微积分高等数学完整版

关于微积分高等数学完整版一、基本概念1.集合:具有某种特定性质的事物的总体.组成这个集合的事物称为该集合的元素.有限集无限集第2页,共259页，2024年2月25日，星期天数集分类:N----自然数集Z----整数集Q----有理数集R----实数集数集间的关系:例如不含任何元素的集合称为空集.例如,规定空集为任何集合的子集.第3页,共259页，2024年2月25日，星期天2.区间:是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.称为开区间,称为闭区间,第4页,共259页，2024年2月25日，星期天称为半开区间,称为半开区间,有限区间无限区间区间长度的定义:两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.第5页,共259页，2024年2月25日，星期天3.邻域:第6页,共259页，2024年2月25日，星期天4.常量与变量:

在某过程中数值保持不变的量称为常量,注意常量与变量是相对“过程”而言的.通常用字母a,b,c等表示常量,而数值变化的量称为变量.常量与变量的表示方法：用字母x,y,t等表示变量.第7页,共259页，2024年2月25日，星期天5.绝对值:运算性质:绝对值不等式:第8页,共259页，2024年2月25日，星期天因变量自变量数集D叫做这个函数的定义域二、函数概念第9页,共259页，2024年2月25日，星期天自变量因变量对应法则f函数的两要素:定义域与对应法则.约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.第10页,共259页，2024年2月25日，星期天定义:如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值函数．第11页,共259页，2024年2月25日，星期天(1)符号函数几个特殊的函数举例1-1xyo第12页,共259页，2024年2月25日，星期天(2)取整函数y=[x][x]表示不超过的最大整数12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo阶梯曲线第13页,共259页，2024年2月25日，星期天有理数点无理数点•1xyo(3)狄利克雷函数第14页,共259页，2024年2月25日，星期天(4)取最值函数yxoyxo第15页,共259页，2024年2月25日，星期天在自变量的不同变化范围中,

对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.第16页,共259页，2024年2月25日，星期天例1脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图所示,写出电压U与时间的函数关系式.解单三角脉冲信号的电压第17页,共259页，2024年2月25日，星期天第18页,共259页，2024年2月25日，星期天例2解故第19页,共259页，2024年2月25日，星期天三、函数的特性M-Myxoy=f(x)X有界无界M-MyxoX1．函数的有界性:第20页,共259页，2024年2月25日，星期天2．函数的单调性:xyo第21页,共259页，2024年2月25日，星期天xyo第22页,共259页，2024年2月25日，星期天3．函数的奇偶性:偶函数yxox-x第23页,共259页，2024年2月25日，星期天奇函数yxox-x第24页,共259页，2024年2月25日，星期天4．函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.第25页,共259页，2024年2月25日，星期天

直接函数与反函数的图形关于直线对称.四、反函数第26页,共259页，2024年2月25日，星期天五、小结基本概念集合,区间,邻域,常量与变量,绝对值.函数的概念函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性.反函数第27页,共259页，2024年2月25日，星期天思考题第28页,共259页，2024年2月25日，星期天思考题解答设则故第29页,共259页，2024年2月25日，星期天练习题第30页,共259页，2024年2月25日，星期天第31页,共259页，2024年2月25日，星期天练习题答案第32页,共259页，2024年2月25日，星期天第33页,共259页，2024年2月25日，星期天一、基本初等函数1.幂函数第34页,共259页，2024年2月25日，星期天2.指数函数第35页,共259页，2024年2月25日，星期天3.对数函数第36页,共259页，2024年2月25日，星期天4.三角函数正弦函数第37页,共259页，2024年2月25日，星期天余弦函数第38页,共259页，2024年2月25日，星期天正切函数第39页,共259页，2024年2月25日，星期天余切函数第40页,共259页，2024年2月25日，星期天正割函数第41页,共259页，2024年2月25日，星期天余割函数第42页,共259页，2024年2月25日，星期天5.反三角函数第43页,共259页，2024年2月25日，星期天第44页,共259页，2024年2月25日，星期天第45页,共259页，2024年2月25日，星期天

幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.第46页,共259页，2024年2月25日，星期天二、复合函数初等函数1.复合函数定义:第47页,共259页，2024年2月25日，星期天注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.2.初等函数

由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.第48页,共259页，2024年2月25日，星期天例1解第49页,共259页，2024年2月25日，星期天综上所述第50页,共259页，2024年2月25日，星期天三、双曲函数与反双曲函数奇函数.偶函数.1.双曲函数第51页,共259页，2024年2月25日，星期天奇函数,有界函数,第52页,共259页，2024年2月25日，星期天双曲函数常用公式第53页,共259页，2024年2月25日，星期天2.反双曲函数奇函数,第54页,共259页，2024年2月25日，星期天第55页,共259页，2024年2月25日，星期天奇函数,第56页,共259页，2024年2月25日，星期天四、小结函数的分类:函数初等函数非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数)代数函数超越函数有理函数无理函数有理整函数(多项式函数)有理分函数(分式函数)第57页,共259页，2024年2月25日，星期天思考题第58页,共259页，2024年2月25日，星期天思考题解答不能．第59页,共259页，2024年2月25日，星期天一、填空题:练习题第60页,共259页，2024年2月25日，星期天第61页,共259页，2024年2月25日，星期天练习题答案第62页,共259页，2024年2月25日，星期天第63页,共259页，2024年2月25日，星期天第64页,共259页，2024年2月25日，星期天“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：播放——刘徽一、概念的引入第65页,共259页，2024年2月25日，星期天正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积第66页,共259页，2024年2月25日，星期天2、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”第67页,共259页，2024年2月25日，星期天二、数列的定义例如第68页,共259页，2024年2月25日，星期天注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取2.数列是整标函数第69页,共259页，2024年2月25日，星期天播放三、数列的极限第70页,共259页，2024年2月25日，星期天问题:当无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.通过上面演示实验的观察:第71页,共259页，2024年2月25日，星期天第72页,共259页，2024年2月25日，星期天如果数列没有极限,就说数列是发散的.注意：第73页,共259页，2024年2月25日，星期天几何解释:其中第74页,共259页，2024年2月25日，星期天数列极限的定义未给出求极限的方法.例1证所以,注意：第75页,共259页，2024年2月25日，星期天例2证所以,说明:常数列的极限等于同一常数.小结:用定义证数列极限存在时,关键是任意给定寻找N,但不必要求最小的N.第76页,共259页，2024年2月25日，星期天例3证第77页,共259页，2024年2月25日，星期天例4证第78页,共259页，2024年2月25日，星期天四、数列极限的性质1.有界性例如,有界无界第79页,共259页，2024年2月25日，星期天定理1收敛的数列必定有界.证由定义,注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论无界数列必定发散.第80页,共259页，2024年2月25日，星期天2.唯一性定理2每个收敛的数列只有一个极限.证由定义,故收敛数列极限唯一.第81页,共259页，2024年2月25日，星期天例5证由定义,区间长度为1.不可能同时位于长度为1的区间内.第82页,共259页，2024年2月25日，星期天3.(收敛数列与其子数列间的关系)如果数列收敛于a，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a第83页,共259页，2024年2月25日，星期天五.小结数列:研究其变化规律;数列极限:极限思想,精确定义,几何意义;收敛数列的性质:有界性唯一性.第84页,共259页，2024年2月25日，星期天思考题证明要使只要使从而由得取当时，必有成立第85页,共259页，2024年2月25日，星期天思考题解答~（等价）证明中所采用的实际上就是不等式即证明中没有采用“适当放大”的值第86页,共259页，2024年2月25日，星期天从而时，仅有成立，但不是的充分条件．