函数的奇偶性（原卷版）

TOC\o"13"\h\z\u题型1函数奇偶性的判断 3◆类型1定义法 3◆类型2图像法 4◆类型3性质法 6题型2奇偶性概念的理解 7题型3利用奇偶性求函数的解析式 9◆类型1求对称区间上的解析式 9◆类型2方程组法求解析式 10题型4利用奇偶性求值 10◆类型1解析式已知型 11◆类型2解析式未知型 12题型5利用奇偶性求参数 12◆类型1解析式已知型 12◆类型2已知部分解析式型 13◆类型3奇函数+常数型 14◆类型4奇偶函数最值型 15题型6利用奇偶性与单调性解不等式 16◆类型1抽象不等式 16◆类型2已知函数解析式型 18题型7利用奇偶性比较大小 18题型8奇偶函数的图像 19题型9综合性解答题 21知识点一.函数奇偶性的定义：奇偶性偶函数奇函数条件设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I结论f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)图象特点关于y轴对称关于原点对称注意：判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：1.定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；2.判断f(x)与f(x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(x)＝0(奇函数)或f(x)f(x)＝0(偶函数)是否成立．3.若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：①f(x)为奇函数⇔f(x)＝f(x)⇔f(x)＋f(x)＝0⇔f(-x)②f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(x)⇔f(x)f(x)＝0⇔f(-知识点二.判断函数奇偶性的方法1．定义法：利用奇、偶函数的定义或定义的等价形式：eq\f(f－x,fx)＝±1(f(x)≠0)判断函数的奇偶性．2．图象法：利用函数图象的对称性判断函数的奇偶性．3．验证法：即判断f(x)±f(－x)是否为0.4．性质法：设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上，有下面结论：f(x)g(x)ffff[g偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数偶函数总结：奇±奇=奇偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇知识点三.函数奇偶性的常用结论f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0.f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．3奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．4在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．y＝f(x＋a)是奇函数，则f(－x＋a)＝－f(x＋a)；若y＝f(x＋a)是偶函数，则f(－x＋a)＝f(x＋a)．注意：1．判断函数的奇偶性不可忽视函数的定义域．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．2．函数f(x)是奇函数，必须满足对定义域内的每一个x，都有f(x)＝f(x)，而不能说存在x0，使f(x0)＝f(x0)．同样偶函数也是如此．3.若奇函数的定义域包括，则．（3）若函数是偶函数，则．题型1函数奇偶性的判断【方法总结】判断分段函数的奇偶性，可以用定义法，也可以用图象法.定义法必须验证在每一段内都有或成立，而不能只验证一段解析式。在判断时，要特别注意与的范围，然后选择合适的解析式代入.◆类型1定义法【方法总结】定义法：【例题11】（2023·全国·高一随堂练习）判断下列函数的奇偶性，并加以证明：(1)fx(2)fx(3)fx(4)fx(5)fx(6)fx【变式11】1.（2022秋·天津北辰·高一校考阶段练习）下列函数中，为偶函数的是（

）A．f(x)=xx-1 B．f(x)=x2 C．f(x)=1-x+x-1 D．f(x)【变式11】2.（2023·广东·高三学业考试）下列函数中既是偶函数，又在(0,+∞A．y=x3C．y=9-x2【变式11】3.（2021·高一课时练习）函数fxA．是奇函数且在区间2,+∞B．是奇函数且在区间2,+∞C．是偶函数且在区间2,+∞D．是偶函数且在区间2,+∞【变式11】4.（2022秋·山东枣庄·高一枣庄市第三中学校考期中）设函数fxA．fx+2+2 B．fx+2-2◆类型2图像法【方法总结】图象法：【例题12】（多选）（2022秋·高一课时练习）（多选）给出下列四个函数的论断，正确的是（

）A．y=-|x|是奇函数B．y=xC．y=1D．y=x(x+4),x≥0,E．若fx为奇函数,gx为偶函数，则在公共定义域内【变式12】1.(1)fx(2)fx【变式12】2.（2022秋·宁夏银川·高一校考期中）下列函数中，在区间0,+∞A．y=x B．y=x2 C．【变式12】3.（2022秋·辽宁抚顺·高一校联考期中）下列函数是奇函数的是（

