串讲02 数列（考点串讲）（解析版）

串讲02数列知识网络二、常考题型三、知识梳理1.数列的概念（1）定义：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。（2）数列是按一定顺序排列的一列数，记作简记.（3）数列的第项与项数的关系若用一个公式给出，则这个公式叫做这个数列的通项公式。（4）数列的递推公式：表示任一项与它的前一项（或前几项）间的关系的公式。2.等差数列（1）①定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差。②等差数列用数学符号可以表示为：（2）通项公式：若等差数列的首项是，公差是，则．（3）等差中项：若三个数，，组成等差数列，则称为与的等差中项，即（4）等差数列的基本性质。（5）等差数列的前项和的公式公式：=1\*GB3①；=2\*GB3②．公式特征：，时是一个关于n且没有常数项的二次函数形式等差数列的前项和的性质：=1\*GB3①若项数为，则，且，．=2\*GB3②若项数为，则，且，（其中，）．=3\*GB3③，，成等差数列．（6）等差数列的判定方法：=1\*GB3①定义法：是等差数列；=2\*GB3②中项法：是等差数列；=3\*GB3③通项公式法：是等差数列；=4\*GB3④前项和公式法：是等差数列.3.等比数列（1）①定义：如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比。②等比数列用数学符号可以表示为：（2）通项公式：若等比数列的首项是，公比是，则．（3）等比中项：若三个数，，组成等比数列，则称为与的等比中项，即（4）等比数列的基本性质：（5）等比数列的前项和的公式公式：公式特征：等比数列的前项和的性质：=1\*GB3①若项数为，则．=2\*GB3②．=3\*GB3③，，成等比数列（）．（6）等比数列的判定方法：=1\*GB3①定义法：为等比数列；=2\*GB3②中项法：为等比数列；=3\*GB3③通项公式法：为等比数列；=4\*GB3④前项和公式法：为等比数列.四、常考题型探究考点一数列的概念例1.下列说法中，正确的是（

）A．数列可表示为集合B．数列与数列是相同的数列C．数列的第项为D．数列可记为【答案】C【分析】利用数列定义即可逐个选项判断即可得解.【详解】对于A，由数列的定义易知A错误；对于B，两个数列排列次序不同，是不同的数列，故B错误；对于C，数列的第项为，故C正确；对于D，因为，所以，这与数列的定义不相符，故D错误.故选：C【变式探究】已知数列，，3，，，…，则是这个数列的（

）A．第8项 B．第9项 C．第10项 D．第11项【答案】B【分析】根据数列的规律，判断数据是数列中的第几项.【详解】数列可以表示为，，，，，…，则数列的一个通项公式为，，是这个数列的第9项.故选：B考点二数列的通项公式例2.已知数列的通项公式，则123是该数列的（

）A．第9项 B．第10项 C．第11项 D．第12项【答案】C【分析】根据通项公式可直接求出.【详解】由，解得（舍去），故选：C【变式探究】设数列的前n项和，则的值为（

）A．15 B．16 C．19 D．20【答案】C【分析】根据的关系即可求解.【详解】由可得，故选：C考点三数列的递推公式例3.在数列中，若，，则（

）A． B． C．1 D．4【答案】A【分析】根据给定条件，探求出数列的周期，再利用周期性计算即得.【详解】在数列中，由，，得，，，因此数列是周期性数列，周期为3，所以.故选：A例4.在数列中，，则．【答案】【分析】根据数列的递推公式计算数列的前几项，从而找到数列的周期即可得出答案.【详解】由题意可知，所以数列的周期为3，所以.故答案为：【变式探究】已知数列满足,(为正整数),计算数列的前若干项后,根据变化规律猜测．【答案】【分析】通过计算发现周期即可获解【详解】所以是周期为3的数列因为所以故答案为：考点四数列的前n项和例5.已知数列中，，则数列的前5项和为．【答案】【分析】根据的通项公式求得前项和.【详解】依题意，，所以，，所以数列的前5项和为.故答案为：【变式探究】已知为数列的前项和，若，且，则．【答案】【解析】根据递推公式可得，利用，分别计算，，，，可知是周期为的数列，即可求解.【详解】由，得，因为，所以，，，，所以数列是周期为的数列，因为，所以，所以，故答案为：考点五等差数列的概念例6.已知等差数列是递增数列，且满足，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由等差数列的性质，，又，是递增数列，可解得，得解.【详解】由等差数列的性质，，又，解得或，又是递增数列，所以，，.故选：C例7.各项均为正数的等差数列的满足，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】设等差数列公差为d，∴≠0)∴，故选：C【变式探究】已知等差数列中，，则（

）A．15 B．30 C．45 D．60【答案】D【分析】根据等差数列的性质，可知，从而可求出结果.【详解】解：根据题意，可知等差数列中，，则，所以.故选：D考点六等差数列的通项公式例8.在等差数列中，若，，则公差等于（

）A．2 B．3 C． D．【答案】C【分析】根据题意，由等差数列的公差计算公式，代入计算，即可得到结果.【详解】由题意可得.故选:C例9.在数列中，，.若为等差数列，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由数列是等差数列知，先求，，从而求等差数列通项公式，再求即可．【详解】解：，，且数列是等差数列，，，，.故选：A【变式探究】在数列中，（），，则（

