中考数学精创-勾股定理 期末压轴题训练 人教版数学八年级下册

第17章勾股定理期末压轴题训练

1.如图，在平面直角坐标系中，乙480=90。，NA=30。，B点坐标为(0,4),点C为

A8的中点，动点。从点A出发，以每秒2个单位的速度沿线段A。向终点。运动，运

动时间为f秒(>0),连接CD,作点A关于直线CD的对称点P

(1)若点尸恰好落在AO上，求/的值；

(2)若CP1.OA,求f的值：

(3)当厚2时，NAP8的度数是否会发生变化？若保持不变，请求出NAPB的度数：若发

生变化，请说明理由

2.【证明体验】

图1图2图3

(1)如图1,在中，A£>为BC边上的中线，延长至E,使OE=A。，连接BE.求

证：/\ACD^/\EBD.

【迁移应用】

(2)如图2,在一ABC中，AC=5,BC=13,。为A8的中点，DCA.AC.求ABC面

积.

【拓展延伸】

(3)如图3,在A5C中，ZABC=90°,。是BC延长线上一点，BC=CD,尸是AB上

一点，连接F。交AC于点E,若AF=EF=2,BD=6,求E£)的长.

3.如图，平面直角坐标系中，点A、B分别在x、y轴上，点B的坐标为(0,2),ZABO

=60°.

E

(2)分别以48、A。为一边作等边△ABE、/XAOD,求证：BD=EO；

⑶在(2)的条件下，连接交48于F,请你证明点尸为。E的中点，并求出此时

4尸的值.

4.在RtABC中，ZACB=90°,BC=3,AC=4,点。是线段8c延长线上的动点,

点E是线段A3上的动点，连接DE.

⑴如图1,若AACB冬_DEB,求线段DC的长；

(2)已知NBED=90。,如图2.

①设线段。C=a,求线段OE的长(用含”的式子表示)；

②设Z84C与NB0E的平分线相交于点P,求NAPD的度数.

5.如图1,在平面直角坐标系xOy中，A(a,0),8S,c),且(«-8)2+|&-3|+

=0,连接A8,AB2—(a-b)2+c2

试卷第2页，共9页

(1)求点4和点B的坐标和线段AB的长度；

(2)如图2,点尸是射线A0上一动点，连接BP,将AABP沿着直线8P翻折至△Q8P,

当PQ〃A2时，求点尸和点。的坐标；

(3)在(2)的情况下，如图3,点尸是线段4P延长线上一动点，连接8尸，将AABF沿

着直线B尸翻折至△MB凡连接MQ.当例尸〃BP时，试探究/QW凡NQBF与NMQB

之间的数量关系，并说明理由.

6.已知：在RAA5C中，ZC=90°,Zfi=30°,BC=6,左右作平行移动的等边三角

形。EF的两个顶点E、F始终在边2c上，DE、。下分别与A5相交于点G、H.

(1)如图1,当点尸与点C重合时，点。恰好在斜边AB上，求AOEF的周长；

(2)如图2,在AQEF作平行移动的过程中，图中是否存在与线段CF始终相等的线段？

如果存在，请指出这条线段，并加以证明；如果不存在，请说明理由；

(3)假设C点与F点的距离为x,aOEF与△ABC的重叠部分的面积为y,求y与x的函

数关系式，并写出定义域.

7.点P到NAOB的距离定义如下：点Q为/AOB的两边上的动点，当PQ最小时，我

们称此时尸。的长度为点P到/AOB的距离，记为d(P,NAOB).特别的，当点P在NA08

的边上时，d(P,/AOB)=0.在平面直角坐标系xOy中，四边形OA8C是以点0(0,0),

4(4,0),8(4,4),C(0,4)为顶点的正方形，作射线08,则/AOB=45。.

(1)如图1,点0),P2(0,&),尸3(1,-2)的位置如图所示，请用度量的方式,

判断点B,P2,Pj中到NAOB的距离等于1的点是二

(2)已知点尸在NAO8的内部，且d(P,ZAOB)=\,

①若点P的横纵坐标都是整数，请写出一个满足条件的点P的坐标」

②请在图1中画出所有满足条件的点P；

(3)如图2,已知点E(0,-8),F(-2,2),G(7,2),记射线£尸与射线EG组成的图形

为图形V.若点尸在图形V上，满足d(P,/AOB)=2&的点尸有一个.

8.在4ABC中，ZACB=9Q°,AC=BC.点。是直线AB上一点(点。与点A、点8不

重合)，以C。为直角边作等腰直角三角形OCE,使/OCE=90。，连接AE.

(2)如图②，点。在BA的延长线上，点E与点A在C。的两侧，直接写出线段A8、A。、

AE三者之间的数量关系.

