一元二次不等式及其解法

关于一元二次不等式及其解法设直线y=ax+b与x轴的交点是则一元一次方程ax+b=0的解集是同时一元一次不等式ax+b>0(<0)的解集：

（1）当a>0时，一元一次不等式ax+b>0的解集是{x|x>x。}，一元一次不等式ax+b<0的解集是{x|x<x。}.

（2）当a<0时，一元一次不等式ax+b>0的解集是{x|x<x。}，一元一次不等式ax+b<0的解集是{x|x>x。}.（x。,0）；{x|x=x。}；第2页,共45页，2024年2月25日，星期天

问题：某同学想上网查资料，现有两家网吧可供选择。A网吧每小时收费1.5元（不足1小时的按1小时计算）;B网吧的收费原则为，在用户上网的第1个小时内（含恰好1个小时）收费1.7元，第2个小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元（每天上网最多17小时）.新课导入第3页,共45页，2024年2月25日，星期天

分析：一般来说，一次上网的时间不会超过17小时.所以，不妨设一次上网的时间总小于17小时.那么，一次上网在多长时间以内，去A网吧合算？问：设该同学上网时间为x小时，(1)若该同学去A网吧，试写出所需费用的表达式？(2)若该同学去B网吧，试写出所需费用的表达式？(3)一次上网在多长时间以内，去A网吧合算？第4页,共45页，2024年2月25日，星期天解：一次上网的时间为x小时，则网吧A收取的费用为1.5x(元)网吧B收取的费用为x（35-x）/20(元)若要能够保证选择网吧A比网吧B所需费用少，则x（35-x）/20>1.5x(0<x<17).想想为什么？第5页,共45页，2024年2月25日，星期天经整理得

这是一个关于x的一元二次不等式.只要求的满足此不等式的解集，就得到了答案.一元二次不等式的定义：

我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2次的不等式称为一元二次不等式.什么是一元二次不等式？第6页,共45页，2024年2月25日，星期天3.2一元二次不等式及其解法第7页,共45页，2024年2月25日，星期天1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；2.巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系；进一步熟练解一元二次不等式的解法.教学目标知识与能力第8页,共45页，2024年2月25日，星期天1.过程与方法：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；2.培养数形结合的能力，一题多解的能力，培养抽象概括能力和逻辑思维能力.

过程与方法第9页,共45页，2024年2月25日，星期天1.激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想；2.激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会从不同侧面观察同一事物思想.情感态度与价值观第10页,共45页，2024年2月25日，星期天

从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法.

理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系.教学重难点重点难点第11页,共45页，2024年2月25日，星期天思考：

我们已经知道导入中的问题已经归结为求一个一元二次不等式解的问题，那么怎样求得下面式子的解集呢？第12页,共45页，2024年2月25日，星期天我们先来考察它与二次函数与的关系.oxy5二次方程的有两个实数根：二次函数也正有两个零点：容易知道：第13页,共45页，2024年2月25日，星期天

观察函数图象，可知：当x<0，或x>5时，函数图象位于x轴上方，此时，y>0,

当0<x<5时，函数图象位于x轴下方，此时，y<0,所以，不等式的解集是，即即oxy5第14页,共45页，2024年2月25日，星期天小结：1、要解一元二次不等式和一元二次函数及二次方程用很大关系！2、同学们在学习过程中应多于以前的知识相结合.从而作到融汇贯通的效果.第15页,共45页，2024年2月25日，星期天思考：

我们已经知道了具体一元二次方程的解法，能不能由此推出一般一元二次方程的解法？一元二次方程的一般形式是什么？<0第16页,共45页，2024年2月25日，星期天

根据上面的具体问题，我们可以得到，确定一元二次不等式的解集，关键要考虑以下两点：(1)抛物线与x轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程的根的情况.(2)抛物线的开口方向，即a的符号.第17页,共45页，2024年2月25日，星期天我们是怎样确定一元二次方程的根的呢？通过以前的知识，我们知道：的根与他的判别式有很大关系.即为它的判别式，当时，有两个不同的实根；当时，没有实根;当时，有一个实根.

同时我们知道，a<0可以转化为a>0，从而只要考虑a>0的情况即可.第18页,共45页，2024年2月25日，星期天从而结合一元二次函数的图像，与x轴的相关位置分三种情况：0xyx1=x2yx1yx2第19页,共45页，2024年2月25日，星期天

通过以上分析，我们就可以分三种情况来讨论对应的一元二次不等式的解集了.0xyx1=x2yx1yx2解分别为：，及第20页,共45页，2024年2月25日，星期天根据上述方法，请将下表填充完整.

