2024届上海市黄浦区高三上学期期中调研测试（一模）数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2上海市黄浦区2024届高三上学期期中调研测试（一模）数学试题一、填空题1.已知集合，则__________．〖答案〗〖解析〗集合，所以.故〖答案〗为：2.若函数为偶函数，则_______〖答案〗1〖解析〗函数，函数为偶函数，，，.3.已知复数（i为虚数单位），则满足的复数为__________．〖答案〗〖解析〗，则，则，为，即，故〖答案〗为：.4.若双曲线经过点，则此双曲线的离心率为__________．〖答案〗〖解析〗因为点在双曲线上，代入可得，解得，由曲线方程可知，故，所以双曲线的离心率为，故〖答案〗为：5.已知向量，则向量与夹角的余弦值为__________．〖答案〗〖解析〗向量，所以向量与夹角的余弦值.故〖答案〗：6.若一个棱长为2的正方体的八个顶点在同一个球面上，则该球的体积为__________．〖答案〗〖解析〗棱长为的正方体的八个顶点在同一个球面上，则球的直径等于正方体的对角线长，即，则该球的体积.7.某城市30天的空气质量指数如下：29，26，28，29，38，29，26，26，40，31，35，44，33，28，80，86，65，53，70，34，36，，31，38，63，60，56，34，74，34．则这组数据的第75百分位数为__________．〖答案〗56〖解析〗显然，30个数据由小到大排列为：26，26，26，28，28，29，29，29，31，31，33，34，34，34，35，36，38，38，40，44，，53，56，60，63，65，70，74，80，86，或者26，26，26，28，28，29，29，29，31，31，33，34，34，34，35，36，38，38，40，，44，53，56，60，63，65，70，74，80，86，由，得这组数据的第75百分位数为上述排列后的从小到大的第23个数56.故〖答案〗为：568.在中，三个内角对边分别为，若，则的值为__________．〖答案〗〖解析〗，即，则，因为，所以，所以，所以，故〖答案〗为：.9.某校共有400名学生参加了趣味知识竞赛（满分：150分），且每位学生的竞赛成绩均不低于90分．将这400名学生的竞赛成绩分组如下：，得到的频率分布直方图如图所示，则这400名学生中竞赛成绩不低于120分的人数为__________．〖答案〗〖解析〗由频率分布直方图可知，解得，这400名学生中竞赛成绩不低于120分的人数为，故〖答案〗为：10.若是一个三角形的内角，且函数在区间上是单调函数，则的取值范围是__________．〖答案〗〖解析〗函数，令，解得：，令，解得：则的单调递增区间为，单调递减区间为，若函数在区间上单调递增函数，则，是一个三角形的内角，，，，要使，只能令，得，且，此时，则，则，解得，是一个三角形的内角，，若函数在区间上是单调递减函数，则，，，要使，只能令，得，且，此时，则，则，解得，与矛盾，函数在区间上是不能是单调递减函数，综上所述，，故〖答案〗为：.11.设是首项为3且公比为的等比数列，则满足不等式的最小正整数的值为__________．〖答案〗25〖解析〗是首项为3且公比为的等比数列，，则，即有，当为偶数时，则，当为奇数时，为偶数，则，则，要满足不等式，则为奇数，此时，解得：，则满足不等式的最小正整数的值为，故〖答案〗为：25.12.若正三棱锥的底面边长为6，高为，动点P满足，则的最小值为__________．〖答案〗8〖解析〗设在底面的射影为，则为底面的中心，如图，以为原点建立空间直角坐标系，由题可知，则，，,,，设，故，，，，，，设中点为，且，，设是平面的平面方程，且该平面的一个法向量为，作为与该平面的对称点，，设，中点为，故在该平面上，面，故，，解得，，故，.故〖答案〗为：8.二、选择题13.设，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗求解不等式可得，求解绝对值不等式可得或，据此可知：“”是“”的充分而不必要条件.本题选择A选项.14.