(3)如图③，点。在4B的延长线上，点E与点A在8同侧.若AE=1,AB=4,则C£)

的长是多少？

9.如图1,在,ABC中，AC=BC=4,ZACB=90°,点Q,E分别是AC,BC的中点.

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图1图2图3

(1)直接写出CQE的形状是；

(2)如图2,若点M为直线OE上一动点，/MCN=90。,CM=CN,连接ND,请判断

N。与ME的数量关系与位置关系，并说明理由；

⑶在(2)的条件下，连接AN,请求出AN的最小值.

10.如图1,在AABC中，AB=AC,点。为直线BC上一动点(不与点B,C重合)，

在AO的左侧作△&£>£：,使得AE=A£),ZDAE=ZBAC,连接BE.

图1图2

(1)当点。在线段BC上时，求证：Z^ABE丝△ACD

(2)如图2,若BE〃AC,BC=2.

①求△ABC的面积.

②在点。在运动过程中，若△A8E的最小角为25。，求/E4C的度数.

11.(1)如图1,△ABC为等边三角形，点。为BC边上的一动点(点。不与8、C重

合)，以AD为边作等边△4DE,连接CE.易求NDCE=_。；

(2)如图2,在△ABC中，ZBAC=90°,AC=A8,点。为BC上的一动点(点。不

与B、C重合)，以4。为边作等腰RSADE,/D4E=90。(顶点A、D、E按逆时针方

向排列)，连接CE,类比题(1),请你猜想：线段8。、CD、OE之间的关系，并说明

理由；

(3)如图3,在(2)的条件下，若。点在BC的延长线上运动，以AD为边作等腰RtAADE,

ND4E=90。(顶点A、D、E按逆时针方向排列)，连接CE.CE=10,8C=6,求AE

的长.

E

图I图2图3

12.材料阅读：如图1所示，已知直角梯形8CDE中，A是CD上一点，CB=a,AC=b,

AB=c,且ABL/AE,AB=AE,现需探究直角三角形ABC的三边。、b、c之间的数

量关系：

(1)【初步探究】猜想三角形A8C是否与三角形4DE全等，若是，请说明理由；

(2)【问题解决】请用两种含有“，h,，的代数式的方法表示直角梯形3C0E的面积：

皿=.SmBCDE=.由此，你能得到的“、b、c的数量关系是:.

(3)【拓展应用】如图2,等腰三角形ABC中，。是底边BC上的中点，8c=12,钻=10,

E、尸分别是线段AO和AC上的两个动点，求：CE+EF的最小值.

13.如图，在AABC中，ZACB=90°,。为A8中点，点E,尸分别在直线BC,AC上

(点E不与点3,C重合)，DFA.DE,连接EF.

(2)如图2,当点F不与点A重合时，求证：AF^+Be^EF2；

(3)若AC=8,BC=6,EC=2,求线段CF的长.

14.在平面直角坐标系xOy中，点8的坐标为(0,4g),以08为边在y轴的右侧作

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正三角形OAB.AC_Ly轴，垂足为C.

(1)如图1,求点A的坐标.

(2)点。在线段4c上，点E是直线AB上一动点，连接OE、以。E为边作正三角形/)£尸

(点。，E,F按逆时针排列)

①如图2,当点E与点A重合时，连接。。，BF.若BF=2",求点。的坐标.

②若C£>=2,点尸是直线。F与直线0A的交点，当0P=6时，直接写出点E的坐标.

15.如图，RtAABC中，AB=AC,NBAC=90。，AAOE中，AD=AE,/ZME=90。.连

接肛CE.

图1图2

(1)如图1,点B在边EO的延长线上，求NAEC的度数;

(2)如图2,ZAEC=90°,射线E。交8c于点F.

①求证：BF=CF；

DE

②若3O=fc4。求=的值(用含k的式子表示).

DF

16.［问题发现］小明遇到这样-一个问题：

如图1,△48(7是等边三角形，点。为8(：的中点，且满足/4。£=6()。，DE交等边三

角形外角平分线CE所在直线于点E.

图1图2备用图

(1)小明发现，过点。作。尸〃4C,交AC于点F,通过构造全等三角形，经过推理论证,

能够使问题得到解决，请直接写出AZ)与。E的数量关系：_

(2)［类比探究］如图2,当点。是线段BC上(除B,C外)任意一点时(其它条件不变)，

试猜想AO与OE之间的数量关系，并证明你的结论.

(3)［拓展应用］当点。在线段BC的延长线上，且满足CD=BC(其它条件不变)时，请直

接写出△48。与^AOE的面积之比，

17.如图，_A8C与，CDE是等边三角形，连接A£>,取的中点P,连接BP并延长

至点M,使PM=BP,连接AM、EM、AE,将CDE绕点C顺时针旋转.

