Q~污水量，L~管道长度建厂费用P1=73Q0.712管道费用P2=0.66Q0.51L例3污水处理费用的合理分担1）单独建厂总投资2）1,2合作总投资污水处理的5种方案3）2,3合作4）1,3合作总投资合作不会实现5）三城合作总投资D5最小,应联合建厂

建厂费：d1=73(5+3+5)0.712=45312管道费：d2=0.6650.5120=3023管道费：d3=0.66(5+3)0.5138=73D5城3建议：d1按

5:3:5分担,d2,d3由城1,2担负城2建议：d3由城1,2按

5:3分担,d2由城1担负城1计算：城3分担d15/13=174<C(3),

城2分担d13/13+d33/8

=132<C(2),

城1分担d15/13+d35/8+d2

=250>C(1)不同意D5如何分担？特征函数v(s)~联合(集s)建厂比单独建厂节约的投资~三城从节约投资v(I)中得到的分配

Shapley合作对策11213I0400640002504003912231/31/61/61/3

06.7

013

x1=19.7,城1C(1)-x1=210.4,城2C(2)-x2=127.8,城3C(3)-x3=217.8三城在总投资556中的分担x2=32.1,x3=12.2x2最大，如何解释？计算城1从节约投资中得到的分配x1例4派别在团体中的权重90人的团体由3个派别组成，人数分别为40,30,20人。团体表决时需过半数的赞成票方可通过。若每个派别的成员同时投赞成票或反对票，用Shapley合作对策计算各派别在团体中的权重。团体I={1,2,3}，依次代表3个派别îíì=否则，的成员超过定义特征函数045,1)(ssv虽然3派人数相差很大例5安理会决案联合国安理会有5个常任理事国和十个非常任理事国，提案仅当全部常任理事和至少4个非常任理事国赞成时方可通过，求每位常任理事国和每位非常任理事国在投票中的权重。Shapley合作对策小结优点：公正、合理，有公理化基础。缺点：需要知道所有合作的获利，即要定义I={1,2,…n}的所有子集(共2n-1个)的特征函数，实际上常做不到。如n个单位治理污染,通常知道第i方单独治理的投资yi

和n方共同治理的投资Y,及第i方不参加时其余n-1方的投资zi(i=1,2,…n).确定共同治理时各方分担的费用。若定义特征函数为合作的获利(节约的投资)，则有其它v(s)均不知道,无法用Shapley合作对策求解求解合作对策的其他方法设只知道无i参加时n-1方合作的获利全体合作的获利例.甲乙丙三人合作经商，若甲乙合作获利7元，甲丙合作获利5元，乙丙合作获利4元，三人合作获利11元。问三人合作时如何分配获利？协商解11将剩余获利平均分配Nash解为现状点（谈判时的威慑点）在此基础上“均匀地”分配全体合作的获利B平均分配获利B3）Nash解

2）协商解最小距离解第i方的边际效益若令4）最小距离解

2）协商解满意解di~现状点(最低点)ei~理想点(最高点)5）基于满意度的解

2）协商解Raiffa

解求解合作对策的6种方法A类Shapley合作对策B类协商解Nash解最小距离解满意解di~现状,ei~理想