2024届河北省金科大联考高三下学期3月质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2河北省金科大联考2024届高三下学期3月质量检测数学试题一､选择题1.设集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，解得，所以，因为，所以，故.故选：A.2.已知随机变量服从，若，则（）A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5〖答案〗C〖解析〗由题意可得，所以.故选：C.3.已知为复数，若为实数，则复数在复平面内对应的点的轨迹方程为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗设，则，因为为实数，所以.故选：D.4.设等差数列的前项和为，若，，则（）A.34 B.35 C.36 D.38〖答案〗B〖解析〗因为是等差数列，设其公差为，因，则，所以，则，所以，.故选：B.5.的值为（）A.1 B. C. D.2〖答案〗C〖解析〗.故选：C.6.实验课上，小明将一个小球放置在圆柱形烧杯口处固定（烧杯口支撑着小球），观察到小球恰好接触到烧杯底部，已知烧杯的底面半径为2，小球的表面积为，若烧杯的厚度不计，则烧杯的侧面积为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设小球的半径为，则，解得，设圆柱的高为，由勾股定理可得，解得或（舍去），所以烧杯的侧面积为.故选：D.7.已知是定义域为的偶函数，当时，，若有且仅有3个零点，则关于的不等式的解集为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因为为偶函数，有且仅有3个零点，所以，即，解得，此时当时，，所以的零点为，满足题意，又当时，，，由，得，即，解得，又为偶函数，所以的解集为，故选：A.8.已知圆O的半径为1，A，B，C为圆O上三点，满足，则的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依题意，取的中点为，则，，，所以，因为，所以.故选：B.二､选择题9.潮汐现象是地球上的海水受月球和太阳的万有引力作用而引起的周期性涨落现象.某观测站通过长时间观察，发现某港口的潮汐涨落规律为（其中，），其中y（单位：）为港口水深，x（单位：）为时间，该观测站观察到水位最高点和最低点的时间间隔最少为，且中午12点的水深为，为保证安全，当水深超过时，应限制船只出入，则下列说法正确的是（）A.B.最高水位为12C.该港口从上午8点开始首次限制船只出入D.一天内限制船只出入的时长为〖答案〗AC〖解析〗对于A，依题意，所以，故A正确；对于B，当时，，解得，所以最高水位为10m，故B错误；对于CD，由上可知，令，解得或者，所以从上午8点开始首次开放船只出入，一天内开放出入时长为8h，故C正确，D错误.故选：AC.10.已知圆锥的侧面展开图为一个半圆，为底面圆的一条直径，，B为圆O上的一个动点（不与A，C重合），记二面角为，为，则（）A.圆锥的体积为B.三棱锥的外接球的半径为C.若，则平面D.若，则〖答案〗ACD〖解析〗设底面半径为，母线长为，则，即，由，则，则，所以圆锥的体积为，故A正确；设三棱锥外接球的球心为，在上，设球的半径为，则中，，解得：，故B错误；如下图，取的中点，连结,因为，，所以，，所以，若，则，即，所以是等腰直角三角形，所以，因为平面，平面，所以，且，平面，所以平面，故C正确；如上图，，，因为，所以，则，即则，且，所以，则所以，故D正确.故选：ACD.11.已知，为双曲线：的左､右焦点，点满足，N为双曲线C的右支上的一个动点，O为坐标原点，则（）A.双曲线C的焦距为4B.直线与双曲线C的左､右两支各有一个交点C.的面积的最小值为1D.〖答案〗ACD〖解析〗对于A，因为，所以，则，又，所以，双曲线的焦距，故A正确；对于B，由知，，双曲线渐近线方程为，则直线的斜率为，所以直线与双曲线的右支有两个交点，故B错误；对于C，因为，设直线与双曲线右支相切，联立，消去，得，则，解得或者（舍去），则直线与之间的距离为，所以的面积最小值为，故正确；对于D，以为直径的圆的方程为，由可知，直线与双曲线右支的切点为，此时，其圆心到直线的距离为，又直线与两平行线之间的距离为1，所以切点到圆心的距离大于1，即双曲线上的点都在圆外，所以，故D正确.故选：ACD.三､填空题12.在的展开式中，的一次项的系数为___________（用数字作答）.〖答案〗〖解析〗因为的展开通项公式为，所以的一次项的系数为.故〖答案〗为：.13.已知F为抛物线C：的焦点，O为坐标原点，过F且斜率为1的直线交抛物线C于A，B两点，直线，分别交抛物线C的准线于P，Q两点，若，，则___________.〖答案〗6〖解析〗设，则，同理，设直线，联立直线与抛物线，可得，，则，所以.