(1)如图1,当点。在8c上，点E在AC上时，则△AEM的形状为；

(2)将CDE绕点C顺时针旋转至图2的位置，请判断△AEM的形状，并说明理由；

(3)若CD=g8C,将;CUE由图1位置绕点顺时针旋转研0"夕<360。)，当A、C、。

三点在同一直线上时，请直接写出M器E的值.

18.定义：我们把两条对角线互相垂直的四边形称为“垂美四边形”.

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E

(1)特例感知：如图1,四边形ABCD是“垂美四边形”，如果04=。。=(。8,08=2,

Z0BC=60°,贝IJAD-BC',AB2+CD2=.

(2)猜想论证：如图1,如果四边形ABCO是“垂美四边形”，猜想它的两组对边AB,CD

与BC,A。之间的数量关系并给予证明.

(3)拓展应用：如图2,分别以R3AC3的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG

和正方形A8ZJE,连接CE,BG,GE,已知AC=4,ZBAC=60°,求GE长.

参考答案:

3

1.⑴仁

(2)f的值为1或3

(3)/APB=90°,理由见解析

【分析】(1)利用利用直角三角形30°的性质求出8,再勾股定理求出AD即可；

(2)分两种情形：分别画出图形，求出AO即可解决问题；

(3)结论：/APB=90°是定值.利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理证明即可.

【解析】(1)解：如图1中，

图1

•:B(0,4),

・・・。3=4,

VZABO=90Q,ZA=30°,

：.OA=2OB=S1

：・AB7o#—OB?=幅"=4日

：CA=CP,CD1PA,

：.AD=PD,

'：AC=CB=2y/3,

：.CD=^AC=43,

-'-AD=VAC2-CD2=QQ厨-电¥=3,

2

(2)解：如图2-1中，当CPLOA设C尸交OA于点F.

答案第10页，共36页

图2」

VZA=30°,ZCM=90°,

AZACF=90°-30°=60°,

・・・NOCA=NOCP=30°,

・・・NA=NOCA=30。,

：・CD=DA=2DF,

*.*AF=3,

：.AD=CD=29DF=1,

.2

..^=—=1;

2

如图2-2中，当CPLOA,设PC的延长线交40于点立同法可证A/=。b=3,

图2-2

：.AD=AF+DF=6,

综上所述，满足条件的f的值为1或3.

(3)结论：/AP8=90°是定值.

理由：如图3中，

答案第11页，共36页

图3

■:CA=CB=CP,

：.2CAP=^CPA,NCPB=NCBP，

,：ZCAP+ZAPB+ZABP=\SO°,

，2/CAP+2NC8P=180°,

：.ZCAP+ZCBP=90°,

AZAPB=90Q.

【点评】本题考查了翻折变换，等腰三角形的性质，直角三角形30度角的性质，勾股定理

等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题.

2.(1)见解析

⑵S7ABe=30

9

(3)的长为5

【分析】(1)根据S4S证明三角形全等；

(2)如图2中，延长C力到T,使得力7=8,连接3T.由(I)可知AAZX?=,推出

AC=BT=5,ZA8=NT=9O。，利用勾股定理求出CT,即可解决问题；

(3)如图3中，延长AC到R，使得CR=CA,连接OR.证明£>£=他，设。E=/)R==x,

则8尸=x-2,DF=x+2,在RfAOBF中，根据8产+=。尸，构建方程即可解决问题.

【解析】(1)证明：如图1中，

图1

在AACQ和A£BD中,

DA=DE

-4ADC=ZEDB,

DC=DB

答案第12页，共36页

:./^\CD^AEBD(SAS)；

(2)解：如图2中，延长CD到乙使得。7=8,连接87.

图2

由(1)可知AADCnMZ",

..AC=BT=5fZACD=ZT=90°,

:.CT=\lBC2-BT2=V132-52=12，

..CD=DT=6,

'.SAACB=S^DC^SACDB=^ACDC+^BTCD=^X5X6^^X5X6=30；

(3)解：如图3中，延长AC到H,使得CR=C4,连接OR.

由(1)可知，AACB^ARCD,

:.AB=DR,Z4=4,

FE=FAf

：.ZA=ZAEF,

ZAEF=ZDER,

:.ZDER=ZR,

DE=DR=AB9

设DE=DR=AB=x,贝!]3尸=工一2,DF=x+2,

在心OB/中，BF2+BD2=DF2，

(X-2)2+62=(X+2)2,

9

2

:.DE=-.

答案第13页，共36页

【点评】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题

的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.

3.(1)4

(2)见解析

(3)证明见解析，点F为OE的中点，此时AF的值为1

【分析】(1)根据含30°直角三角形的性质即可得到结论；

(2)根据等边三角形的性质得到N84E=/OA£>=60°,AB=AE,OA=AD,求得N04E

=NDAB,根据全等三角形的性质即可得到结论；

(3)过E作于H,根据等边三角形的性质得到BH=AH=gA8=2,根据勾股定理

得至I」EH=^BE2-BH2==2班，求得OA=y/AB2-OB2=26,根据全等三角形的

性质即可得到结论.