反而缩小为第87页,共259页，2024年2月25日，星期天练习题第88页,共259页，2024年2月25日，星期天“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、概念的引入第89页,共259页，2024年2月25日，星期天三、数列的极限第90页,共259页，2024年2月25日，星期天三、数列的极限第91页,共259页，2024年2月25日，星期天三、数列的极限第92页,共259页，2024年2月25日，星期天三、数列的极限第93页,共259页，2024年2月25日，星期天三、数列的极限第94页,共259页，2024年2月25日，星期天三、数列的极限第95页,共259页，2024年2月25日，星期天三、数列的极限第96页,共259页，2024年2月25日，星期天三、数列的极限第97页,共259页，2024年2月25日，星期天三、数列的极限第98页,共259页，2024年2月25日，星期天三、数列的极限第99页,共259页，2024年2月25日，星期天三、数列的极限第100页,共259页，2024年2月25日，星期天三、数列的极限第101页,共259页，2024年2月25日，星期天三、数列的极限第102页,共259页，2024年2月25日，星期天第103页,共259页，2024年2月25日，星期天播放一、自变量趋向无穷大时函数的极限第104页,共259页，2024年2月25日，星期天通过上面演示实验的观察:问题:如何用数学语言刻划函数“无限接近”.第105页,共259页，2024年2月25日，星期天第106页,共259页，2024年2月25日，星期天2.另两种情形:第107页,共259页，2024年2月25日，星期天3.几何解释:第108页,共259页，2024年2月25日，星期天例1证第109页,共259页，2024年2月25日，星期天二、自变量趋向有限值时函数的极限第110页,共259页，2024年2月25日，星期天第111页,共259页，2024年2月25日，星期天2.几何解释:注意：第112页,共259页，2024年2月25日，星期天例2证例3证第113页,共259页，2024年2月25日，星期天例4证函数在点x=1处没有定义.第114页,共259页，2024年2月25日，星期天例5证第115页,共259页，2024年2月25日，星期天3.单侧极限:例如,第116页,共259页，2024年2月25日，星期天左极限右极限第117页,共259页，2024年2月25日，星期天左右极限存在但不相等,例6证第118页,共259页，2024年2月25日，星期天三、函数极限的性质1.有界性2.唯一性第119页,共259页，2024年2月25日，星期天推论3.不等式性质定理(保序性)第120页,共259页，2024年2月25日，星期天定理(保号性)推论第121页,共259页，2024年2月25日，星期天4.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系)定义定理第122页,共259页，2024年2月25日，星期天证第123页,共259页，2024年2月25日，星期天例如,函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等.第124页,共259页，2024年2月25日，星期天例7证第125页,共259页，2024年2月25日，星期天二者不相等,第126页,共259页，2024年2月25日，星期天四、小结函数极限的统一定义(见下表)第127页,共259页，2024年2月25日，星期天过程时刻从此时刻以后过程时刻从此时刻以后第128页,共259页，2024年2月25日，星期天思考题第129页,共259页，2024年2月25日，星期天思考题解答左极限存在,右极限存在,不存在.第130页,共259页，2024年2月25日，星期天一、填空题:练习题第131页,共259页，2024年2月25日，星期天第132页,共259页，2024年2月25日，星期天练习题答案第133页,共259页，2024年2月25日，星期天一、自变量趋向无穷大时函数的极限第134页,共259页，2024年2月25日，星期天一、自变量趋向无穷大时函数的极限第135页,共259页，2024年2月25日，星期天一、自变量趋向无穷大时函数的极限第136页,共259页，2024年2月25日，星期天一、自变量趋向无穷大时函数的极限第137页,共259页，2024年2月25日，星期天一、自变量趋向无穷大时函数的极限第138页,共259页，2024年2月25日，星期天一、自变量趋向无穷大时函数的极限第139页,共259页，2024年2月25日，星期天一、自变量趋向无穷大时函数的极限第140页,共259页，2024年2月25日，星期天一、自变量趋向无穷大时函数的极限第141页,共259页，2024年2月25日，星期天一、自变量趋向无穷大时函数的极限第142页,共259页，2024年2月25日，星期天第143页,共259页，2024年2月25日，星期天一、无穷小1.定义:极限为零的变量称为无穷小.第144页,共259页，2024年2月25日，星期天例如,注意1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;2.零是可以作为无穷小的唯一的数.第145页,共259页，2024年2月25日，星期天2.无穷小与函数极限的关系:证必要性充分性第146页,共259页，2024年2月25日，星期天意义1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);3.无穷小的运算性质:定理2在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.证第147页,共259页，2024年2月25日，星期天注意