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗记3名男同学为，2名女同学为，从5名同学中任选2名的结果有：，共10个，选出的2名同学中至少有1名女同学的事件含有的结果有，共7个，所以选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是.故选：B.15.若实数满足，则必有（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗对于A，，整理可得，当且仅当取等号，故A错误；对于B，因为，设，则方程变为，解得，所以，故B错误；对于C，当时，代入等式成立，但，故C错误；对于D,由可得，整理可得，当且仅当时取等号；所以，因为，所以，故D正确；故选：D.16.在平面直角坐标系中，对于定点，记点集中距离原点O最近的点为点，此最近距离为．当点P在曲线上运动时，关于下列结论：①点的轨迹是一个圆；②的取值范围是．正确的判断是（）A.①成立，②成立 B.①成立，②不成立C①不成立，②成立 D.①不成立，②不成立〖答案〗C〖解析〗由题意知，点集表示以为中心，边长为2且各边均平行或垂直于坐标轴的正方形及其内部，如图，当点P的纵坐标大于或等于1时，在上述正方形的左下顶点，如图，此时点的轨迹方程为；当点P的纵坐标小于1时，在上述正方形的左侧边与x轴的交点，如图，此时点的轨迹方程为，所以点的轨迹方程为，故①错误；记，如图，结合图形，则，又，所以，左侧等号当且仅当依次共线时取到，右侧等号当且仅当依次共线时取到，故②正确.故选：C.三、解答题17.已知等比数列是严格增数列，其第3、4、5项的乘积为1000，并且这三项分别乘以4、3、2后，所得三个数依次成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）若对任意正整数n，数列的前n项和，向量的模为，求数列的前n项和．解：（1）设数列的公比为，由分别乘以4,3,2后依然成等差数列，得，所以有，即，由，可得，解得：或，因为等比数列是严格增数列，所以．代入解得：，所以；（2）因为数列的前n项和，当时，，当时，，当时也满足上式，所以．则，所以数列的前n项和为.18.如图，平面平面，四边形是正方形，．（1）证明：平面；（2）求二面角的正切值．（1）证明：由于，所以四边形是等腰梯形，，所以到的距离是，所以.依题意，平面平面，四边形是正方形，由此以为原点建立如图所示空间直角坐标系，，设平面的法向量为，则，故可设.，由于，所以，所以平面.（2）解：平面的一个法向量为，，，设平面的法向量为，则，故可设，设二面角为，由图可知为锐角，则，则，所以.19.某公园的一个角形区域如图所示，其中．现拟用长度为100米的隔离档板（折线）与部分围墙（折线）围成一个花卉育苗区，要求满足．（1）设，试用表示；（2）为使花卉育苗区的面积最大，应如何设计？请说明理由．解：（1），，，，，设,，则,，则，，则，则，即，即则，则，则则则，则，则，则，则，则，即，即，即.（2）设，由（1）得，则，，，，，，，要使花卉育苗区的面积最大，则，即，故当,时，花卉育苗区的面积最大，最大为.20.设a为实数，是以点为顶点，以点为焦点的抛物线，是以点为圆心、半径为1的圆位于y轴右侧且在直线下方的部分．（1）求与的方程；（2）若直线被所截得的线段的中点在上，求a的值；（3）是否存在a，满足：在的上方，且有两条不同的切线被所截得的线段长相等？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．解：（1）设，则，解得，故，依题意有.（2）设被所截得的线段为，中点为，联立和有，故，故，代入得：，解得.（3）如图，在的上方时，抛物线和圆无交点，联立和有且，解得，显然，切线斜率存在，设切线方程为，由为四分之一圆知，又圆心到切线的距离等于半径：，故，切线方程为，与联立得，设被所截得的线段为，则，，记，则，，记，则，依题意有：对给定的，使得和有两个交点，由知使即可，否则在上单调，不存在使得，而，故只需，解得，综上所述：.21.