【解析】(1)解：••,点8的坐标为(0,2),

；.OB=2；

VZABO=60Q,ZBOA=90Q,

/BAO=30°,

，AB=2OB=4；

(2)证明：，：MABE、△A。。是等边三角形，

：.ZBAE=ZOAD=60°,AB=AE,OA=AD,

：.ZOAB+ZBAE=ZOAB+ZOAD,

即/OAE=ND4B,

在△BAD与△EA。中，

AB=AE

■NOAE=NDAB,

AD=AO

：./\BAD^/\EAO(SAS),

:.BD=EO；

(3)解：过E作于”，

ZSABE是等边三角形，

：.BH=AH=-AB=2,

2

,；BE=AB=4,

二EH=y/BE2-BH2=^/47^27=2上,

答案第14页，共36页

在Rt^AOB中，OAVAB—OB。=2百,

：.EH=AD,

VZOAD=60°,8Ao=30°,

：.ZDAF^ZEHF^90Q,

,：ZEFH=NAFD,

：./\EHF^/\DAF(AAS),

：.EF=DF,AF=HF=-AH^\,

2

...点尸为力E的中点，此时AE的值为1.

图3

【点评】本题考查了三角形的综合题，全等三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，

勾股定理，等边三角形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.

4.（1）2

⑵①与三②90。

【分析】（1）利用勾股定理求出A8=5,再运用全等三角形性质即可求得答案：

（2）①如图2,连接4。，运用三角形面积公式可得：SAABD^|BD-AC^DE-AB,即可

求得答案；

②根据三角形内角和定理可得出：ZBAC^ZBDE=90°-ZB,再运用角平分线定义可得:

（90°-ZB）=45。-义/8,再运用三角形内角和定理即可求得答案.

【解析】（1）解：VZACB=90°,BC=3,AC=4,

AB=7AC2+BC2=A/32+42=5-

：.ACB^_DEB,

BD=AB=5,

：.DC=BD—BC=2；

答案第15页，共36页

(2)解：①连接AD,

VABED=ZACB=90°,

ADEJ.AB,AC1BD,

sA.HIl1J=)-BDAC=,-DEAB,

VBD=BC+DC=3+a,AC=4,AB=5,

.八二4a+12

・・DE=-------------；

DCB

图3

ABED=ZACB=90°,

：.ZCAB+ZB=ZBDE+ZB=90°,

ABAC=NBDE=90°-ZB,

'：AP,OP分别是NB4C,的平分线,

NBAP=ZBDP=45°-—,

2

NBAP+NBDP=90°-ZB,

VADAP=ABAD-ABAP,ZADP=ZBDA-ZBDP,

：.NDAP+ZADP=(/BAD+ZBZM)-(ZBAP+ZBZ)P)=(180°-ZB)-(90°-ZB)=90°,

Z.ZAPD=180°-(ZDAP+ZADP)=90°.

【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形面积，勾股定理，全等三角形性质，角平分

线定义等，熟练掌握三角形内角和定理和面积法是解题关键.

答案第16页，共36页

5.(1)A(8,0),B(3,3),A8=南

⑵P(8-A，0)；Q(3-衣，3)

(3)NMQB=2NQBF-NQMF,见解析

【分析】(1)由(a-8)2+63|+g-c=0,可得a=8,b=3,c=3,故A(8,0),B(3,

3),又A¥=(a-b)2+c2,即得A82=(8-3)2+32=34,HPAB=734;

(2)由48〃P。，得NBPQ=NABP,根据△ABP沿着直线8P翻折至△QBP,即得NB以

=NQBP,BQ//AP,而AB=8Q=后，8(3,3),故。(3一9，3),又AB〃P。，BQ

//AP,即得P(8-734,0)；

(3)由BQ〃AP,得NAFB=NQBF,又MF〃BP,得NMFB=NPBF.由折叠可得：ZMFB

=NAFB,即得NQBF=/PBF,ZQBP=2ZQBF,过点。作直线CC〃MF,可得C£>〃MF

//BP,可得NCQB=NQBP,NCQM=NQMF,即可得NMQB=2NQBF-NQMF.