）A．y=-1x B．y=x+1 C．y=【变式12】4.（2022秋·福建福州·高一校考期中）下列函数在定义域上既是奇函数又是减函数的是（

）.A．fx=C．fx=5x◆类型3性质法【例题13】（2022秋·江西·高三宁冈中学校考期中）设函数fx，gx的定义域都为R，且fxA．y=fxB．y=fC．y=fxD．y=f【变式13】1.（2023·全国·高三专题练习）若fx，gx，A．y=fgxC．y=fhx【变式13】2.（2023·全国·高一专题练习）对于两个定义域关于原点对称的函数f(x)和g(x)在它们的公共定义域内，下列说法中正确的是（

）A．若f(x)和g(x)都是奇函数，则f(x)⋅g(x)是奇函数B．若f(x)和g(x)都是偶函数，则f(x)⋅g(x)是偶函数C．若f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则f(x)⋅g(x)是偶函数D．若f(x)和g(x)都是奇函数，则f(x)+g(x)不一定是奇函数【变式13】3.(多选)（2023秋·高一课时练习）如果f(x)是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为奇函数的是（）A．y=x+f(x) B．y=xf(x)C．y=x2【变式13】4.（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知fx，gx都是定义在A．y=fxB．y=gxC．若gx为奇函数，fx为偶函数，则D．若fx为奇函数，gx为偶函数，则题型2奇偶性概念的理解【例题2】（2023秋·江苏宿迁·高一统考期末）对于定义在R上的函数fxA．若f2>f1B．若f2>f1C．若f-2=f2D．若f-2=f2【变式21】1.（2022·全国·高一课时练习）下列说法正确的是（

）A．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数B．若一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称C．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数D．若函数f(x)的定义域为R，且f0=0，则【变式21】2．（2022·全国·高一课时练习）下列命题正确的是（

）A．奇函数的图象关于原点对称，且fB．偶函数的图象关于y轴对称，且fC．存在既是奇函数又是偶函数的函数D．奇､偶函数的定义域可以不关于原点对称【变式21】3．（2022·河南安阳·高一期末）对于函数fx，x∈R，“fx=0A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式21】4．（2022·全国·高一课时练习）下列说法中错误的是（