(a>0)的图像有两相异实根有两相等实根xyx1x2xyx1=x2xy第21页,共45页，2024年2月25日，星期天的解集的解集第22页,共45页，2024年2月25日，星期天小结：解一元二次不等式的基本步骤：“三步曲”（1）转化为不等式的“标准”形式;（2）算△,解相应一元二次方程的根；

（3）根据二次函数的图象以及不等号的方向，写出不等式的解集.第23页,共45页，2024年2月25日，星期天思考：

想想，我们怎样用一个程序图的形式求解一般一元二次不等式的过程表示出来.是什么？

程序图是制作电脑程序时用的，目的是为了简便运算.第24页,共45页，2024年2月25日，星期天开始将原不等式化为(a>0)是方程没有实根否求方程的两个根x1,x2第25页,共45页，2024年2月25日，星期天原不等式解集为Rx1=x2?否是原不等式解集为

原不等式解集为结束第26页,共45页，2024年2月25日，星期天例：1解不等式解：因为△>0,方程的解是x1=-1/2，x2=2所以，不等式的解集是{x|x1<-1/2，或x2>2}

第27页,共45页，2024年2月25日，星期天例：2解不等式解：整理，得因为△<0，方程无实数解，所以不等式的解集是φ.从而，原不等式的解集是φ.第28页,共45页，2024年2月25日，星期天例：3解不等式解：因为△=0,方程的解是x1=x2=1/2所以，不等式的解集是{x|x≠1/2}.第29页,共45页，2024年2月25日，星期天例：4

一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（辆）与创造的价值y（元）之间有如下的关系：

若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？第30页,共45页，2024年2月25日，星期天解：设在一个星期内大约应该生产x辆摩托车，根据题意，我们得到移项整理，得因为方程有两个实数根x1=50,x2=60由二次函数的图象，得不等式的解为：50<x<60.第31页,共45页，2024年2月25日，星期天

又因为x只能取正整数，所以，当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在51—59辆之间时，这家工厂能够获得6000元以上的收益.第32页,共45页，2024年2月25日，星期天课堂小结1、解一元二次不等式的步骤：(1)将二次项系数化为正号；（2）计算判别式，分析不等式的解的情况：ⅰ.△>0时，求根x1<x2，A>0,x>x1或x<x2A<0,x1<x<x2第33页,共45页，2024年2月25日，星期天ⅱ.△=0时，求根x1＝x2，A>0,x≠x1A<0,φA=0,x=x1ⅲ.△<0时，方程无解，A>0,RA≤0,φ（3）写出解集.第34页,共45页，2024年2月25日，星期天2、一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系.(1)二次方程的根是函数的零点，即二次函数图象与x轴交点的横坐标;(2)结合方程的解与函数图象可以得出二次不等式的解.3、数学思想的体现数形结合的思想及化归思想.第35页,共45页，2024年2月25日，星期天(2006上海）x是什么实数时，函数（1）等于0？（2）是正数？（3）是负数？分析：将问题等价转化为y=0，y>0，及y<0时，求x取值.解：(1)因为的解集为{x|x=2-√3或x=2+√3}，即，x=2-√3或x=2+√3时，y=0.高考链接第36页,共45页，2024年2月25日，星期天(2)因为的解集为所以，的解集为即，x<2-√3或x>2+√3时，y>0.(3)由(2)得即，2-√3<x<2+√3时，y<0.第37页,共45页，2024年2月25日，星期天课堂练习1、解下列不等式：解：由题对应的△=49-24=25>0其解为x1=1/3，x2=2

的解集为{x|1/3<x<2}.第38页,共45页，2024年2月25日，星期天解：将原不等式变形为：对应的△=1+48>0其解x1=-2/3，x2=1/2；{x|x≤-2/3或x≥1/2}.的解集为第39页,共45页，2024年2月25日，星期天解：由题对应的△=16-16=0；则方程的解为x1=x2=1/2

∴原不等式的解集为φ.解：由题对应的△=9-20<0故无实数解∴原不等式的解集为R.第40页,共45页，2024年2月25日，星期天2、x是什么实数时，有意义？分析：要使式子有意义，则需故问题相当于解这个不等式.解：由题对应△=1+48>0，其解集{x|x=-4或x=3}，故的解集为{x|x≤-4或x≥3}.第41页,共45页，2024