2024届云南省大理州祥云县部分高中（云·上联盟五校协作体）高三下学期复习摸底诊断联合测评数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2云南省大理州祥云县部分高中（云·上联盟五校协作体）2024届高三下学期复习摸底诊断联合测评数学试题一、单项选择题1.样本中共有个个体，其值分别为、、、、，若该样本的中位数为，则的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗若，则这组数据由小到大排列依次为、、、、，中位数为，不合乎题意；若，则这组数据由小到大排列依次为、、、、，中位数为，不合乎题意；若，则这组数据由小到大排列依次为、、、、，中位数为；若，则这组数据由小到大排列依次为、、、、，中位数为；若，则这组数据由小到大排列依次为、、、、，中位数为.综上所述，实数的取值范围是.故选：C.2.已知，则的最小值为（）A.6 B.5 C.4 D.3〖答案〗D〖解析〗由于，所以，由,（当且仅当时取等号），可得的最小值为3，故选：D．3.已知的内角，，的对边分别为，，，若，，且为边上的高，为边上的中线，则的值为（）A.2 B.－2 C.6 D.－6〖答案〗D〖解析〗因为为边上的中线，所以，又BE为边AC上的高，所以，且在中，，所以.故选：D.4.欧拉公式（是自然对数的底数，是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系．已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，.故选：A.5.第33届夏季奥运会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办，这届奥运会将新增2个竞赛项目和3个表演项目．现有三个场地A，B，C分别承担这5个新增项目的比赛，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有（）A.150种 B.300种 C.720种 D.1008种〖答案〗A〖解析〗若三个场地分别承担个项目，则有种安排，若三个场地分别承担个项目，则有种安排，综上，不同的安排方法有种.故选：A6.已知正项等比数列中，成等差数列.若数列中存在两项，使得为它们的等比中项，则的最小值为（）A.3 B.4 C.6 D.9〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗由已知条件求出等比数列公比，得到，利用基本不等式求的最小值.【详析】设正项等比数列公比为，由，，成等差数列，有，即，得，由，解得，若数列中存在两项，，使得为它们的等比中项，则，即，得，则，，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为3.故选：A7.已知分别为双曲线的左、右焦点，过向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为点，且（为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗设双曲线焦距为，则、，不妨设渐近线的方程为，如图：因为直线与直线垂直，则直线的方程为，联立可得，即点，所以，，因为，所以，又，故，所以，，整理可得，所以，又，所以，故该双曲线的渐近线方程为.故选：D.8.设，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，即，，即，因为，所以，即，且，则，所以.故选：D.二、多项选择题9.已知函数及其导函数的定义域均为，若函数为奇函数，函数为偶函数，，则（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗由为奇函数可得，即，，即，即，所以函数的图像关于直线对称，由是偶函数可得为奇函数，，即，所以函数的图像关于点对称；将代入，得，将代入，得，B选项正确；将代入得，得，A选项错误；，C选项正确；将代入，得，故，，D选项错误.故选：BC.10.我国古代数学家祖暅提出一条原理：“幂势既同，则积不容异”，即两个等高几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．利用该原理可以证明：一个底面半径和高都等于R的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得的几何体的体积与一个半径为R的半球的体积相等．现有一个半径为R的球，被一个距离球心为d（）的平面截成两部分，记两部分的体积分别为，则（）A. B.C.当时， D.当时，〖答案〗ACD〖解析〗（同底等高），，A对．，B错．对于C，，，C对．对于D，时，，，在，，D对．故选：ACD.11.如图，在长方体中，，，是棱上的一点，点在棱上，则下列结论正确的是（）A.若，，，四点共面，则B.存在点，使得平面C.若，，，四点共面，则四棱锥的体积为定值D.若为的中点，则三棱锥的外接球的表面积是〖答案〗BCD〖解析〗对A，由四点共面，得，则，若不是棱的中点，则，故A错误.对B，当是棱的中点时，取的中点，连接，则为的中点.因为为的中点，则.因平面平面，所以平面，则B正确.根据长方体性质知，且平面，平面，所以平面，同理可得平面，则点，到平面的距离为定值，又因为的面积为定值，所以三棱锥和三棱锥的体积都为定值，则四棱锥的体积为定值，故C正确.取棱中点，由题中数据可得，则，所以为等腰直角三角形，所以是外接圆的圆心，外接圆半径.设三棱锥的外按球的球心为，半径为，设，则，即，解得，则，此时点位于中点，从而三棱锥的外接球的表面积是，故D正确.故选：BCD.三、填空题12.的展开式中的系数为______（用数字作答）．