历年线性代数自考真题

全国2008年1月高等教育自学考试

线性代数(经管类)试题

课程代码：04184

试卷说明：在本卷中，A，表示矩阵A的转置矩阵；A*表示A的伴随矩阵；秩(A)表示矩

阵A的秩；IAI表示A的行列式；E表示单位矩阵。

一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号

内。错选、多选或未选均无分。

1.设A为三阶方阵且网=-2,则卜()

A.-108B.-12

C.12D.108

3x1+履2一式3=0

2.如果方程组4X2-X3=0有非零解，则人()

4X2+5=0

A.-2B.-1

C.1D.2

3.设A、B为同阶方阵，下列等式中恒正确的是()

A.AB=BAB.(A+B)-1=A-1+B-1

C.|A+B|=|A|+|BD.(A+B)T=AT+BT

4.设A为四阶矩阵，且|A|=2,则A*=()

A.2B.4

C.8D.12

5.设户可由向量由=(1,0,0)。2=(0,0,1)线性表示，则下列向量中夕只能是

A.(2,1,1)B.(-3,0,2)

C.(1,1,0)D.(0,-1,0)

6.向量组4,叼，…，%的秩不为s(s22)的充分必要条件是()

A.4,a2,­••,%全是非零向量

B.M，a2,…，a*全是零向量

C.Q\,a2,…，as中至少有一个向量可由其它向量线性表出

D.4,a2,…，%中至少有一个零向量

7.设A为机x〃矩阵，方程AX=O仅有零解的充分必要条件是（）

A.A的行向量组线性无关B.A的行向量组线性相关

C.A的列向量组线性无关D.A的列向量组线性相关

8.设A与B是两个相似”阶矩阵，则下列说法蕾用的是()

A.|A|=|B]B.秩(A)=秩(B)

C.存在可逆阵P,使P-AP=BD.2E-A=2E-B

'100-

9.与矩阵A=010相似的是（)

002

"100--11o-

A.020B.010

001002

-100--1or

C.110D.020

002001

10.设有二次型f（X],X2，X3）=X：-X；+X；,则f（X],X2，X3）（）

A.正定B.负定

C.不定D.半正定

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

k1

11.若=0,则.

12

102i

12.设A=01,B=0]0rl，贝IjAB=.

~200-

13.设A=010，则A"=.

022

14.设A为3x3矩阵，且方程组A尸0的基础解系含有两个解向量，则秩(A尸

15.已知A有一个特征值-2，则B=A2+2E必有一个特征值.

16.方程组X]+x2-x3=0的通解是.

17晌量组。1=(1,0,0)^2=(U,0),仃=(-5,2,0)的秩是.

一200'

18.矩阵A=020的全部特征向量是.

002

19.设三阶方阵A的特征值分别为-2,1,1,且B与A相似，贝"2B|=.

'12r

20.矩阵A=2-10所对应的二次型是.

103

三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)

1200

21.计算四阶行列式°12°的值.

0012

2001

3

22.设A=1

1

--11o]Fii0

23.设A=002,B=022，且A,B,X满足(E・BtA)丁B7X=E.求X,Xt.

002003

24.求向量组aL(1,-1,2,4)a2=(0,3,1,2),g=(3,0,7,14),a4=(2,1,5,6),g=(l",2,0)的一个极

大线性无关组.

X1+x2+x3+X4+X5=7

3X|+2X+x+x-3X=-2

25.求非齐次方程组2345的通解.

x2+2X3+2X4+6X5=23

5x)+4X2-3X3+3X4-x5=12

2-20

26.设人=-21-2，求P使P^AP为对角矩阵.

0-20

四、证明题（本大题共1小题,6分）

27.设％,。2，是齐次方程组Ax=0的基础解系.

证明。1，。1+。2，。1+。2+。3也是Ax=0的基础解系.

