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文档简介

北京市西城区第一五六中学2024年高考仿真卷数学试卷考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数,,若方程恰有三个不相等的实根,则的取值范围为()A. B.C. D.2.已知三棱锥的体积为2,是边长为2的等边三角形,且三棱锥的外接球的球心恰好是中点,则球的表面积为()A. B. C. D.3.已知随机变量服从正态分布,且,则()A. B. C. D.4.函数的部分图象大致为()A. B.C. D.5.已知三棱锥中,为的中点,平面,,,则有下列四个结论:①若为的外心,则;②若为等边三角形,则;③当时,与平面所成的角的范围为;④当时,为平面内一动点,若OM∥平面,则在内轨迹的长度为1.其中正确的个数是().A.1 B.1 C.3 D.46.一个盒子里有4个分别标有号码为1,2,3,4的小球,每次取出一个,记下它的标号后再放回盒子中,共取3次,则取得小球标号最大值是4的取法有()A.17种 B.27种 C.37种 D.47种7.记为数列的前项和数列对任意的满足.若,则当取最小值时,等于()A.6 B.7 C.8 D.98.设i是虚数单位,若复数()是纯虚数,则m的值为()A. B. C.1 D.39.设过抛物线上任意一点(异于原点)的直线与抛物线交于两点,直线与抛物线的另一个交点为,则()A. B. C. D.10.若复数满足,复数的共轭复数是,则()A.1 B.0 C. D.11.若为过椭圆中心的弦,为椭圆的焦点,则△面积的最大值为()A.20 B.30 C.50 D.6012.已知平面向量,满足,且,则与的夹角为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.如图所示,在△ABC中,AB=AC=2,,,AE的延长线交BC边于点F,若,则____.14.已知抛物线的焦点和椭圆的右焦点重合,直线过抛物线的焦点与抛物线交于、两点和椭圆交于、两点,为抛物线准线上一动点,满足,,当面积最大时,直线的方程为______.15.设实数x,y满足,则点表示的区域面积为______.16.若函数在区间上有且仅有一个零点,则实数的取值范围有___________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在直角坐标系中,以为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线的极坐标方程为:,曲线的参数方程为其中,为参数,为常数.(1)写出与的直角坐标方程;(2)在什么范围内取值时,与有交点.18.(12分)已知函数,的最大值为.求实数b的值;当时,讨论函数的单调性;当时,令,是否存在区间,,使得函数在区间上的值域为?若存在,求实数k的取值范围;若不存在,请说明理由.19.(12分)某公司为了鼓励运动提高所有用户的身体素质,特推出一款运动计步数的软件,所有用户都可以通过每天累计的步数瓜分红包,大大增加了用户走步的积极性,所以该软件深受广大用户的欢迎.该公司为了研究“日平均走步数和性别是否有关”,统计了2019年1月份所有用户的日平均步数,规定日平均步数不少于8000的为“运动达人”,步数在8000以下的为“非运动达人”,采用按性别分层抽样的方式抽取了100个用户,得到如下列联表:运动达人非运动达人总计男3560女26总计100(1)(i)将列联表补充完整;(ii)据此列联表判断,能否有的把握认为“日平均走步数和性别是否有关”?(2)将频率视作概率,从该公司的所有人“运动达人”中任意抽取3个用户,求抽取的用户中女用户人数的分布列及期望.附:20.(12分)已知,且.(1)请给出的一组值,使得成立;(2)证明不等式恒成立.21.(12分)已知函数,其中.(1)①求函数的单调区间;②若满足,且.求证:.(2)函数.若对任意,都有,求的最大值.22.(10分)在平面直角坐标系中,,,且满足(1)求点的轨迹的方程;(2)过,作直线交轨迹于,两点,若的面积是面积的2倍,求直线的方程.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

由题意可将方程转化为,令,,进而将方程转化为,即或,再利用的单调性与最值即可得到结论.【详解】由题意知方程在上恰有三个不相等的实根,即,①.因为,①式两边同除以,得.所以方程有三个不等的正实根.记,,则上述方程转化为.即,所以或.因为,当时,,所以在,上单调递增,且时,.当时,,在上单调递减,且时,.所以当时,取最大值,当,有一根.所以恰有两个不相等的实根,所以.故选:B.【点睛】本题考查了函数与方程的关系,考查函数的单调性与最值,转化的数学思想,属于中档题.2、A【解析】