〖答案〗80〖解析〗对，有，令，则，有.故〖答案〗为：.13.已知函数的值域为，则实数a的取值范围为______．〖答案〗〖解析〗当时，若，可得；若，，函数的值域不可能为；②当时，，所以函数在，上单调递增，若函数的值域为，只需，可得．由上知，实数a的取值范围为．故〖答案〗为：14.如图，在中，，在直角梯形中，，，记二面角的大小为，若，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为______．〖答案〗〖解析〗如图，以和过点垂直于平面的直线建立空间直角坐标系，则由，，可知为二面角的平面角，又，，设，，则，设平面的法向量为，则，令，则，所以，设直线与平面所成角为，则，其中，，当且仅当，即时，取得最大值,则的最大值为.故〖答案〗为：.四、解答题15.已知函数在点处的切线方程为．（1）求实数和的值；（2）求在上的最大值（其中e是自然对数的底数）．解：（1）因为，所以，由题意可得，，解得:，.（2）由（1）可得，所以，且，易得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，又，，且，即最大值为：.16.三月的祥云，随着气温回暖，忙碌的农田里也春意渐浓.祥云县坚持鼓励农业生产，进一步保障粮食安全，守好人民的“粮袋子”.已知某种业公司根据当地气候条件和土壤状况培育了新品种的软籽石榴，从收获的果实中随机抽取了50个软籽石榴，按质量（单位：g）将它们分成5组：，，，，，得到如下频率分布直方图.（1）用样本估计总体，求该品种石榴的平均质量；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）按分层随机抽样，在样本中，从质量在区间，，内的石榴中抽取7个石榴进行检测，再从中抽取3个石榴作进一步检测.记这3个石榴中质量在区间内的个数为，求的分布列与数学期望.解：（1）该品种石榴的平均质量为，所以该品种石榴的平均质量为416g；（2）质量在区间，，内的频率比为，所以分层抽样抽取时，质量在区间，，内的石榴个数分别为2，2，3.由题意X的所有可能取值为0，1，2，3，，，，，所以X的分布列为X0123P.17.如图，在直四棱柱中，底面为矩形，，高为，O，E分别为底面的中心和的中点．（1）求证：平面平面；（2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值．（1）证明：连接、，∵O，E分别为的中点和的中点，∴∥，∵∥，∴∥，∴四点、、、共面，∵，，且，、平面，平面，∴平面，∵平面，∴平面平面，（2）解：分别以、、所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，，，，，，，则，，，，设平面的法向量，则，即，令，则，∴，设平面的法向量，则，即，令，则，，∴，∴，∴.18.已知双曲线：的左右焦点为，，其右准线为，点到直线的距离为，过点的动直线交双曲线于，两点，当直线与轴垂直时，．（1）求双曲线的标准方程；（2）设直线与直线的交点为，证明：直线过定点．（1）解：由题意，所以双曲线的标准方程为.（2）证明：由题意，当直线斜率为0时，直线，当直线斜率不为0时，设直线的方程为，，，所以，直线的方程为：，所以的方程为，由对称性可知过的定点一定在轴上，令，又，所以，所以直线过定点.19.十七世纪至十八世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出二进制记数法的人，用二进制记数只需数字0和1，对于整数可理解为逢二进一，例如：自然数1在二进制中就表示为，2表示为，3表示为，5表示为，发现若可表示为二进制表达式，则，其中，或1（）.（1）记，求证：；（2）记为整数的二进制表达式中的0的个数，如，.（ⅰ）求；（ⅱ）求（用数字作答）.（1）证明：，，，，；（2）解：（ⅰ），，（ⅱ），，故从到中，有、、、共9个，有个，由，即共有个有个，由，即共有个……，有个，.云南省大理州祥云县部分高中（云·上联盟五校协作体）2024届高三下学期复习摸底诊断联合测评数学试题一、单项选择题1.样本中共有个个体，其值分别为、、、、，若该样本的中位数为，则的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗若，则这组数据由小到大排列依次为、、、、，中位数为，不合乎题意；若，则这组数据由小到大排列依次为、、、、，中位数为，不合乎题意；若，则这组数据由小到大排列依次为、、、、，中位数为；若，则这组数据由小到大排列依次为、、、、，中位数为；若，则这组数据由小到大排列依次为、、、、，中位数为.综上所述，实数的取值范围是.故选：C.2.已知，则的最小值为（）A.6 B.5 C.4 D.3〖答案〗D〖解析〗由于，所以，由,（当且仅当时取等号），可得的最小值为3，故选：D．3.已知的内角，，的对边分别为，，，若，，且为边上的高，为边上的中线，则的值为（）A.2 B.－2 C.6 D.－6〖答案〗D〖解析〗因为为边上的中线，所以，又BE为边AC上的高，所以，且在中，，所以.故选：D.4.欧拉公式（是自然对数的底数，是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系．已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，.故选：A.5.第33届夏季奥运会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办，这届奥运会将新增2个竞赛项目和3个表演项目．