全国2008年4月高等教育自学考试

线性代数（经管类）试题

课程代码：04184

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括

号内。错选、多选或未选均无分。

a]\a\2

%3%】5。[]+2a]2〃13

1.设行列式口=aa=3,a5a+2a22，则Di的值为（)

2\22“23Di=2\2i〃23

〃31a32a33。3【5。31+2。32〃33

A.-15B.-6

C.6D.15

a+ba-

2.设矩阵则（)

、0北重3

A.a=3,b=-l,c=l,d=3B.a=-l,b=3,c=l,d=3

C.a=3,b=・1,c=0,d=3D.a=-l,b=3,c=0,d=3

3.设3阶方阵4的秩为2,则与A等价的矩阵为（)

11、。1r

A.000B.011

\000/\000/,

’111、口11、

C.222D.222

、000,、333,

4.设A为n阶方阵，n22,则卜5川=（）

A.(-5)n|A|B.-5|A|

C.5klD.5n|A|

5.设A=《：），则|A「=（）

A.-4B.-2

C.2D.4

6.向量组a2,…a,,(s>2)线性无关的充分必要条件是()

A.ai，a2,as均未为零向量

B.ai，a2，…，a$中任意两个向量不成比例

C.a,,a2,…，a,中任意s-1个向量线性无关

D.a,,a2,…，a,中任意一个向量均不能由其余s-l个向量线性表示

7.设3元线性方程组Ax=b,A的秩为2,7i,%，小为方程组的解，/+%=(2，0，4)1

/+小=(1，-2,1)L则对任意常数k,方程组人*』的通解为()

A.(l,0,2)T+k(l,-2,l)TB.(l,-2,l)T+k(2,0,4)T

C.(2,0,4)T+k(l,-2,l)TD.(l,0,2)T+k(l,2,3)T

8.设3阶方阵A的特征值为1,-1,2,则下列矩阵中为可逆矩阵的是()

A.E-AB.-E-A

C.2E-AD.-2E-A

9.设2=2是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵(A?)t必有一个特征值等于()

C.2D.4

10.二次型f（X|,X2,X3,X4尸*：+*；+*；+*：+2*3*4的秩为（）

A.1B.2

C.3D.4

二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

axbxa}b2。也

11.行列式42bla2b2a2b3

a3bxa3b2a3b3

12.设矩阵A=（；j）,P=P则APT=

’00r

13设矩阵A=011则A-'=

rl22、

14.设矩阵人=2f3,若齐次线性方程组Ax=O有非零解，则数t=.

、345,

(1](11①

15.已知向量组a]=1,a2=-2,a3=1的秩为2,则数t=_____________.

[2)I1)卜

16.已知向量a=(2,1,0,3)、B=(l,・2,l,k)\a与B的内积为2,则数k=.

17.设3J量。=(b,,—^=)T为单位向量，则数b=.

「0-2-2、

18.已知a=0为矩阵A=22-2的2重特征值，则A的另一特征值为.

-2-22,

19.二次型f(x1,x2,x3)=xf+2x2-5x3-4xix2+2x2x3的矩阵为.

20.已知二次型f(X1,x2,X3)=(k+l)x；+(k-l)x；+(k・2)x；正定，则数k的取值范围为

三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)

1111

120

21.计算行列式D=八的值.

1030

1004

qor’3or

22.已知矩阵A=1-10B=110

212)、014,

(1)求A的逆矩阵A」：

(2)解矩阵方程AX=B.

23.设向量&=(1,-1,-1,1),6=(-1,1,1,-1),求(1)矩阵A=aT0；(2)A2.

TT

24.设向量组a产(1,-1,2,4)\a2=(0,3,1,2),a3=(3,0,7,14),a4=

(1,-1,2,0)丁，求向量组的秩和个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无

关组线性表示.

25.已知线性方程组

+2Xy=-1

'——3冗3=2

2x1一冗2+5工3=a

(1)求当a为何值时，方程组无解、有解.

(2)当方程组有解时，求出其全部解(要求用其一个特解和导出组的基础解系表示).