设函数与的定义域均为，若存在，满足且，则称函数与“局部趋同”．（1）判断函数与是否“局部趋同”，并说明理由；（2）已知函数．求证：对任意的正数，都存在正数，使得函数与“局部趋同”；（3）对于给定的实数，若存在实数，使得函数与“局部趋同”，求实数的取值范围．（1）解：得，，令，解得：，，且，即不存在，满足且，则函数与不是“局部趋同”；（2）证明：函数，则，若函数与“局部趋同”，则存在，满足且，即，且，则若有解，存在正数，都存在，满足且，即对任意的正数，都存在正数，使得函数与“局部趋同”，即，其，即有解，设方程的两根分别为，不妨设，则，所以，，而，取，所以对任意的正数，都存在正数，使得函数与“局部趋同”.（3）解：若函数与“局部趋同”，则且，由，得，即，则，代入，得，即，则若有解，函数与就“局部趋同”，即有解，令，则，在上，，在上，，则在上，，在上，，即在上单调递增，在上单调递减，最大值为，从趋向于0时，趋向于，趋向于0，则在从趋向于0时，趋向于，则，则要使有解，即，即，故实数的取值范围为.上海市黄浦区2024届高三上学期期中调研测试（一模）数学试题一、填空题1.已知集合，则__________．〖答案〗〖解析〗集合，所以.故〖答案〗为：2.若函数为偶函数，则_______〖答案〗1〖解析〗函数，函数为偶函数，，，.3.已知复数（i为虚数单位），则满足的复数为__________．〖答案〗〖解析〗，则，则，为，即，故〖答案〗为：.4.若双曲线经过点，则此双曲线的离心率为__________．〖答案〗〖解析〗因为点在双曲线上，代入可得，解得，由曲线方程可知，故，所以双曲线的离心率为，故〖答案〗为：5.已知向量，则向量与夹角的余弦值为__________．〖答案〗〖解析〗向量，所以向量与夹角的余弦值.故〖答案〗：6.若一个棱长为2的正方体的八个顶点在同一个球面上，则该球的体积为__________．〖答案〗〖解析〗棱长为的正方体的八个顶点在同一个球面上，则球的直径等于正方体的对角线长，即，则该球的体积.7.某城市30天的空气质量指数如下：29，26，28，29，38，29，26，26，40，31，35，44，33，28，80，86，65，53，70，34，36，，31，38，63，60，56，34，74，34．则这组数据的第75百分位数为__________．〖答案〗56〖解析〗显然，30个数据由小到大排列为：26，26，26，28，28，29，29，29，31，31，33，34，34，34，35，36，38，38，40，44，，53，56，60，63，65，70，74，80，86，或者26，26，26，28，28，29，29，29，31，31，33，34，34，34，35，36，38，38，40，，44，53，56，60，63，65，70，74，80，86，由，得这组数据的第75百分位数为上述排列后的从小到大的第23个数56.故〖答案〗为：568.在中，三个内角对边分别为，若，则的值为__________．〖答案〗〖解析〗，即，则，因为，所以，所以，所以，故〖答案〗为：.9.某校共有400名学生参加了趣味知识竞赛（满分：150分），且每位学生的竞赛成绩均不低于90分．将这400名学生的竞赛成绩分组如下：，得到的频率分布直方图如图所示，则这400名学生中竞赛成绩不低于120分的人数为__________．〖答案〗〖解析〗由频率分布直方图可知，解得，这400名学生中竞赛成绩不低于120分的人数为，故〖答案〗为：10.若是一个三角形的内角，且函数在区间上是单调函数，则的取值范围是__________．〖答案〗〖解析〗函数，令，解得：，令，解得：则的单调递增区间为，单调递减区间为，若函数在区间上单调递增函数，则，是一个三角形的内角，，，，要使，只能令，得，且，此时，则，则，解得，是一个三角形的内角，，若函数在区间上是单调递减函数，则，，，要使，只能令，得，且，此时，则，则，解得，与矛盾，函数在区间上是不能是单调递减函数，综上所述，，故〖答案〗为：.11.设是首项为3且公比为的等比数列，则满足不等式的最小正整数的值为__________．