【解析】(1)解：：(〃-8)2+|6-3|+61=0,

又•；(a-8)2>0,\b-3|>0,万7NO,

-8=0,ft-3=0,c-3=0,

.,.a=8,b=3,c=3,

・・・A(8,0),B(3,3),

：.AB2=(8-3)2+32=34,BPAB=y/34;

(2)解:如图所不：

：,/BPQ=/ABP,

・•・将△ABP沿着直线BP翻折至△Q8P,

工ZBPQ=ZBM,ZABP=ZQBP9

：.ZBPA=ZQBPf

:,BQ〃AP,

又AB=BQ=5,B(3,3),

答案第17页，共36页

：.Q(3-衣，3),

y.AB//PQ,BQ//AP,

；.BQ可看作将AP平移所得，

由平移的性质得BQ=AP=V34,

又A(8,0),

：.P(8-取，0)；

(3)解：数量关系：/MQB=2NQBF-NQMF.理由如下:

'：BQ//AP,

：./AFB=NQBF；

'：MF//BP,

ZMFB=ZPBF,

由折叠可得：/MFB=NAFB,

：.ZQBF=ZPBF,

：.NQBP=2NQBF,

过点Q作直线CD〃MF,如图所示：

：.CD//MF//BP,

：.ZCQB=ZQBP,ZCQM=ZQMF,

又/MQB=NCQB-ZCQM,

ZMQB=ZQBP-NQMF,

又NQBP=2NQBF,

：.NMQB=2NQBF-ZQMF.

【点评】本题考查三角形综合知识，涉及非负式的和为0的条件、图像的折叠、平行线的性

质等知识，解题的关键是掌握折叠的性质：折叠前后图形形状、大小不变.

6.(1)9；

⑵存在，CF=DG,证明见解析；

答案第18页，共36页

⑶二苧一骨(0J43)・

【分析】(1)利用勾股定理求出4c=26，再证明。。=且4。=3,即可求出AOEF的周

2

长；

(2)由(1)可知：,进一步得至ljb+8石=8C—石尸=6—3=3,再证明EG=BE,

利用EG+DG=CF+BE=3,即可证明CF=DG；

(3)求出％吠=券，S%0cH岑x'利用产S△由-S^HC，即可求出

y=唯一与2(03分

48

【解析】(1)解：・・•在RAA5C中，ZC=90°,NB=30。，BC=6,

:・AC=26,ZA=60°,

;△。石尸是等边三角形，

・・・ZDCE=60°,

NACO=30。，

Q

/.ZADC=90f

・・.CD=—AC=3,

2

・・・△；)£：厂的周长为9；

(2)解：结论：CF=DG.

理由：・.,8C=6,由(1)可知：EF=DF=DE=3,

：.CF+BE=BC-EF=6-3=3,

・・・△£)石户是等边三角形，

・・・ZZ)EF=60°,

■:/DEF=NB+/EGB,

：.NB:/EGB二/DGE=30。,

：.EG=BE,

•：EG+DG=CF+BE=3,

：.CF=DG；

22

(3)解：:SDEF=x3=,S[X；H=—GH»DH=—x—x»-^-x=^-x»

'DEF4440GH22228

,_c$_96V3nn_9A/362、

••y=S-S^=-------x2，y=--------x2(0A<x<3).

AD£FDHG4o4o

答案第19页，共36页

【点评】本题考查勾股定理，等边三角形的性质，30。所对的直角边等于斜边的一半，动点

问题，解题的关键是熟练掌握勾股定理，等边三角形性质.

7.(1)B,P2

(2)①(3,1)；②见解析

(3)6

【分析】(1)利用测量法结合点尸到NAOB的距离判断即可.

(2)①根据d(P,ZAOB)=1,写出满足条件的点尸坐标即可.

②根据ZAOB)=1,利用勾股定理求解，画出图形即可.

(3)利用图象法，画出图形判断即可.

通过测量法，可知点P2到直线08的距离为1,OPi=l,OP3>1,

.,.点P/,P2,内中到NAOB的距离等于1的点是P/,P2,

故答案为：Pi,P2；

(2)①一个满足条件的点P的坐标(3,1),(4,1),(5,1)等(答案不唯一).

故答案为：(3,1)(答案不唯一).

②如图2中，所有满足条件的点P在/M/N的边上.

答案第20页，共36页

在x轴上设一点D（X.0）,使点D到0B的距离为1,

•••四边形A0C8为正方形，

ZBOA=45°,

.••△。0尸为等腰直角三角形，且。尸=1,

/.0D=^2,

过点。作。历〃08,作直线y=l,

两直线相交于点J,

所有满足条件的点P在NM/N的边上.

（3）如图所示：连接AC,

•••四边形40CB为正方形，边长为4,

:.AC=4g，且AC-L0B,

.".CGI=AGI=2Y/2,

过点C与点A分别作HC〃03〃4M,与图形丫产生2个满足条件的交点（图中标出1个,

另一个由直线"C与EG直线相交产生）；

分别作直线产20与产-2正，与图形V产生2个满足条件的交点，

以点O为圆心，2夜为半径长，画弧与图形丫产生2个满足条件的交点，

答案第21页，共36页

故满足条件的点P有6个，

故答案为：6.