26.设矩阵A=

(1)求矩阵A的特征值与对应的全部特征向量.

(2)判定A是否可以与对角矩阵相似,若可以，求可逆矩阵P和对角矩阵A，使得P'AP=A.

四、证明题(本题6分)

27.设n阶矩阵A满足A2=A,证明E-2A可逆，且(E-2A)"=E-2A.

全国2008年10月高等教育自学考试

线性代数（经管类）试题

课程代码：04184

说明:在本卷中,表示矩阵力的转置矩阵，/表示矩阵4的伴随矩阵，E是单位矩阵，1川

表示方阵力的行列式，儿4）表示矩阵/的秩.

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的

括号内。错选、多选或未选均无分。

1.设4为3阶方阵，且一;贝U|N|=（）

A.-9B.-3

C.-1D.9

2.设4、B为〃阶方阵，满足才1小，则必有（)

A.A=BB.A=-B

C.\A\=\B\D.H|2=|3|2

Hi?>

3.已知矩阵4=-.y则(

AQ"B-(i-0

c(iD-C

4.设N是2阶可逆矩阵，则下列矩阵中与N等价的矩阵是（）

()'fB.|0

A.

0>0

3)[51、

C.|D.

5.设[可宜,=（%,伉,q）,=（"2£]=（。1,仇,C],4）,=（%,与，。2,”2），卜列命就中正

确的是（）

A.若%,用线性相关，则必有4，4线性相关

B.若5,0线性无关，则必有外旦线性无关

C.若自，色线性相关，则必有%,%线性无关

D.若加4线性无关，则必有由,内线性相关

1"2、

6.已知2,3是齐次线性方程组Ax=0的两个解,则矩阵4可为（)

l-1Jlb

A.(5,-3,-1)

(12-1)

(K)

D.-12-2

1-531J

7.设sX”矩阵A的秩r(N)=〃-3(">3),a,£,，是齐次线性方程组Ax=0的三个线性无

关的解向量，则方程组4x=0的基础解系为（）

A.a,£,。+£B.B,Y,Y-P

C.a-BY,Y-aD.a,a+8,a+Y

(\00)

8.已知矩阵/与对角矩阵。=0-10相似，则才=（）

100-1J

A.AB.D

C.ED.-E

(00o

9.设矩阵4=01o则A的特征值为（）

U07

A.1,1,0B.-1,1,1

C.1,1,1D.1,-1,-1

10.设N为〃（”22）阶矩阵，且7=E,则必有（）

A.A的行列式等于1B.A的逆矩阵等于E

C.A的秩等于nD.A的特征值均为1

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

a21

11.已知行列式230=0,则数a=.

1-11

⑵设方程组d=°。有非零解’则数人—•

13.设矩阵/=（?],_4）'B=（357）1贝.

14.已知向量组4的秩为2,则数片.

15.设向量。=（2,-1,；,1）,则。的长度为.

16.设向量组。产（112,3）,。2=（4,5,6）,a3=（3,3,3）与向量组£”£2，B、

等价，则向量组自，色，色的秩为.

17.已知3阶矩阵力的3个特征值为1,2,3,则依*|=.

18.设3阶实对称矩阵力的特征值为人户入2=3，入3=0,贝。00=.

<12

224A

19.矩阵/=4-1对应的二次型/=.

k-3

20.设矩阵4=（/则二次型/4”的规范形是.

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

1234

012

21.计算行列式。=\的值.

-1-10

120-5

22.已知/=(，］1)，5=(，］C=HJj,矩阵X满足NX5=C,求解X.

23.求向量£=(3,-1,2)T在基叫=(1,1,2)T，叼=(-!>3,1)T,心=。，1，1)T

下的坐标，并将£用此基线性表示.

24.设向量组a1,。2,。3线性无关‘令£】=・。1+。3，B告a1r2a3,£3=2。厂5。2+3。3.试

确定向量组£1，£2，2的线性相关性.