故〖答案〗为：6.14.已知函数，记函数，的值域分别为，若，则的取值范围是___________.〖答案〗〖解析〗因为，则，当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，取得极小值，也是最小值，所以，当时，，不符合题意，当，即时，令，则，，因为，所以必有，显然不可能有，否则，不符合题意，所以，解得，所以的取值范围是.故〖答案〗为：.四､解答题15.2023年8月8日是我国第15个“全民健身日”，设立全民健身日（FitnessDay）是适应人民群众体育的需求，促进全民健身运动开展的需要.某学校为了提高学生的身体素质，举行了跑步竞赛活动，活动分为长跑､短跑两类项目，且该班级所有同学均参加活动，每位同学选择一项活动参加.长跑短跑男同学3010女同学10若采用分层抽样按性别从该班级中抽取6名同学，其中有男同学4名，女同学2名.（1）求的值以及该班同学选择长跑的概率；（2）依据小概率值的独立性检验，能否推断选择跑步项目的类别与其性别有关？附：，其中.0.050.010.0013.8416.63510.828解：（1）因为采用分层抽样按性别从该班级中抽取6名同学，其中有男同学4名，女同学2名，所以男女同学的比例为，则，故，该班同学选择长跑的概率为.（2）依题意，完善列联表，如下，长跑短跑总计男同学301040女同学101020总计402060零假设选择跑步项目类别与学生性别无关，根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断出不成立，因此可以认为成立，即认为选择跑步项目类别与学生性别无关.16.设各项都不为0数列的前项积为，，.（1）求数列通项公式；（2）保持数列中各项顺序不变，在每两项与之间插入一项（其中），组成新的数列，记数列的前项和为,若，求的最小值.解：（1）因为，当时，，两式相除可得，因为，所以，又，所以.（2）依题意，，易知随着增大而增大，当时，，当时，，而综上，的最小值为.17.在三棱台中，为等边三角形，，平面，分别为，的中点，（1）证明：平面平面；（2）若，设为线段上的动点，求与平面所成的角的正弦值的最大值.（1）证明：在三棱台中，，为的中点，所以，且，则四边形为平行四边形，所以，又平面平面，所以平面，因为分别为，的中点，所以，又平面平面，所以平面，因为平面平面，所以平面平面；（2）解：连接，因为平面，且平面，所以平面平面，因为为等边三角形，为的中点，所以，又平面平面平面，所以平面，又平面，所以，又平面，所以平面，又平面，则，故四边形为正方形，，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，则，，，不妨设，则，设平面的一个法向量为，则，得，令，可得，则，当且仅当时取“=”，所以与平面所成角的正弦值的最大值为.18.已知函数，.（1）当时，求的单调区间；（2）当时，记的极小值点为，证明：存在唯一零点，且.（参考数据：）（1）解：当时，，设，则，当时，单调递增；当时，单调递减，当时，取得极大值，所以，即，所以的单调递减区间为，无单调递增区间；（2）证明：，设，则，当时，，所以单调递增，，所以存在，使得，当时，单调递减；当时，单调递增，又且时，，所以存在唯一，使得，存在唯一零点.要证，只需证，即证，因，所以，设，则，令，解得，当时，单调递增；当时，单调递减，当时，取得极大值，所以，即成立，命题得证.19.已知椭圆：的离心率为，为坐标原点，，为椭圆C的左､右焦点，点P在椭圆C上（不包括端点），当时，的面积为，（1）求椭圆C的标准方程；（2）设点，，直线，分别与椭圆C交于异于点P的M､N两点，记直线，的斜率分别为，，求的值，解：（1）当时，将代入椭圆方程可得，解得，由题意得，解得，所以的方程为.（2）设，由于，在椭圆的内部，所以直线都与椭圆有两个交点，由于在椭圆上，所以，直线，直线，联立，消去整理可得，所以，故，则，故，联立，消去整理可得，所以，故，则，故，故，又，所以.河北省金科大联考2024届高三下学期3月质量检测数学试题一､选择题1.设集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，解得，所以，因为，所以，故.故选：A.2.已知随机变量服从，若，则（）A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5〖答案〗C〖解析〗由题意可得，所以.故选：C.3.已知为复数，若为实数，则复数在复平面内对应的点的轨迹方程为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗设，则，因为为实数，所以.故选：D.4.设等差数列的前项和为，若，，则（）A.34 B.35 C.36 D.38〖答案〗B〖解析〗因为是等差数列，设其公差为，因，则，所以，则，所以，.故选：B.5.