根据是中点这一条件,将棱锥的高转化为球心到平面的距离,即可用勾股定理求解.【详解】解:设点到平面的距离为,因为是中点,所以到平面的距离为,三棱锥的体积,解得,作平面,垂足为的外心,所以,且,所以在中,,此为球的半径,.故选:A.【点睛】本题考查球的表面积,考查点到平面的距离,属于中档题.3、C【解析】

根据在关于对称的区间上概率相等的性质求解.【详解】,,,.故选:C.【点睛】本题考查正态分布的应用.掌握正态曲线的性质是解题基础.随机变量服从正态分布,则.4、B【解析】

图像分析采用排除法,利用奇偶性判断函数为奇函数,再利用特值确定函数的正负情况。【详解】,故奇函数,四个图像均符合。当时,,,排除C、D当时,,,排除A。故选B。【点睛】图像分析采用排除法,一般可供判断的主要有:奇偶性、周期性、单调性、及特殊值。5、C【解析】

由线面垂直的性质,结合勾股定理可判断①正确;反证法由线面垂直的判断和性质可判断②错误;由线面角的定义和转化为三棱锥的体积,求得C到平面PAB的距离的范围,可判断③正确;由面面平行的性质定理可得线面平行,可得④正确.【详解】画出图形:若为的外心,则,平面,可得,即,①正确;若为等边三角形,,又可得平面,即,由可得,矛盾,②错误;若,设与平面所成角为可得,设到平面的距离为由可得即有,当且仅当取等号.可得的最大值为,即的范围为,③正确;取中点,的中点,连接由中位线定理可得平面平面可得在线段上,而,可得④正确;所以正确的是:①③④故选:C【点睛】此题考查立体几何中与点、线、面位置关系有关的命题的真假判断,处理这类问题,可以用已知的定理或性质来证明,也可以用反证法来说明命题的不成立.属于一般性题目.6、C【解析】

由于是放回抽取,故每次的情况有4种,共有64种;先找到最大值不是4的情况,即三次取出标号均不为4的球的情况,进而求解.【详解】所有可能的情况有种,其中最大值不是4的情况有种,所以取得小球标号最大值是4的取法有种,故选:C【点睛】本题考查古典概型,考查补集思想的应用,属于基础题.7、A【解析】

先令,找出的关系,再令,得到的关系,从而可求出,然后令,可得,得出数列为等差数列,得,可求出取最小值.【详解】解法一:由,所以,由条件可得,对任意的,所以是等差数列,,要使最小,由解得,则.解法二:由赋值法易求得,可知当时,取最小值.故选:A【点睛】此题考查的是由数列的递推式求数列的通项,采用了赋值法,属于中档题.8、A【解析】

根据复数除法运算化简,结合纯虚数定义即可求得m的值.【详解】由复数的除法运算化简可得,因为是纯虚数,所以,∴,故选:A.【点睛】本题考查了复数的概念和除法运算,属于基础题.9、C【解析】

画出图形,将三角形面积比转为线段长度比,进而转为坐标的表达式。写出直线方程,再联立方程组,求得交点坐标,最后代入坐标,求得三角形面积比.【详解】作图,设与的夹角为,则中边上的高与中边上的高之比为,,设,则直线,即,与联立,解得,从而得到面积比为.故选:【点睛】解决本题主要在于将面积比转化为线段长的比例关系,进而联立方程组求解,是一道不错的综合题.10、C【解析】

根据复数代数形式的运算法则求出,再根据共轭复数的概念求解即可.【详解】解:∵,∴,则,∴,故选:C.【点睛】本题主要考查复数代数形式的运算法则,考查共轭复数的概念,属于基础题.11、D【解析】

先设A点的坐标为,根据对称性可得,在表示出面积,由图象遏制,当点A在椭圆的顶点时,此时面积最大,再结合椭圆的标准方程,即可求解.【详解】由题意,设A点的坐标为,根据对称性可得,则的面积为,当最大时,的面积最大,由图象可知,当点A在椭圆的上下顶点时,此时的面积最大,又由,可得椭圆的上下顶点坐标为,所以的面积的最大值为.故选:D.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及简单的几何性质,以及三角形面积公式的应用,着重考查了数形结合思想,以及化归与转化思想的应用.12、C【解析】

根据,两边平方,化简得,再利用数量积定义得到求解.【详解】因为平面向量,满足,且,所以,所以,所以,所以,所以与的夹角为.故选:C【点睛】本题主要考查平面向量的模,向量的夹角和数量积运算,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

过点做,可得,,由可得,可得,代入可得答案.【详解】解:如图,过点做,易得:,,,故,可得:,同理:,,可得,,由,可得,可得:,可得:,,故答案为:.【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算和平面向量的数量积,由题意作出是解题的关键.14、【解析】