【点评】本题考查坐标与图形的性质，点P到/A08的距离的定义，两点之间的距离的定

义等知识，解题的关键是理解新的定义，学会利用图象法解决问题，属于中考创新题型.

8.（1）证明见解析

（2）AE=AB+AD

（3）CD=713

【分析】（1）先根据角的和差可得/BCD=ZACE,再根据等腰三角形的定义可得。C=EC,

然后根据三角形全等的判定证出」BCDwACE,最后根据全等三角形的性质即可得证；

（2）参照（1）的方法证出,BCDm.ACE,再根据全等三角形的性质可得比>=A£,然后

根据线段和差、等量代换即可得出结论；

（3）参照（1）的方法证出,8CDW,ACE,再根据全等三角形的性质可得

BD=AE=1,ZDBC=ZEAC,从而可得NE4E>=90。，然后在RtZXAE。中，利用勾股定理可

得ED2=26,最后在RtVZX石中，利用勾股定理即可得.

【解析】（1）证明：VZACB=ZDCE=90°,

：.ZACB-ZACD=ADCE-ZACD,即/BCD=ZACE,

3CE等腰直角三角形，

DC=EC,

BC=AC

在△BCD和AAC石中，/BCD=NACE,

DC=EC

答案第22页，共36页

:.^BCD^ACE(SAS),

:・BD=AE.

(2)解：AE=AB+AD,证明如下：

,:ZACB=ZDCE=90°,

ZACB+ZACD=/DCE+ZACD,BPZBCD=ZACE,

.一。CE等腰直角三角形，

：.DC=EC9

BC=AC

在△BCD和“。石中，/BCD=/ACE,

DC=EC

/..BCD=-ACE(SAS),

:・BD=AE,

AB+AD=BD，

AE=AB+AD.

(3)解：VZACB=ZDCE=90°,

AZACB-ZBCE=ZDCE-ZBCE,BPZACE=ZBCD9

,DCE等腰直角三角形，

DC=EC,

BC=AC

在△88和AACf中，\/.BCD=ZACE9

DC=EC

...BCD^.ACE(SAS),

・•.BD=AE=1,ZDBC=AEAC,

ZACB=90°MC=BC,

:.ZABC=ZBAC=45°,

:.ZEAC=ZDBC=180°-45°=135°,

:.ZEAD=ZEAC-ZBAC=90°,

在RtAAEO中，AE=1,AO=A3+B9=4+1=5,

/.ED2=AE2+AD2=26,

在RtVDCE中，ED2=CD2+CE2=2CD2,BP2CD2=26,

解得C£>=布或CQ=-g<0(不符题意，舍去)，

故CD的长为疝.

【点评】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，正

确找出全等三角形是解题关键.

答案第23页，共36页

9.(1)等腰直角三角形

(2)ND=ME,ND1ME,理由见解析

⑶/

【分析】(1)由中点的定义得CQ=CE,则△C£>E是等腰直角三角形；

(2)利用SAS证明△OCN丝△ECM,得ZCEM=ZCDN,则ZNDM=ZCDE+ZDEC=

90°；

(3)连接8W,作2H_LOE于”，先证明△ACN丝ZXBCM(SAS),得AN=BM,求出

的最小值B”的长即可得出AN的最小值.

【解析】(1)解：：点。，E分别是AC,的中点，

：.CD^^AC,CE=^BC,

"：AC=BC,

：.CD=CE,

...△COE是等腰直角三角形.

故答案为：等腰直角三角形.

(2)解：ND=ME,ND1ME,理由如下：

NDCE=NMCN,

：.ZMCE=NNCD,

,:CD=CE,CM=CN,

：./XDCN^AECM(SAS),

：.ND=ME,NCEM=/CDN,

NNDM=NCDN+NCDE=NDEC+NCDE=9Q。,

J.DNLME.

(3)解：连接8M,过点B,作BHLDE于H,如图所示：

4DCE=乙MCN,

：.NACN=NBCM,

•:CN=CM,AC=BC,

:.l\ACN沿ABCM(SAS),

:.AN=BM,

答案第24页，共36页

二当BM最小时，AN最小，

BM的最小值为BH,

'：NBEH=Z.CED=NCDE=■x90。=45°,

2

又,:ZBHE=9Q°,

：.NEBH=90°-45°=45°,

/.ZBEH=ZEBH,

：.BH=EH,

：BE=；BC=2,

BH2+EH2=BE2=4.

即2B"2=4,

:•BH=五或BH=-五(舍去)，

；.AN的最小值为应.

【点评】本题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判

定与性质，垂线段最短等知识，证明△和△ACNg^BCM,是解题的关键.

