高考数学一轮复习考点规范练55古典概型含解析新人教A版文

考点规范练55古典概型基础巩固1.在2,0,1,5这组数据中,随机取出三个不同的数,则数字2是取出的三个不同数的中位数的概率为()A.34 B.58 C.12答案:C解析:由题意可知总的基本事件有(2,0,1),(2,0,5),(0,1,5),(2,1,5),共4种,其中数字2是取出的三个不同数的中位数的有(2,0,5),(2,1,5),共2种,故所求的概率为242.从某班5名学生(其中男生3人,女生2人)中任选3人参加学校组织的社会实践活动,则所选3人中至少有1名女生的概率为()A.910 B.710 C.310答案:A解析:记3名男生分别为a1,a2,a3,2名女生分别为b1,b2,从这5名学生中任选3名学生的情况有(a1,a2,a3),(a1,a2,b1),(a1,a2,b2),(a1,a3,b1),(a1,a3,b2),(a2,a3,b1),(a2,a3,b2),(a1,b1,b2),(a2,b1,b2),(a3,b1,b2),共10种,所选的3名学生中至少有1名女生的情况有(a1,a2,b1),(a1,a2,b2),(a1,a3,b1),(a1,a3,b2),(a2,a3,b1),(a2,a3,b2),(a1,b1,b2),(a2,b1,b2),(a3,b1,b2),共9种,故所求概率为910,选A3.一名同学先后投掷一枚骰子两次,第一次向上的点数记为x,第二次向上的点数记为y,在平面直角坐标系xOy中,以(x,y)为坐标的点落在直线2x+y=8上的概率为()A.16 B.112 C.536答案:B解析:依题意,以(x,y)为坐标的点共有6×6=36(个),其中落在直线2x+y=8上的点有(1,6),(2,4),(3,2),共3个,故所求事件的概率为3364.袋中有5个球,这些球除了颜色和标号外,其余均相同,其中红色球3个,标号分别为1,2,3;蓝色球2个,标号分别为1,2.从袋中任取两个球,则这两个球颜色不同,且标号之和不小于4的概率为()A.310 B.25 C.35答案:A解析:设红球为A1,A2,A3,蓝色球为B1,B2,任取两个球,总的事件包括:A1B1,A1B2,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2,A1A2,A1A3,A2A3,B1B2,共10个,其中满足题意的有A2B2,A3B1,A3B2,共3个,所以这两个球颜色不同,且标号之和不小于4的概率为3105.(2020黑龙江大庆三模)为抗击新冠肺炎疫情,全国各地的医护人员纷纷请战支援武汉,某医院要从第一时间请战的5名医护人员中随机选派3名支援武汉,已知这5名医护人员中有一对夫妻,则这对夫妻恰有一人被选中的概率为()A.310 B.25 C.35答案:C解析:从第一时间请战的5名医护人员中随机选取3名支援武汉所包含的基本事件的个数为10,这对夫妻恰有一人被选中所包含的基本事件的个数为6,故这对夫妻恰有一个被选中的概率为6106.从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a,从集合{1,3,5}中随机抽取一个数b,则向量m=(a,b)与向量n=(1,-1)垂直的概率为()A.16 B.13 C.14答案:A解析:由题意可知向量m=(a,b)有(2,1),(2,3),(2,5),(3,1),(3,3),(3,5),(4,1),(4,3),(4,5),(5,1),(5,3),(5,5),共12种情况.因为m⊥n,即m·n=0,所以a×1+b×(-1)=0,即a=b,满足条件的有(3,3),(5,5),共2种,故所求的概率为167.(2020吉林四模)北京公交101路是北京最早的无轨电车之一,最早可追溯至1957年.游客甲与乙同时从红庙路口西站上了开往百万庄西口站方向的101路公交车,甲将在朝阳门外站之前的任意一站下车,乙将在神路街站之前的任意一站下车,他们都至少坐一站再下车,则甲比乙后下车的概率为()A.720 B.25 C.920答案:D解析:甲下车的站名可能为小庄路口东站、呼家楼西站,关东店站,东大桥路口西站、神路街站,乙下车的站名可能为小庄路口东站、呼家楼西站、关东店站、东大桥路口西站.所以甲、乙下车的所有情况共有20种,其中甲比乙后下车的情况共有10种.故甲比乙后下车的概率为P=1020=18.(2020黑龙江哈尔滨模拟)某种机器使用三年后即被淘汰,该机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个a元;在机器使用期间,若备件不足再购买,则每个2a元.某人在购买该机器前,搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得到柱状图如下图所示.若以频率为概率,估计此人购机时购买20个备件,在机器淘汰时备件有剩余的概率为.