根据均值不等式得到,,根据等号成立条件得到直线的倾斜角为,计算得到直线方程.【详解】由椭圆,可知,,,,,,,(当且仅当,等号成立),,,,,直线的倾斜角为,直线的方程为.故答案为:.【点睛】本题考查了抛物线,椭圆,直线的综合应用,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.15、【解析】

先画出满足条件的平面区域,求出交点坐标,利用定积分即可求解.【详解】画出实数x,y满足表示的平面区域,如图(阴影部分):则阴影部分的面积,故答案为:【点睛】本题考查了定积分求曲边梯形的面积,考查了微积分基本定理,属于基础题.16、或【解析】

函数的零点方程的根,求出方程的两根为,,从而可得或,即或.【详解】函数在区间的零点方程在区间的根,所以,解得:,,因为函数在区间上有且仅有一个零点,所以或,即或.【点睛】本题考查函数的零点与方程根的关系,在求含绝对值方程时,要注意对绝对值内数的正负进行讨论.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1),.(2)【解析】

(1)利用,代入可求;消参可得直角坐标方程.(2)将的参数方程代入的直角坐标方程,与有交点,可得,解不等式即可求解.【详解】(1)(2)将的参数方程代入的直角坐标方程得:与有交点,即【点睛】本题考查了极坐标方程与普通方程的转化、参数方程与普通方程的转化、直线与圆的位置关系的判断,属于基础题.18、(1);(2)时,在单调增;时,在单调递减,在单调递增;时,同理在单调递减,在单调递增;(3)不存在.【解析】分析:(1)利用导数研究函数的单调性,可得当时,取得极大值,也是最大值,由,可得结果;(2)求出,分三种情况讨论的范围,在定义域内,分别令求得的范围,可得函数增区间,求得的范围,可得函数的减区间;(3)假设存在区间,使得函数在区间上的值域是,则,问题转化为关于的方程在区间内是否存在两个不相等的实根,进而可得结果.详解:(1)由题意得,令,解得,当时,,函数单调递增;当时,,函数单调递减.所以当时,取得极大值,也是最大值,所以,解得.(2)的定义域为.①即,则,故在单调增②若,而,故,则当时,;当及时,故在单调递减,在单调递增.③若,即,同理在单调递减,在单调递增(3)由(1)知,所以,令,则对恒成立,所以在区间内单调递增,所以恒成立,所以函数在区间内单调递增.假设存在区间,使得函数在区间上的值域是,则,问题转化为关于的方程在区间内是否存在两个不相等的实根,即方程在区间内是否存在两个不相等的实根,令,,则,设,,则对恒成立,所以函数在区间内单调递增,故恒成立,所以,所以函数在区间内单调递增,所以方程在区间内不存在两个不相等的实根.综上所述,不存在区间,使得函数在区间上的值域是.点睛:本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的最值值,属于难题.求函数极值、最值的步骤:(1)确定函数的定义域;(2)求导数;(3)解方程求出函数定义域内的所有根;(4)列表检查在的根左右两侧值的符号,如果左正右负(左增右减),那么在处取极大值,如果左负右正(左减右增),那么在处取极小值.(5)如果只有一个极值点,则在该处即是极值也是最值;(6)如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.19、(1)(i)填表见解析(ii)没有的把握认为“日平均走步数和性别是否有关”(2)详见解析【解析】

(1)(i)由已给数据可完成列联表,(ii)计算出后可得;(2)由列联表知从运动达人中抽取1个用户为女用户的概率为,的取值为,,由二项分布概率公式计算出各概率得分布列,由期望公式计算期望.【详解】解(1)(i)运动达人非运动达人总计男352560女142640总计4951100(ii)由列联表得所以没有的把握认为“日平均走步数和性别是否有关”(2)由列联表知从运动达人中抽取1个用户为女用户的概率为,.易知所以的分布列为0123.【点睛】本题考查列联表,考查独立性检验,考查随机变量的概率分布列和期望.属于中档题.本题难点在于认识到.20、(1)(答案不唯一)(2)证明见解析【解析】

(1)找到一组符合条件的值即可;(2)由可得,整理可得,两边同除可得,再由可得,两边同时加可得,即可得证.【详解】解析:(1)(答案不唯一)(2)证明:由题意可知,,因为,所以.所以,即.因为,所以,因为,所以,所以.【点睛】考查不等式的证明,考查不等式的性质的应用.21、(1

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