第05章 重点突破训练：平行线的性质与判定综合应用（原卷版）

第05章重点突破训练：平行线的性质与判定综合应用类型一：添加辅助线解决问题典例：（2018·全国初一月考）已知：如图，直线，点C是PQ，MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点.（1）若∠1与∠2都是锐角，如图1，请直接写出∠C与∠1∠2之间的数量关系.（2）若小明把一块三角板（∠A=30°，∠C=90°）如图2放置，点D，E，F是三角板的边与平行线的交点，若∠AEN=∠A，求∠BDF的度数.（3）将图2中的三角板进行适当转动，如图3，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连结EG，且有∠CEG=∠CEM，给出下列两个结论：①的值不变；②∠GEN－∠BDF的值不变.其中只有一个是正确的，你认为哪个是正确的？讲求出不变的值是多少.方法或规律点拨本题主要考查了平行线的性质，以及角平分线的定义的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行求解．巩固练习1.（2018·福建师范大学泉州附属中学初一期末）（感知）如图①，AB∥CD，点E在直线AB与CD之间，连结AE、BE，试说明∠BAE+∠DCE=∠AEC；（探究）当点E在如图②的位置时，其他条件不变，试说明∠AEC+∠BAE+∠DCE=360°；（应用）点E、F、G在直线AB与CD之间，连结AE、EF、FG和CG，其他条件不变，如图③，若∠EFG=36°，则∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG=______°.3.（2019·黑龙江初一期中）如图AB∥CD，点H在CD上，点E、F在AB上，点G在AB、CD之间，连接FG、GH、HE，HG⊥HE，垂足为H，FG⊥HG，垂足为G.（1）求证：∠EHC+∠GFE=180°.（2）如图2，HM平分∠CHG，交AB于点M，GK平分∠FGH，交HM于点K，求证：∠GHD=2∠EHM.（3）如图3，EP平分∠FEH，交HM于点N，交GK于点P，若∠BFG=50°,求∠NPK的度数.类型二：以三角板为背景的问题典例：（2020·四川初一期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°)．（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由．（2）当∠ACE<180°且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠ACE所有可能的度数及对应情况下的平行线(不必说明理由)；若不存在，请说明理由．方法或规律点拨本题以三角板内包含的特殊角度和三角板的变换为基础，考查了平行线的性质和判定的综合应用，解决问题的关键注意经过数形结合解决问题．巩固练习1.（2019·全国初一月考）一副三角板的三个内角分别是，，和，，，按如图所示叠放在一起，若固定三角形，改变三角形的位置（其中点位置始终不变），可以摆成不同的位置，使两块三角板至少有一组的边平行.设.（1）如图1中，请你探索当为多少时，，并说明理由；（2）如图2中，当______时，；（3）若使两块三角板至少有一组的边平行，请直接写出的度数及平行的直线.2.（2018·全国初一月考）一副直角三角板叠放如图所示，现将含45°角的三角板ADE固定不动，把含30°角的三角板ABC绕顶点A顺时针旋转∠α（α=∠BAD且0°＜α＜180°），使两块三角板至少有一组边平行．计算出旋转角α，并用符号表示平行的边。类型三：应用平行线的性质和判定求角度典例：（2019·广东初一期末）如图，EF∥AD，EF∥BC，CE平分（1）求∠ACB（2）若∠ACF=20方法或规律点拨此类问题主要考查利用平行线的性质和判定，通过数形结合，进行等角转换，即可解题.巩固练习1.（2019·四川初一期中）如图，已知∠1＝∠BDC，∠2＋∠3＝180°．(1)请你判断DA与CE的位置关系，并说明理由；(2)若DA平分∠BDC，CE⊥AE于点E，∠1＝70°，试求∠FAB的度数．2.（2019·泸西县中枢镇逸圃初级中学初一期中）如图，∠AFD=∠1，AC∥DE．(1)试说明：DF∥BC；(2)若∠1=68°，DF平分∠ADE，求∠B的度数．3.（2019·九江市同文中学初一期中）已知：如图1，射线OP∥AE，∠AOP的角平分线交射线AE于点B．（1）若∠A=50°，求∠ABO的度数；（2）如图2，若点C在射线AE上，OB平分∠AOC交AE于点B，OD平分∠COP交AE于点D，∠ABO-∠AOB=70°，求∠ADO的度数；（3）如图3，若∠A=α，依