无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.第148页,共259页，2024年2月25日，星期天定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证第149页,共259页，2024年2月25日，星期天推论1在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无穷小第150页,共259页，2024年2月25日，星期天二、无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大.第151页,共259页，2024年2月25日，星期天特殊情形：正无穷大，负无穷大．注意1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;3.无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.第152页,共259页，2024年2月25日，星期天不是无穷大．无界，第153页,共259页，2024年2月25日，星期天证第154页,共259页，2024年2月25日，星期天三、无穷小与无穷大的关系定理4在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.证第155页,共259页，2024年2月25日，星期天意义

关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.第156页,共259页，2024年2月25日，星期天四、小结1、主要内容:两个定义;四个定理;三个推论.2、几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1）无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.（3）无界变量未必是无穷大.第157页,共259页，2024年2月25日，星期天思考题第158页,共259页，2024年2月25日，星期天思考题解答不能保证.例有第159页,共259页，2024年2月25日，星期天一、填空题:练习题第160页,共259页，2024年2月25日，星期天第161页,共259页，2024年2月25日，星期天练习题答案第162页,共259页，2024年2月25日，星期天第163页,共259页，2024年2月25日，星期天一、极限运算法则定理证由无穷小运算法则,得第164页,共259页，2024年2月25日，星期天第165页,共259页，2024年2月25日，星期天推论1常数因子可以提到极限记号外面.推论2有界，第166页,共259页，2024年2月25日，星期天二、求极限方法举例例1解第167页,共259页，2024年2月25日，星期天小结:第168页,共259页，2024年2月25日，星期天解商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得例2第169页,共259页，2024年2月25日，星期天解例3(消去零因子法)第170页,共259页，2024年2月25日，星期天例4解(无穷小因子分出法)第171页,共259页，2024年2月25日，星期天小结:无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.第172页,共259页，2024年2月25日，星期天例5解先变形再求极限.第173页,共259页，2024年2月25日，星期天例6解第174页,共259页，2024年2月25日，星期天例7解左右极限存在且相等,第175页,共259页，2024年2月25日，星期天三、小结1.极限的四则运算法则及其推论;2.极限求法;a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.第176页,共259页，2024年2月25日，星期天思考题

在某个过程中，若有极限，无极限，那么是否有极限？为什么？第177页,共259页，2024年2月25日，星期天思考题解答没有极限．假设有极限，有极限，由极限运算法则可知：必有极限，与已知矛盾，故假设错误．第178页,共259页，2024年2月25日，星期天一、填空题:练习题第179页,共259页，2024年2月25日，星期天二、求下列各极限:第180页,共259页，2024年2月25日，星期天第181页,共259页，2024年2月25日，星期天练习题答案第182页,共259页，2024年2月25日，星期天第183页,共259页，2024年2月25日，星期天一、无穷小的比较例如,极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.不可比.观察各极限第184页,共259页，2024年2月25日，星期天定义:第185页,共259页，2024年2月25日，星期天例1解例2解第186页,共259页，2024年2月25日，星期天常用等价无穷小:用等价无穷小可给出函数的近似表达式:例如,第187页,共259页，2024年2月25日，星期天二、等价无穷小替换定理(等价无穷小替换定理)证第188页,共259页，2024年2月25日，星期天例3解不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换.注意第189页,共259页，2024年2月25日，星期天例4解解错第190页,共259页，2024年2月25日，星期天例5解第191页,共259页，2024年2月25日，星期天三、小结1.无穷小的比较:反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较.2.等价无穷小的替换:

求极限的又一种方法,注意适用条件.高(低)阶无穷小;等价无穷小;无穷小的阶.第192页,共259页，2024年2月25日，星期天思考题任何两个无穷小量都可以比较吗？第193页,共259页，2024年2月25日，星期天思考题解答不能．例当时都是无穷小量但不存在且不为无穷大故当时第194页,共259页，2024年2月25日，星期天练习题第195页,共259页，2024年2月25日，星期天第196页,共259页，2024年2月25日，星期天第197页,共259页，2024年2月25日，星期天练习题答案第198页,共259页，2024年2月25日，星期天第199页,共259页，2024年2月25日，星期天第200页,共259页，2024年2月25日，星期天一、函数的连续性1.函数的增量第201页,共259页，2024年2月25日，星期天2.连续的定义第202页,共259页，2024年2月25日，星期天第203页,共259页，2024年2月25日，星期天例1证由定义2知第204页,共259页，2024年2月25日，星期天3.单侧连续定理第205页,共259页，2024年2月25日，星期天例2解右连续但不左连续,第206页,共259页，2024年2月25日，星期天4.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如,第207页,共259页，2024年2月25日，星期天例3证第208页,共259页，2024年2月25日，星期天二、函数的间断点第209页,共259页，2024年2月25日，星期天1.跳跃间断点例4解第210页,共259页，2024年2月25日，星期天2.可去间断点例5第211页,共259页，2024年2月25日，星期天解注意

可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.第212页,共259页，2024年2月25日，星期天如例5中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点第213页,共259页，2024年2月25日，星期天3.第二类间断点例6解第214页,共259页，2024年2月25日，星期天例7解注意不要以为函数的间断点只是个别的几个点.第215页,共259页，2024年2月25日，星期天狄利克雷函数在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.仅在x=0处连续,其余各点处处间断.★★第216页,共259页，2024年2月25日，星期天在定义域R内每一点处都间断,但其绝对值处处连续.★判断下列间断点类型:第217页,共259页，2024年2月25日，星期天例8解第218页,共259页，2024年2月25日，星期天三、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数;第一类间断点:可去型,跳跃型.第二类间断点:无穷型,振荡型.间断点(见下图)第219页,共259页，2024年2月25日，星期天可去型第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyxoyxoyx第220页,共259页，2024年2月25日，星期天思考题第221页,共259页，2024年2月25日，星期天思考题解答且第222页,共259页，2024年2月25日，星期天但反之不成立.例但第223页,共259页，2024年2月25日，星期天练习题第224页,共259页，2024年2月25日，星期天第225页,共259页，2024年2月25日，星期天练习题答案第226页,共259页，2024年2月25日，星期天第227页,共259页，2024年2月25日，星期天第228页,共259页，2024年2月25日，星期天一、四则运算的连续性定理1例如,第229页,共259页，2024年2月25日，星期天二、反函数与复合函数的连续性定理2严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.例如,反三角函数在其定义域内皆连续.第230页,共259页，2024年2月25日，星期天定理3证第231页,共259页，2024年2月25日，星期天将上两步合起来:第232页,共259页，2024年2月25日，星期天意义1.极限符号可以与函数符号互换;例1解第233页,共259页，2024年2月25日，星期天例2解同理可得第234页,共259页，2024年2月25日，星期天定理4注意定理4是定理3的特殊情况.例如,第235页,共259页，2024年2月25日，星期天三、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.★★★第236页,共259页，2024年2月25日，星期天定理5基本初等函数在定义域内是