）A．1 B．3 C．6 D．9．【答案】B【分析】由题知是公差的等差数列，进而根据等差数列通项公式求解即可.【详解】解：因为（）．所以是公差的等差数列，又，则．故选：B考点七等差数列的前n项和例10.已知等差数列的前n项和为，，，则数列的前20项和是．【答案】202【分析】根据题意求出数列的首项和公差，将的前9项和到分开求和即可求解.【详解】由得，又，∴，即∴，公差．因为，解得，∴，∴∴的前n项和为．故答案为:202例11.已知等差数列的前n项和为，满足，则．【答案】20【分析】由等差数列通项及求和公式得，，即可由整体法求值.【详解】，∴，则.故答案为：20【变式探究】等差数列的公差为d，数列的前n项和为.(1)已知，，，求m及；(2)已知，，，求d.【答案】(1)，；(2)【分析】（1）根据等差数列求和公式和通项公式相关概念直接计算；（2）根据等差数列求和公式和通项公式相关概念直接计算；【详解】（1）因为，整理得，解得或（舍），所以.（2）因为，解得，又，解得.考点八等差数列的性质例12.已知数列满足，其前项和为，那么取何值时，取得最大值？并求出的最大值.【答案】n=12或n=13时，有最大值156.【解析】先求出的表达式，再利用二次函数的性质，即可求解.【详解】解：对称轴或，取得最大值.最大值.例13.已知等差数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）请确定3998是否是数列中的项？【答案】（1）（2）第1000项【分析】（1）由题意有，解方程组即得数列的通项公式；（2）假设3998是数列中的项，有，得，即可判断得解.【详解】解：（1）设数列的公差为，由题意有，解得，则数列的通项公式为.（2）假设3998是数列中的项，有，得，故3998是数列中的第1000项.【变式探究】数列{an}是首项为23，公差为整数的等差数列，且第6项为正，第7项为负．(1)求数列的公差；(2)求前n项和Sn的最大值．【答案】（1）；（2）78【分析】（1）根据可得的范围，再根据为整数得到的值.（2）根据项的符号特征可得最大．【详解】(1)由已知，得，.解得.又，∴.(2)∵，∴数列是递减数列．又∵，，∴当时，取得最大值，为.考点九等比数列的概念例14.等比数列中，已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设等比数列的公比为，计算出的值，由此可得出的值.【详解】设等比数列的公比为，则，即，可得，因此，.故选：B例15.数列是各项均为正数的等比数列，是与的等差中项，则的公比等于（

）A．2 B． C．3 D．【答案】A【分析】先根据等差中项的概念得到关于的方程，结合可求解出的值.【详解】因为是与的等差中项，所以，所以，又因为，所以，所以或，又因为，所以，所以，故选：A【变式探究】在等比数列{an}中，a5a7＝2，a2+a10＝3，则（

）A．2 B． C．2或 D．﹣2或【答案】C【分析】利用等比数列下标和的性质把a5a7＝2转化为，再与联立求出即可得解.【详解】因是等比数列，则，又，联立解得或，所以当时，；当时，.故选：C考点十等比数列的通项公式例16.已知等比数列中，，则其前项和为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据已知条件可求得公比q＝1，从而求得．【详解】∵，∴，∴解得，∴，则前n项和．故选：D例17.已知等比数列的公比为2，其前n项和为，则=（

）A．2 B．4 C． D．【答案】C【解析】利用等比数列的通项公式和前项和公式代入化简可得答案【详解】解：因为等比数列的公比为2，所以，故选：C【变式探究】设是公比不为1的等比数列，且，则的通项公式.【答案】.【分析】根据已知条件列方程求出公比，从而可求出通项公式.【详解】设等比数列的公式为（），因为，所以，即，解得或（舍去），所以，故答案为：考点十一等比数列的前n项和例18.设各项为正的等比数列的首项为1，且，，成等差数列，则.【答案】【分析】由题意得到，结合已知条件求出，进而可求得通项公式.【详解】设的公比为q，则，即，（舍去）或所以.故答案为：.例19.已知数列中，，（为正整数），则．【答案】【分析】构造等比数列，利用等比数列的通项公式可求出结果.【详解】由得，又，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，所以.故答案为：.【变式探究】设等比数列的公比为，前n项和为，则.【答案】【分析】由等比数列的求和公式以及通项求解即可.【详解】故答案为：考点十二等比数列的性质例20.设是等差数列，且．(1)求的通项公式；(2)求【答案】(1)(2)【分析】（1）根据等差数列，求出，得到的通项公式;（2）根据等比数列求和公式求解.【详解】（1）设等差数列的公差为,因为,所以,解得,则.（2）.例21.等比数列的各项均为正数，且,.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列前项和.【答案】（1）；（2）【分析】（1）设等比数列的公比为，则，根据题意得出关于和的方程组，解出这两个量的值，然后利用等比数列的通项公式可求得数列的通项公式；（2）求出数列的通项公式，利用定义证明出数列是等差数列，然后利用等差数列的求和公式可计算出数列前项和