X]+工2+生=-2

25.已知线性方程组<西+川+为=-2，

Axj+X2+X3=4-3

(1)讨论人为何值时，方程组无解、有惟•解、有无穷多个解.

(2)在方程组有无穷多个解时，求出方程组的通解(要求用其一个特解和导出组的基础

解系表示).

(111)

26.已知矩阵/=111,求正交矩阵P和对角矩阵/，使/以六人

U1D

四、证明题(本题6分)

27.设〃为非齐次线性方程组4年分的一个解，和，J，…，L是其导出组/1尸。的一个

基础解系.证明“，却，/，…，鼻线性无关.

全国2009年1月高等教育自学考试

线性代数（经管类）试题

课程代码：04184

试卷说明：在本卷中，⑷表示矩阵4的转置矩阵，4表示矩阵4的伴随矩阵，£表示单位矩阵,

14表示方阵力的行列式，4表示矩阵4的逆矩阵，秩（⑷表示矩阵4的秩.

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的

括号内。错选、多选或未选均无分。

工+y+z=0

1.线性方程组＜2x-5），-3z=10的解为（）

4x+8y+2z=4

A.x=2,y=0,z=-2B.x=-29y=2,z=0

C.x=0,y=2,z=-2D.x=l,y=O,z=-l

2.设矩阵4=（；"则矩阵”的伴随矩阵/*=（）

3.设1为5X4矩阵，若秩（4）=4,则秩（5T）为（）

A.2B.3

C.4D.5

4.设Z,5分别为和mXk矩阵，向量组（I）是由4的列向量构成的向量组，向量

组（II）是由（Z,8）的列向量构成的向量组，则必有（）

A.若（D线性无关，则（II）线性无关B.若（I）线性无关，则（II）线性相关

C.若（II）线性无关，则（I）线性无关D.若（II）线性无关，则（I）线性相关

5.设4为5阶方阵，若秩（4）=3,则齐次线性方程组Nx=0的基础解系中包含的解向量

的个数是（）

A.2B.3

C.4D.5

6.设“X〃矩阵N的秩为”-1,且I”。2是齐次线性方程组4尸0的两个不同的解，则4尸0

的通解为（）

A.kC，ZGRB.觉2，ZeR

C.攵£RD.

7.对非齐次线性方程组广办，设秩（力）=r,则（）

A.r=m时，方程组Z尸〃有解B.r=n时,方程组有唯一解

C.m=n时，方程组4户〃有唯一解D.r<n时,方程组/户力有无穷多解

fl111、

021

8.设矩阵],则/的线性无关的特征向量的个数是（)

4=003

000V

A.1B.2

C.3D.4

9.设向量a=（4,-1,2,-2）,则下列向量是单位向量的是（)

11

A.—aB.-a

35

11

C.-aD.一a

925

10.二次型/Cq,x2）=54+3君的规范形是（)

22

A.力-B.一为一

C._y；+D.城+>2

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

100

225

11.3阶行列式313

2

12.设Z=(3,1,0),B=-40,贝iJ/6=

5

13.设力为3阶方阵，若卬|=2,则卜3川=

14.已知向量〃=(3,5,7,9),p=(-1,5,2,0),如果“+4=/?,贝(!4=

〃11为+%20+。13必=°

15.设力=a2\a223为3阶非奇异矩阵，则齐次线性方程组的内+〃22々+〃23巧=。的

。31a32a33ja3\x\+a32X2+a33X3=°

解为.

16.设非齐次线性方程组4x=b的增广矩阵为

1O021

o102

，则该方程组的通解为.

OO2-146

17.已知3阶方阵/的特征值为1,-3,9,则

18.已知向量四=(1,2,-1)与向量2=(0,1,y)正交，则y=.

19.一次型/(勺/243/4尸X]+3x2+2%3—X4的正惯性指数为.

20.若/(X1/2/3尸X：+4x；+4君+2拉]巧-2占匕+4X2*3为正定二次型，则4的取值应满足

三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)

5333

3533

21.计算行列式。=3353

3335

10fl2)

22.设/=0-113=01,又AX=B,求矩阵X.