10.(1)见解析

⑵①G,②/E4c的度数为85。或155。或35。或25。

【分析】(1)由/D4E=N8AC,得NEAB=NCA。，再利用SAS可证明△EAB之△D4C；

(2)①由(1)△ABEgZSAC。得，ZABE=ZACD,由BE/〃4C,得/4BE=NCA8,可知

△ABC是等边三角形，从而得出答案；

②分点。在线段BC上或点。在CB延长线上或点。在3c延长线上三种情形，分别画出图

形，根据△EAB^ADAC,得乙4E8=NAOC,从而解决问题.

【解析】(1)证明：当点£＞在线段BC上时，

•.*/DAE=NBAC,

：.NDAE-NBAD=ABAC-ABAD

即/8AE=/C4。，

在△ABE和△ACD中，

AB=AC

"NBAE=NCAD

AE=AD

.,.△ABE^AACD(SAS)；

(2)①若BE//AC,BC=2,设BC所在直线为CF,过点A作AMLBC于点M,如图，

答案第25页，共36页

A

则/AMB=NAMC=90。，

■:BEHAC,

:./EBF=ZACB,

由(1)知：^ABE^^ACD,

：.NABE=NACB,

;AB=AC,

：.Z.ABC=ZACB,

：.ZEBF=ZABE=ZABC=ZACB

；NEBF+NABE+ZABC=180°

：.ZEBF=ZABE=ZABC=ZACB=f>0°

...△ABC是等边三角形，

AB=BC=2,

在放△ABM中，由勾股定理，得AM=JW2_5M2=也_12=6

SMBC=^BC-AM=^X2X43=>/3

即小ABC的面积为6

②在点。在运动过程中，若△A8E的最小角为25。，

而NABE=60°,

/B4E=25°或/AEB=25°,

若NBA£=25。，

而/B4C=N4BC=/AC8=60。，贝U

ZEAC=ZBAE+ZBAC=25°+60°=85°,

当点。在C8延长线上时，如图

答案第26页，共36页

E

由题意知，NAEB=25°,

由Q)同理可得，AEAB丝△D4C,

ZAEB=ZADC=25°,

：.ZDAC=ISO0-ZADC-ZACB=180°-25°-60°=95°,

：.ZEAC=ZEAD+Z£)AC=60°+95°=155°

当点。在BC延长线上时，如图，当/BAE=25。时，ZEAC=ZBAC-ZBAE=60°-25°=35°

当NAEB=25。时，由（1）同理可得△EABgZ\D4C,

ZAEB=ZADC=25°,

：.ZDAC=ZACB-AADC=60°-25°=35°

ZEAC=ZEAD-ADAC=60°-35°=25°

综上所述：/EAC的度数为85。或155。或35。或25。.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性

质，熟悉基本几何模型是解题的关键.

11.（1）120°；（2）CD2+BD1=DE2,理由见解析；（3）屈

【分析】（1）利用等式的性质判断出/B4O=/C4E,进而得出△ABDgZ\4CE,即可得出

答案；

（2）同（1）的方法判断出△48。丝进而得出B£>=CE,N8CE=90。，即可得出结

答案第27页，共36页

论；

(3)同(2)的方法，即可得出结论.

【解析】(1);△Me和△AOE都是等边三角形，

：.AB=ACfAD=AE,NB=NACB=NBAC=NDAE=60。,

・・・ZBAD+ZCAD=ZCAE+ZCAD,

:・/BAD=/CAE,

：./\ABD^/\ACE(SAS),

AZB=ZACE=60°,

・・・ZDCE=ZACB+ZACE=120°,

故答案为：120；

(2)DE2=CD2+BD2；理由如下：

在放△ABC中，AB=ACf

：.ZB=ZACB=45°,

•：NBAC=NDAE=90。,

：.ZBAD=ZCAEf

'：AD=AEf

：./\ABD^/\ACE(SAS),

:・BD=CE,ZACE=ZB=45°,

：.ZBCE=ZACB+ZACE=90°,

根据勾股定理得，DE2=CD^CE2=CD2+BD2：

(3)VZBAC=ZDAE=90°,

・・・ZBAC+ZDAC=ZDAE+ZDACf

即N8AO=NCAE,

在^ACE中，

AB=AC

<ZBAD=ZCAE

AD=AE

：.AABD^AACE(SAS),

AZABC=ZACE=45°,BD=CE,

：.NABC+NACB=NACE+NACB=90。，

：.ZBCE=ZECD=90°

'：BC=6fCE=10,

・・・BD=CE=10,

：.CD=BD-BC=\0-6=4f

答案第28页，共36页

RsDCE中，DE=^CE2+CEr=>/102+42=2回

•••△ACE是等腰直角三角形，

:.AE=^!^~=底

【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全

等三角形的判定和性质，勾股定理，判断出△A8Q会ZV1CE是解本题的关键.