现有三个场地A，B，C分别承担这5个新增项目的比赛，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有（）A.150种 B.300种 C.720种 D.1008种〖答案〗A〖解析〗若三个场地分别承担个项目，则有种安排，若三个场地分别承担个项目，则有种安排，综上，不同的安排方法有种.故选：A6.已知正项等比数列中，成等差数列.若数列中存在两项，使得为它们的等比中项，则的最小值为（）A.3 B.4 C.6 D.9〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗由已知条件求出等比数列公比，得到，利用基本不等式求的最小值.【详析】设正项等比数列公比为，由，，成等差数列，有，即，得，由，解得，若数列中存在两项，，使得为它们的等比中项，则，即，得，则，，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为3.故选：A7.已知分别为双曲线的左、右焦点，过向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为点，且（为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗设双曲线焦距为，则、，不妨设渐近线的方程为，如图：因为直线与直线垂直，则直线的方程为，联立可得，即点，所以，，因为，所以，又，故，所以，，整理可得，所以，又，所以，故该双曲线的渐近线方程为.故选：D.8.设，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，即，，即，因为，所以，即，且，则，所以.故选：D.二、多项选择题9.已知函数及其导函数的定义域均为，若函数为奇函数，函数为偶函数，，则（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗由为奇函数可得，即，，即，即，所以函数的图像关于直线对称，由是偶函数可得为奇函数，，即，所以函数的图像关于点对称；将代入，得，将代入，得，B选项正确；将代入得，得，A选项错误；，C选项正确；将代入，得，故，，D选项错误.故选：BC.10.我国古代数学家祖暅提出一条原理：“幂势既同，则积不容异”，即两个等高几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．利用该原理可以证明：一个底面半径和高都等于R的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得的几何体的体积与一个半径为R的半球的体积相等．现有一个半径为R的球，被一个距离球心为d（）的平面截成两部分，记两部分的体积分别为，则（）A. B.C.当时， D.当时，〖答案〗ACD〖解析〗（同底等高），，A对．，B错．对于C，，，C对．对于D，时，，，在，，D对．故选：ACD.11.如图，在长方体中，，，是棱上的一点，点在棱上，则下列结论正确的是（）A.若，，，四点共面，则B.存在点，使得平面C.若，，，四点共面，则四棱锥的体积为定值D.若为的中点，则三棱锥的外接球的表面积是〖答案〗BCD〖解析〗对A，由四点共面，得，则，若不是棱的中点，则，故A错误.对B，当是棱的中点时，取的中点，连接，则为的中点.因为为的中点，则.因平面平面，所以平面，则B正确.根据长方体性质知，且平面，平面，所以平面，同理可得平面，则点，到平面的距离为定值，又因为的面积为定值，所以三棱锥和三棱锥的体积都为定值，则四棱锥的体积为定值，故C正确.取棱中点，由题中数据可得，则，所以为等腰直角三角形，所以是外接圆的圆心，外接圆半径.设三棱锥的外按球的球心为，半径为，设，则，即，解得，则，此时点位于中点，从而三棱锥的外接球的表面积是，故D正确.故选：BCD.三、填空题12.的展开式中的系数为______（用数字作答）．〖答案〗80〖解析〗对，有，令，则，有.故〖答案〗为：.13.已知函数的值域为，则实数a的取值范围为______．〖答案〗〖解析〗当时，若，可得；若，，函数的值域不可能为；②当时，，所以函数在，上单调递增，若函数的值域为，只需，可得．由上知，实数a的取值范围为．故〖答案〗为：14.如图，在中，，在直角梯形中，，，记二面角的大小为，若，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为______．〖答案〗〖解析〗如图，以和过点垂直于平面的直线建立空间直角坐标系，则由，，可知为二面角的平面角，又，，设，，则，设平面的法向量为，则，令，则，所以，设直线与平面所成角为，则，其中，，当且仅当，即时，取得最大值,则的最大值为.故〖答案〗为：.四、解答题15.已知函数在点处的切线方程为．（1）求实数和的值；（2）求在上的最大值（其中e是自然对数的底数）．解：（1）因为，所以，由题意可得，，解得:，.（2）由（1）可得，所以，且，易得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，又，，且，即最大值为：.16.三月的祥云，随着气温回暖，忙碌的农田里也春意渐浓.祥云县坚持鼓励农业生产，进一步保障粮食安全，守好人民的“粮袋子”.已知某种业公司根据当地气候条件和土壤状况培育了新品种的软籽石榴，从收获的果实中随机抽取了50个软籽石榴，按质量（单位：g）将它们分成5组：，，，，，得到如下频率分布直方图.（1）用样本估计总体，求该品种石榴的平均质量；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）按分层随机抽样，在样本中，从质量在区间，，内的石榴中抽取7个石榴进行检测，再从中抽取3个石榴作进一步检测.记这3个石榴中质量在区间内的个数为，求的分布列与数学期望.解：（1）该品种石榴的平均质量为，所以该品种石榴的平均质量为416g；（2）质量在区间，，内的频率比为，所以