UoJ

0

58rz1021、

(340=o259

23.设矩阵/=201O03O,求矩阵N5的秩.

1°7

24.求向量组ai=(1,4,3,-2),a2=(2,5,4,-1),a3=(3,9,7,-3)的秩.

X]+X2+均+=0

求齐次线性方程组，

25.X]+2X2+4X3+4X4=0的——个基础解系.

2x}+3X2+5X3+5X4=0

<l00

o21

26.设矩阵工=o12,求可逆矩阵P,使P.■尸为对角矩阵.

k

四、证明题（本大题共1小题，6分）

=

27.设向量组a1，a2»a?线性无关，Pi=ai+a2，//2«z+a3，/?3=a3+ai，证明：向

量组0”2，A3线性无关.

全国2009年4月高等教育自学考试

线性代数（经管类）试题

课程代码：04184

说明：在本卷中，表示矩阵/的转置矩阵，/表示矩阵/的伴随矩阵，E表示单位矩阵,

闻表示方阵N的行列式，r（4）表示矩阵N的铁。

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的

括号内。错选、多选或未选均无分。

0-11

1.3阶行列式卜/=10-1中元素』的代数余了式421=（)

-]10

A.-2B.-1

C.1D.2

/

a。12、<a4-a”22+12)I1

\\2]n。(011°、

2.设矩阵％=,B=,尸1=，尸2=，则必有（）

11%2)VVL

/21a22)、a

A.PXP2A=BB.P2P}A=B

C.4Plp2=BD.AP2P\=B

3.设”阶可逆矩阵N、B、C满足45C=E,则B'=()

A.AAC}B.C才

C.ACD.CA

s10、

4.设3阶矩阵4=001，则片的秩为（）

。°>

A.0B.1

C.2D.3

5.设是•个4维向量组，若已知可以表为的线性组合，且表示法

惟一，则向量组以1,。2，。3，。4的秩为（)

A.1B.2

C.3D.4

6.设向量组囚,。2，。3，。4线性相关，则向量组中（）

A.必有一个向量可以表为其余向量的线性组合

B.必有两个向量可以表为其余向量的线性组合

C.必有三个向量可以表为其余向量的线性组合

D.每一个向量都可以表为其余向量的线性组合

7.设%,是齐次线性方程组eo的一个基础解系，则下列解向量组中，可以作为该

方程组基础解系的是（）

A.at,a2,«|+a2B.a,+a2,a2+a3,a3+a}

C.al,a2,al-a2D.ax-a2,a2-a3,a3-a.

0、

8.若2阶矩阵N相似于矩阵B=,£为2阶单位矩阵，则与矩阵E-A相似的矩阵是

、2T

（）

'10、'-10、

A.B.

J4,JI,

'-10、"-10、

c.D.

、-24,、-2-47

'20

9.设实对称矩阵4=0-42,则3元二次型八可用死尸*'4V的规范形为（）

、02

A.z,2++Z3B.z；+z"

C.z；+z；D.Zj2-Z2

10.若3阶实对称矩阵4=（5）是正定矩阵，则4的正惯性指数为（）

A.0B.1

C.2D.3

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

2勺23。］3alla\2〃13

11.已知3阶行列式2。214。226a23=6,则a2\a22a23

3。316。329。33a3\a32a33

12.设3阶行列式Ds的第2列元素分别为1,-2,3,对应的代数余子式分别为-3,2,1,

则口3=.

"12、

13.设4=,则1-24+E=.

-1

。2'

14.设A为2阶矩阵，将N的第2列的(-2)倍加到第1列得到矩阵B.若B=,则

134,

A=.

‘0or

15.设3阶矩阵4=022,贝ijN」=.

、333,

16.设向量组的=(a,1,1),a2=,a3=(1,1,-2)线性相关,则数a=.