）A．奇函数的图像关于坐标原点对称 B．图像关于y轴对称的函数是偶函数C．奇函数一定满足f0=0 D．偶函数的图像不一定与【变式21】5．（2020·陕西·榆林市第十中学高一期中）关于函数的性质，有如下说法：①若函数fx的定义域为R，则g②已知fx是定义域内的增函数，且fx≠0③若fx是定义域为R的奇函数，则函数fx-2④已知偶函数fx在区间0,+∞上单调递增，则满足f2x-1<【变式21】6．（2021·福建省永泰县第二中学高一阶段练习）已知函数fx的定义域是D=x∈R|x≠0，对任意x1，x①fx②fx③fx在0,+∞④fx在0,+∞则正确结论的序号是________．题型3利用奇偶性求函数的解析式【方法总结】利用函数的奇偶性求函数解析式的一般方法是:（1）“求谁设谁”，即求函数在哪个区间上的解析式，就设在哪个区间上;（2）利用已知区间的函数解析式进行化简，得到的解析式;（3）利用函数的奇偶性写出或，即可得到函数的解析式.注意:若是R上的奇函数时，不要遗漏的情形.◆类型1求对称区间上的解析式【方法总结】求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，此时－x成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式．【例题31】（2023秋·四川遂宁·高三四川省蓬溪中学校校考阶段练习）已知函数fx为R上的奇函数，当x≥0时，fx=x2A．-x2-2x B．-【变式31】1.（2023·全国·高一专题练习）函数fx是定义在R上的奇函数，当x>0时，fx=-x＋1A．fx=-x+1 B．C．fx=x+1 D．【变式31】2.（2022秋·江苏盐城·高一江苏省射阳中学校考期中）已知函数fx是定义在R上的奇函数，且当x>0时，fx=x3【变式31】3.（2023·全国·高一专题练习）已知奇函数fx=x【变式31】4.（2022秋·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考期末）设a为实数，函数fx=g◆类型2方程组法求解析式【方法总结】f(x)±g(x)对定义域内任意x都成立，所以可以对x任意赋值，如x＝－x.利用f(x)，g(x)一奇一偶，把－x的负号或提或消，最终得到关于f(x)，g(x)的二元方程组，从中解出f(x)和g(x)．【例题32】（2021·吉林·高一吉林毓文中学校考期中）若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)+g(x)=x2+3x+1【变式32】1.（2023·全国·高三专题练习）设函数f(x)与g(x)的定义域是x∈Rx≠±1，函数f(x)是一个偶函数，g(x)是一个奇函数，且f(x)-g(x)=1x-1A．1x2-1 B．2x【变式32】2.（2023秋·河南许昌·高一校考期末）已知函数fx是奇函数，gx是偶函数，且fxA．6x-4xx2-4 B．6x+【变式32】3.（2021秋·福建泉州·高一晋江市第一中学校考阶段练习）已知f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)+g(x)=x3-2【变式32】4.（2021春·宁夏银川·高二银川二中校考期末）已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)-g(x)=x5+题型4利用奇偶性求值【方法总结】1、常用结论：（1）若函数为奇函数，（为常数），则fx+f-x（2）若函数为奇函数，则在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，即.（3）若函数为奇函数，（为常数），则.2、利用奇偶性求函数值的思路：（1）已知f(a)求f(-a)：判断fx的奇偶性与构造已知就行的函数，利用奇偶性找出fa与（2）已知两个函数的奇偶性，求由这两个函数的和、差构造出的新函数的函数值，可用-x替换x后使用奇偶性变形，进而与原函数联立，解方程即可。◆类型1解析式已知型【例题41】（2022秋·高一单元测试）已知fx为定义在R上的奇函数，当x≥0时，fx=A．－2 B．2C．－8 D．8【变式41】1.（2023·全国·高一专题练习）若函数f(x)=x2+2x,x≥0【变式41】2.（2022秋·江西宜春·高一校考期中）已知fx为R上的奇函数，满足fx+4=-fx，且当x∈0,4A．4 B．－3 C．－4 D．3【变式41】3.（2022秋·云南曲靖·高一校考阶段练习）函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=-x2+bx-2，且f(-1)=2A．-6 B．-4 C．-2 D．0【变式41】4.（2023秋·吉林长春·高一汽车区第三中学校考阶段练习）设函数f(x)=a-xa+x(a≠0)，若gA．-20232022 B．20222024 C．◆类型2解析式未知型【例题42】（2022秋·四川南充·高一四川省南充高级中学校考期中）已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)-g(x)=xA．3 B．1 C．-1 D．-3【变式42】1.（2021·全国·高三专题练习）已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)-g(x)=x3+【变式42】2.（2023春·安徽·高一合肥市第八中学校联考开学考试）已知fx为奇函数，gx=fx+2【变式42】3.（2022秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）已知gx是定义在R上的奇函数，fx=gx+【变式42】4.（2023·全国·高一随堂练习）已知fx，gx分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且fx题型5利用奇偶性求参数◆类型1解析式已知型【例题51】（2023·全国·高一专题练习）已知fx=3x+1A．-2 B．-1 C．0 D．1【变式51】1.（2023春·云南大理·高一统考期末）若fx=x+a+1A．1或-1 B．1 C．0 D．-1【变式51】2.（2022秋·河南·高一校联考期中）已知函数fx=3A．1 B．0 C．1 D．2【变式51】3.（2022秋·福建泉州·高一校考期中）设a、b∈R，已知函数fx=2ax3【变式51】4.（2022秋·辽宁铁岭·高一昌图县第一高级中学校考期中）函数fx=ax2+A．4 B．1C．4或1 D．