答案:7解析:三年使用期内更换的易损零件数小于20个的频率为6+16+24+24100=79.已知蒸笼中共蒸有5个外形和大小完全相同的包子,其中2个香菇青菜包、1个肉包、1个豆沙包、1个萝卜丝包,现从蒸笼中任取2个包子,则取出的这2个包子中有香菇青菜包的概率为.

答案:7解析:不妨将2个香菇青菜包分别编号为1,2,1个肉包编号为3,1个豆沙包编号为4,1个萝卜丝包编号为5,则所有的基本事件有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10个.记“取出的2个包子中有香菇青菜包”为事件A,则事件A包含的基本事件有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),共7个.故所求的概率为P(A)=71010.每年的“扫‘福’字,集五福”活动总是给过年带来一种喜庆的气氛,每次扫“福”字便可获得“五福”(富强福、和谐福、友善福、爱国福、敬业福)中的一个,若集齐“五福”便可以兑换现金红包.假设每次扫“福”字所获得的五种福的概率相同.(1)已知同学乙扫了20次“福”字,但是没有得到“敬业福”,因此他断定:得到“敬业福”的概率不是15.(2)若某同学甲现已收集到富强福、和谐福和友善福,那么他再扫两次“福”字,恰好集齐“五福”的概率是多少?解：(1)同学乙的判断不正确.理由如下:概率的定义:在n次重复进行的试验中,当n很大时,事件A发生的频率总是在某个常数附近摆动,随着n的增加,摆动幅度越来越小,这时就把这个常数叫做事件A的概率.同学乙只扫了20次,即进行了20次重复试验,次数并不是很多,因此“同学乙得到‘敬业福’”这件事发生的频率无法近似看成其发生的概率,所以他的判断不正确.(2)设富强福、和谐福、友善福、爱国福、敬业福分别用A,B,C,D,E表示,则同学甲再扫两次所获得的福字情况所构成的基本事件有AA,AB,AC,AD,AE,BA,BB,BC,BD,BE,CA,CB,CC,CD,CE,DA,DB,DC,DD,DE,EA,EB,EC,ED,EE,其中基本事件的个数为25.集齐“五福”的所有情况M={DE,ED},其中基本事件的个数为2.所以恰好集齐“五福”的概率为22511.某游乐园为吸引游客,推出了一项有奖转盘活动.如图,假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀,每名游客凭门票只可以参与一次活动,一次活动需转动转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,工作人员便会记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x,y,奖励规则如下:①若xy≤3,则奖励玩具一个;②若xy≥8,则奖励水杯一个;③其余情况则奖励饮料一瓶.(1)求在一次活动中小亮获得玩具的概率;(2)请比较一次活动中小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.解：(1)用数对(x,y)表示小亮参加活动先后记录的数,则基本事件空间Ω与点集S={(x,y)|x∈N,y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应.因为S中元素的个数是4×4=16,所以基本事件总数为n=16.记“xy≤3”为事件A,则事件A包含的基本事件共有5个,即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1),故P(A)=516,故小亮获得玩具的概率为5(2)记“xy≥8”为事件B,“3<xy<8”为事件C,则事件B包含的基本事件共有6个,即(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4),所以P(B)=616同理可得,事件C包含的基本事件共有5个,即(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1),所以P(C)=516因为38>能力提升12.已知某地春天下雨的概率为40%.现采用随机模拟的方法估计未来三天恰有一天下雨的概率.