17.已知X|=(l,0,-l)T,X2=(3,4,5)T是3元非齐次线性方程组Zx=b的两个解向量，则对应齐次线

性方程组Ax=0有一个非零解向量4=.

18.设2阶实对称矩阵N的特征值为1,2,它们对应的特征向量分别为%=(1,19，

=

a2(l>A),，则数k=.

19.已知3阶矩阵/的特征值为0,-2,3,且矩阵6与N相似，则|5+£|=.

20.二次型J3)=(X「X2y+3m)2的矩阵A=.

三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)

1x3

21.已知3阶行列式热卜x20中元素为2的代数余子式42=8,求元素的代数余子式

5-14

-21的值.

'-irr

22.已知矩阵”=B=，矩阵X满足4¥+5=X,求X.

、T0>、。2,

TT

23.求向量组％=(1,1,1,31,a2=(-l,-3,5,l),a3=(3,2,-l,4),04=(-2,-6,10,2尸的一个极大无

关组，并将向量组中的其余向量用该极大无关组线性表出.

ax]+叼+%=0

24.设3元齐次线性方程组'+"2+与=0，

修+%2+以3=0

(1)确定当a为何值时，方程组有非零解；

(2)当方程组有非零解时;求出它的基础解系和全部解.

'20P

25.设矩阵5=313,

J05,

(1)判定5是否可与对角矩阵相似，说明理由；

(2)若5可与对角矩阵相似，求对角矩阵/和可逆矩阵P,使

26.设3元二次型/（占,》2»3）=》12+2.4+了”2工出-2》2工3，求正交变换尸力,将二次型化为

标准形.

四、证明题（本题6分）

27.已知"是”阶矩阵，且满足方程1+24=0,证明A的特征值只能是0或-2.

全国2009年10月高等教育自学考试

线性代数(经管类)试题

课程代码：04184

说明：在本卷中，Z7表示矩阵N的转置矩阵，N*表示矩阵4的伴随矩阵，E是单位矩阵,

\A\表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩.

一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括

号内。错选、多选或未选均无分。

01-11

-1o1-1

1.行列式第二行第一列元素的代数余子式&]=()

1-101

-11-10

A.-2B.-1

C.1D.2

2.设N为2阶矩阵，若|3Z|=3,则|2N卜()

A.1B.1

2

C.-D.2

3

3.设”阶矩阵N、B、C满足45C=E,则L：()

A.ABB.BA

C.A~B~D.

4.已知2阶矩阵/=的行列式/=-1,则(Z*)T=()

—b

A.B.

1二力a

b

D.

七-Jd

5.向量组修02,…,a,（S22）的秩不为零的充分必要条件是（)

A.….a,中没有线性相关的部分组B.a”a2，…。,中至少有一个非零向量

C.a”。2,…,全是非零向量D.全是零向量

6.设N为〃zx”矩阵，则〃元齐次线性方程组4尤=0有非零解的充分必要条件是（）

A.r（A）=nB.r（A）=m

C.r（A）<nD.r[A）<m

7.已知3阶矩阵/的特征值为-1,0,1,则下列矩阵中可逆的是（)

A.AB.E-A

C.-E-AD.2E-A

8.下列矩阵中木星初等矩阵的为（)

,100、"100、

A.010B.0I0

101

\/\-101/

<100"'100、

C.020D.110

<o01,J01>

9.4元二次型/（和工2，X314）=2再，2+2西工4+2-213+2-3,4的秩为（）

A.1B.2

C.3D.4

‘0or

10.设矩阵N=010,则二次型x74t的规范形为（）

Jo0,

A.Zi+Z2+Z3B.-Zj2-

C.z；-z；-z；D.z；+z；-z；

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

a+d死-b,a〕bi

11.已知行列式[{=-4,m则।।

a2+b2a2-b2a2b2

12.已知矩阵4=(1,2,-1),3=(2,-1,1),且则C2=,

13.设矩阵"J2:]则(别——.

(333)

14.已知矩