其他值◆类型2已知部分解析式型【例题52】（2023秋·山东滨州·高一统考期末）已知函数f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)=ax3+1，若f(2)=5A．-12 B．12 C．【变式52】1.（2023秋·辽宁葫芦岛·高一校考期末）已知函数f(x)是奇函数，当x∈(-∞,0)时，f(x)=x2-mx，则x∈(0,+【变式52】2.（2022秋·山西阳泉·高一阳泉市第十一中学校校考期末）已知定义在[m-5,1-2m]上的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)=x2+2xA．-8 B．8 C．-24【变式52】3.（2022秋·重庆云阳·高一校考阶段练习）已知fx是奇函数,当x<0时,fx=ax3A．-1 B．1 C．-34【变式52】4.（2022秋·江西·高一校联考阶段练习）已知fx为R上的奇函数，且fx+f4-x=0，当0≤x<2◆类型3奇函数+常数型【方法总结】若函数f(x)为奇函数，gx=fx+k【例题53】（2023·全国·高一专题练习）(1)若函数fx=ax2+bx+3a+b是偶函数，定义域为a-1,2a，则a=(2)已知fx=x7-a【变式53】1.（2023·全国·高一专题练习）已知函数fx=ax7+b【变式53】2.（2022秋·福建泉州·高一校考期中）若fx=xA．2 B．1 C．1 D．3【变式53】3.（2022秋·高一单元测试）已知函数fx=-1+x3+aA．4 B．3C．2 D．1【变式53】4.（2023·全国·高一假期作业）已知函数f(x)=x2+(m-2)x+7m+1A．1 B．2 C．3 D．4【变式53】5.（2023·全国·高一专题练习）已知函数fx=x3+a【变式53】6.（2023·全国·高一假期作业）函数fx=ax2+◆类型4奇偶函数最值型【例题54】（2023·全国·高一专题练习）函数f(x)是定义在区间[-a,a](a>0)上的奇函数，F(x)=f(x)+1，则F(x)的最大值与最小值之和为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【变式54】1.（2022秋·河北石家庄·高一石家庄精英中学校考阶段练习）若函数y=fx是定义在R上的奇函数，且函数Fx=afx+bx+5在0,+A．最小值12 B．最大值12 C．最小值3 D．最小值2【变式54】2.（2022秋·山东滨州·高一校考期中）奇函数fx在区间2,8上是减函数，最小值为-5，则函数fx在区间A．增函数且最大值是5 B．增函数且最小值是5C．减函数且最大值是5 D．减函数且最小值是5【变式54】3.（多选）（2023秋·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中学校考期末）设函数f(x)=x3-bx+c，x∈[-a,a]，c∈Z，若f(x)的最大值为M，最小值为m，那么MA．3与1 B．4与-3 C．8与2 D．6与1【变式54】4.（2022秋·辽宁·高一凤城市第一中学校联考期中）已知函数fx=px3+15x2+qx+15【变式54】5.（2022秋·福建泉州·高一福建省南安第一中学校考阶段练习）已知函数fx=2x2+kx+2kx题型6利用奇偶性与单调性解不等式【方法总结】函数奇偶性的五个重要结论：(1)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．◆类型1抽象不等式【例题61】（2023·全国·高一课堂例题）已知奇函数fx是定义在-1,1上的减函数，则不等式f【变式61】1.（2023·全国·高一专题练习）设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在区间(-∞,0]上是减函数，实数a满足不等式【变式61】2.（2022秋·天津·高一校考期中）已知函数fx是定义在R上的偶函数，若对于任意不等实数x1,x2A．x|-13C．x|-1<x<13 D．x|x<-【变式61】3.（2023春·河北石家庄·高一校考期中）若偶函数fx在0，+∞上单调递减，且A．-2，2C．-∞，【变式61】4.（2022秋·山东菏泽·高一菏泽一中校考期中）定义在R上的函数fx，若fx-1的图象关于点1,0对称，且f2=3，若函数y=fxA．-∞,-3 B．-2,+∞ C．【变式61】5.（2023·全国·高一专题练习）已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1)=2，若∀A．(-∞C．(-∞【变式61】6.（2023春·湖南永州·高一永州市第一中学校考阶段练习）设函数f(x)是定义在R上的偶函数，记g(x)=f(x)-x2，且函数g(x)在区间[0,+∞◆类型2已知函数解析式型【例题62】（2022秋·天津·高一校考期中）若定义在R的奇函数fx，若x<0时fx=-x-2A．-∞,-2∪0,2 B．-【变式62】1.（2023·全国·高一专题练习）已知fx是定义在R上的奇函数，当x>0时，fx=A．-∞,-4C．-4,0∪0,4【变式62】2.（2022秋·湖北鄂州·高一校联考期中）已知函数y=fx在R上是奇函数，当x>0时，fx=A．-∞,-1C．-3,-1∪0,1【变式62】3.（2023·全国·高一专题练习）已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0，f(x)=x2+2xA．(-∞,-1)∪(0,1)C．(-1,0)∪(1,+∞)【变式62】4.（2023·全国·高一课堂例题）已知函数fx为R上的奇函数，当x≥0时，fx=题型7利用奇偶性比较大小【例题7】（2023·全国·高一专题练习）已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上的解析式为A．f(2)B．f(C．f(-1)>f(-2)D．f(-1)<f(2)【变式71】1.（2022秋·江苏连云港·高一统考期中）函数fx=ax2+a是区间2a,a2+1上的偶函数，若函数A．g32C．g32【变式71】2.（2022秋·四川遂宁·高一校考期中）定义在R上的偶函数fx满足：对任意的x1,x2∈0,+∞xA．f52C．f-3<f-2【变式71】3.（2023秋·全国·高一专题练习）已知函数fx+2是偶函数，当x1、x2∈2,+∞时，fxA．c<b<a B．b<a<c C．c<a<b D．a<b<c【变式71】4.（2023·全国·高一专题练习）已知函数fx+1是偶函数，当1<x1<x2时，A．a<b<c B．c<b<a C．b<c<a D．b<a<c