12.(1)是，理由见解析

101

(2)5(〃+b),ab+—c~,a2+b2=c2

【分析】(1)由乙45。+/84。=/后4。+/347=90。可得乙钻。=/石40,利用AAS即可

证明ABC^EAD；

⑵根据梯形的面积公式以及S梯形=S小+S馋+S,,可得两种含有*b,的代

数式的S梯形SCDE的表示方法，进而得出。、b、。的数量关系；

(3)过点5作8/_LAC于点尸，交AD于？，此时C£+E'F=B「，即CE+M的最小

值，利用勾股定理求出A3=8,利用面积法可求出5尸的值，即CE+EF的最小值.

(1)

解：(D./WC之一E4D理由如下：

四边形8COE是直角梯形，

.\ZC=ZD=90°,

:.ZABC+ZBAC=90°,

AB1.AE,

：.ZBAE=90°1

ZE4D+ZfiAC=90o,

:.ZABC=ZEADf

在.ABC和.皿)中，

ZC=ZD

<ZABC=ZEADf

AB=EA

...ABCg二E4ZXAAS).

(2)

解：ABC^^EAD,

/.AC=ED,BC=AD,

答案第29页，共36页

,BC=a,AC=b,AB=c,

AD=BC=afDE=AC=b,AE=AB=c,

:,CD=AC+AD=a^-h,

2

1?p/r?oC£zZJ=2-(BC+DE)CD=-2(a+h}(tz+W=-2(a+/>),

222

=ab+—c2

2

:.—(a+b)2=ab+—c2

22f

a?+2ab+。一=2ab+c~>

/.a2+b2=c2，

故答案为：—Qa+b)2；ab+—c2；cr-vb1=(r-

22

(3)

过点8作B/UAC于点/，交AD于E,此时CE+Er'=3U,即。石+£F的最小值,

AC=AB=10,点。为底边3c的中点，BC=12,

..BD=CD=-BC=6,ADJ.BC,

2

.-.ZADB=90°,

AD=dAB?-BD。=>/102-62=8，

•1'BF'±AC,

:.S.=-BCAD=-ACBF',

ABRCr22

.BF，=12X8=48

105

48

.•.CE+所的最小值为

【点评】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，直角

答案第30页，共36页

三角形的性质以及面积的计算，勾股定理等知识；熟练掌握直角三角形的性质，证明三角形

全等是解题的关键.

13.(1)5

(2)见解析

e19-31

⑶-y或丁

44

【分析】(1)根据OE垂直平分AB,得BE=EF,80=^48=4,在即ABDE中，利用勾

股定理即可得出答案；

(2)作AG_LAC,交的延长线于G,连接FG,利用AAS1证明△AG。之△BE。，得BE

=AG,DG=DE,得出。尸是GE的垂直平分线，则GF=EF,再利用勾股定理即可证明结

论；

(3)点E在线段3c上或点E在BC延长线上，分别画出图形，利用(2)中的方法解决问

题即可.

【解析】(1)解：为A8中点，DFLDE,

垂直平分AB,

:.BE=EF,BO=；AB=4,

在放ABOE中，由勾股定理得，BE=732+42=5,

：.EF=BE=5；

(2)证明：作4GLAC,交E£＞的延长线于G,连接FG,

：.AD=BD,

'：AG1AC,

；.NG4C=NACB=90。,

：.AG//BC,

答案第31页，共36页

・•・NAGD=NBED,

在△46。和43”中,

ZAGD=ZBED

<ZADG=ZBDE,

AD=BD

：.AAGD^ABED(A4S),

；・BE=AG,DG=DE,

9

：DF±DE9

・・・OF是GE的垂直平分线，

JGF=EF,

VZGAF=90°,

222

：.AG+AF=FGf

：.BE2+AF2=EF2；

(3)解：当点石在线段BC上时，作BH〃AC交尸。的延长线于“，连接

由(2)同理可得，HADF•XBDH(A4S),

:.BH=AF,DH=DF,

・・・QE是”尸的垂直平分线，

:・EF=HE,

2222

：.CF+CE=AF+BEt

设CF=JG则AF=8-右

：.x2+22=(8-x)2+42,

19

解得

4

，CF=日；

4

当点E在BC延长线上时，如图，作BG〃AC,交FD的延长线于G,连接EF,EG,

答案第32页，共36页

同理可得C产+CE2=4尸+8序，

设CF=x,则AF=8-x,

.••N+22=(8-x)2+82,

解得*=一31，

4

”―卫

4

…Li19-31

综上：。r=丁或7.

44

【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质以及勾股定理等

知识.解题的关键在于利用重点作平行线构造全等三角形.

14.(1)A(6,273).

⑵①O(4.20)；②((唯)或(：，—).

222