〖答案〗25〖解析〗是首项为3且公比为的等比数列，，则，即有，当为偶数时，则，当为奇数时，为偶数，则，则，要满足不等式，则为奇数，此时，解得：，则满足不等式的最小正整数的值为，故〖答案〗为：25.12.若正三棱锥的底面边长为6，高为，动点P满足，则的最小值为__________．〖答案〗8〖解析〗设在底面的射影为，则为底面的中心，如图，以为原点建立空间直角坐标系，由题可知，则，，,,，设，故，，，，，，设中点为，且，，设是平面的平面方程，且该平面的一个法向量为，作为与该平面的对称点，，设，中点为，故在该平面上，面，故，，解得，，故，.故〖答案〗为：8.二、选择题13.设，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗求解不等式可得，求解绝对值不等式可得或，据此可知：“”是“”的充分而不必要条件.本题选择A选项.14.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗记3名男同学为，2名女同学为，从5名同学中任选2名的结果有：，共10个，选出的2名同学中至少有1名女同学的事件含有的结果有，共7个，所以选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是.故选：B.15.若实数满足，则必有（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗对于A，，整理可得，当且仅当取等号，故A错误；对于B，因为，设，则方程变为，解得，所以，故B错误；对于C，当时，代入等式成立，但，故C错误；对于D,由可得，整理可得，当且仅当时取等号；所以，因为，所以，故D正确；故选：D.16.在平面直角坐标系中，对于定点，记点集中距离原点O最近的点为点，此最近距离为．当点P在曲线上运动时，关于下列结论：①点的轨迹是一个圆；②的取值范围是．正确的判断是（）A.①成立，②成立 B.①成立，②不成立C①不成立，②成立 D.①不成立，②不成立〖答案〗C〖解析〗由题意知，点集表示以为中心，边长为2且各边均平行或垂直于坐标轴的正方形及其内部，如图，当点P的纵坐标大于或等于1时，在上述正方形的左下顶点，如图，此时点的轨迹方程为；当点P的纵坐标小于1时，在上述正方形的左侧边与x轴的交点，如图，此时点的轨迹方程为，所以点的轨迹方程为，故①错误；记，如图，结合图形，则，又，所以，左侧等号当且仅当依次共线时取到，右侧等号当且仅当依次共线时取到，故②正确.故选：C.三、解答题17.已知等比数列是严格增数列，其第3、4、5项的乘积为1000，并且这三项分别乘以4、3、2后，所得三个数依次成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）若对任意正整数n，数列的前n项和，向量的模为，求数列的前n项和．解：（1）设数列的公比为，由分别乘以4,3,2后依然成等差数列，得，所以有，即，由，可得，解得：或，因为等比数列是严格增数列，所以．代入解得：，所以；（2）因为数列的前n项和，当时，，当时，，当时也满足上式，所以．则，所以数列的前n项和为.18.如图，平面平面，四边形是正方形，．（1）证明：平面；（2）求二面角的正切值．（1）证明：由于，所以四边形是等腰梯形，，所以到的距离是，所以.依题意，平面平面，四边形是正方形，由此以为原点建立如图所示空间直角坐标系，，设平面的法向量为，则，故可设.，由于，所以，所以平面.（2）解：平面的一个法向量为，，，设平面的法向量为，则，故可设，设二面角为，由图可知为锐角，则，则，所以.19.某公园的一个角形区域如图所示，其中．现拟用长度为100米的隔离档板（折线）与部分围墙（折线）围成一个花卉育苗区，要求满足．（1）设，试用表示；（2）为使花卉育苗区的面积最大，应如何设计？请说明理由．解：（1），，，，，设,，则,，则，，则，则，即，即则，则，则则则，则，则，则，则，则，即，即，即.（2）设，由（1）得，则，，，，，，，要使花卉育苗区的面积最大，则，即，故当,时，花卉育苗区的面积最大，最大为.20.设a为实数，是以点为顶点，以点为焦点的抛物线，是以点为圆心、半径为1