先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示下雨,5,6,7,8,9,0表示不下雨;再以每三个随机数作为一组,代表未来三天是否下雨的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数:907,966,191,925,271,932,812,458,569,683,431,257,393,027,556,488,730,113,537,989.据此估计,该地未来三天恰有一天下雨的概率为()A.0.2 B.0.25 C.0.4 D.0.35答案:C解析:根据题意,该地未来三天恰有一天下雨,就是三个数字xyz中只有一个数字在集合{1,2,3,4}中,考查所给20组数据,以下8组数据符合题意,按次序分别为925,458,683,257,027,488,730,537,则所求概率P=820=0.4,故选C13.设a∈{1,2,3,4},b∈{2,4,8,12},则函数f(x)=x3+ax-b在区间[1,2]上有零点的概率为()A.12 B.58 C.1116答案:C解析:因为f(x)=x3+ax-b,所以f'(x)=3x2+a.因为a∈{1,2,3,4},所以f'(x)>0,所以函数f(x)在区间[1,2]上单调递增.若存在零点,则f(1)f(2)≤0,解得a+1≤b≤8+2a.因此,可使函数在区间[1,2]上有零点的情况为:a=1,2≤b≤10,故b=2,b=4,b=8,共有3种情况;a=2,3≤b≤12,故b=4,b=8,b=12,共有3种情况;a=3,4≤b≤14,故b=4,b=8,b=12,共有3种情况;a=4,5≤b≤16,故b=8,b=12,共有2种情况.所以有零点共有3+3+3+2=11种情况.而构成函数共有4×4=16种情况,根据古典概型可得有零点的概率为111614.我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为石.(精确到小数点后一位数字)

答案:169.1解析:设这批米内夹谷约为x石,由题意结合古典概型计算公式,可得x1534=28254,解得x=28×15.国际上常用恩格尔系数(食品支出总额占个人消费支出总额的比重)反映一个国家或家庭生活质量的高低,恩格尔系数越低,生活质量越高.联合国根据恩格尔系数的大小,对世界各国的生活质量有一个划分标准如下:恩格尔系数(%)生活质量大于等于60贫穷[50,60)温饱[40,50)小康[30,40)相对富裕[20,30)富裕小于20极其富裕下表记录了我国在改革开放后某市A,B,C,D,E五个家庭在五个年份的恩格尔系数.年份家庭恩格尔系数(%)ABCDE1978年57.752.562.361.058.81988年54.248.351.955.452.61998年44.741.643.549.047.42008年37.936.529.241.342.72018年28.627.719.835.734.2(1)从以上五个年份中随机选取一个年份,求在该年份五个家庭的生活质量都相同的概率;(2)从以上五个家庭中随机选出两个家庭,求这两个家庭中至少有一个家庭在2008年和2018年均达到“相对富裕”或更高生活质量的概率;(3)如果将“贫穷”“温饱”“小康”“相对富裕”“富裕”“极其富裕”六种生活质量分别对应数值:0,1,2,3,4,5.请写出A,B,C,D,E五个家庭在以上五个年份中生活质量方差最大的家庭和方差最小的家庭(结论不要求证明).解：(1)从以上五个年份中随机选取一个年份,基本事件总数n=5,在该年份五个家庭的生活质量都相同包含的基本事件个数m=1,故在该年份五个家庭的生活质量都相同的概率P=15(2)在2008年和2018年均达到“相对富裕”或更高生活质量的有A,B,C三个家庭,从五个家庭中随机选出两个家庭的所有选法为AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE,共10种,其中至少有一个家庭达到“相对富裕”或更高生活质量的为AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE共有9种.记至少有一个家庭在2008年和2018年均达到“相对富裕”或更高生活质量为事件M,则这两个家庭中至少有一个家庭在2008年和2018年均达到“相对富裕”或更高生活质量的概率P(M)=910(3)如果将“贫穷”“温饱”“小康”“相对富裕”“富裕”“极其富裕”六种生活质量分别对应数值:0,1,2,3,4,5.则得到:家庭1978年1988年1998年2008年2018年A11234B12234C01245D01223E11223生活质量方差最大的家庭是C,方差最小的家庭是E.高考预