的值为（）A.1 B. C. D.2〖答案〗C〖解析〗.故选：C.6.实验课上，小明将一个小球放置在圆柱形烧杯口处固定（烧杯口支撑着小球），观察到小球恰好接触到烧杯底部，已知烧杯的底面半径为2，小球的表面积为，若烧杯的厚度不计，则烧杯的侧面积为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设小球的半径为，则，解得，设圆柱的高为，由勾股定理可得，解得或（舍去），所以烧杯的侧面积为.故选：D.7.已知是定义域为的偶函数，当时，，若有且仅有3个零点，则关于的不等式的解集为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因为为偶函数，有且仅有3个零点，所以，即，解得，此时当时，，所以的零点为，满足题意，又当时，，，由，得，即，解得，又为偶函数，所以的解集为，故选：A.8.已知圆O的半径为1，A，B，C为圆O上三点，满足，则的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依题意，取的中点为，则，，，所以，因为，所以.故选：B.二､选择题9.潮汐现象是地球上的海水受月球和太阳的万有引力作用而引起的周期性涨落现象.某观测站通过长时间观察，发现某港口的潮汐涨落规律为（其中，），其中y（单位：）为港口水深，x（单位：）为时间，该观测站观察到水位最高点和最低点的时间间隔最少为，且中午12点的水深为，为保证安全，当水深超过时，应限制船只出入，则下列说法正确的是（）A.B.最高水位为12C.该港口从上午8点开始首次限制船只出入D.一天内限制船只出入的时长为〖答案〗AC〖解析〗对于A，依题意，所以，故A正确；对于B，当时，，解得，所以最高水位为10m，故B错误；对于CD，由上可知，令，解得或者，所以从上午8点开始首次开放船只出入，一天内开放出入时长为8h，故C正确，D错误.故选：AC.10.已知圆锥的侧面展开图为一个半圆，为底面圆的一条直径，，B为圆O上的一个动点（不与A，C重合），记二面角为，为，则（）A.圆锥的体积为B.三棱锥的外接球的半径为C.若，则平面D.若，则〖答案〗ACD〖解析〗设底面半径为，母线长为，则，即，由，则，则，所以圆锥的体积为，故A正确；设三棱锥外接球的球心为，在上，设球的半径为，则中，，解得：，故B错误；如下图，取的中点，连结,因为，，所以，，所以，若，则，即，所以是等腰直角三角形，所以，因为平面，平面，所以，且，平面，所以平面，故C正确；如上图，，，因为，所以，则，即则，且，所以，则所以，故D正确.故选：ACD.11.已知，为双曲线：的左､右焦点，点满足，N为双曲线C的右支上的一个动点，O为坐标原点，则（）A.双曲线C的焦距为4B.直线与双曲线C的左､右两支各有一个交点C.的面积的最小值为1D.〖答案〗ACD〖解析〗对于A，因为，所以，则，又，所以，双曲线的焦距，故A正确；对于B，由知，，双曲线渐近线方程为，则直线的斜率为，所以直线与双曲线的右支有两个交点，故B错误；对于C，因为，设直线与双曲线右支相切，联立，消去，得，则，解得或者（舍去），则直线与之间的距离为，所以的面积最小值为，故正确；对于D，以为直径的圆的方程为，由可知，直线与双曲线右支的切点为，此时，其圆心到直线的距离为，又直线与两平行线之间的距离为1，所以切点到圆心的距离大于1，即双曲线上的点都在圆外，所以，故D正确.故选：ACD.三､填空题12.在的展开式中，的一次项的系数为___________（用数字作答）.〖答案〗〖解析〗因为的展开通项公式为，所以的一次项的系数为.故〖答案〗为：.13.已知F为抛物线C：的焦点，O为坐标原点，过F且斜率为1的直线交抛物线C于A，B两点，直线，分别交抛物线C的准线于P，Q两点，若，，则___________.〖答案〗6〖解析〗设，则，同理，设直线，联立直线与抛物线，可得，，则，所以.故〖答案〗为：6.14.已知函数，记函数，的值域分别为，若，则的取值范围是___________.〖答案〗〖解析〗因为，则，当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，取得极小值，也是最小值，所以，当时，，不符合题意，当，即时，令，则，，因为，所以必有，显然不可能有，否则，不符合题意，所以，解得，所以的取值范围是.故〖答案〗为：.四､解答题15.2023年8月8日是我国第15个“全民健身日”，设立全民健身日（FitnessDay）是适应人民群众体育的需求，促进全民健身运动开展的需要.某学校为了提高学生的身体素质，举行了跑步竞赛活动，活动分为长跑､短跑两类项目，且该班级所有同学均参加活动，每位同学选择一项活动参加.长跑短跑男同学3010女同学10若采用分层抽样按性别从该班级中抽取6名同学，其中有男同学4名，女同学2名.（1）求的值以及该班同学选择长跑的概率；（2）依据小概率值的独立性检验，能否推断选择跑步项目的类别与其性别有关？附：，其中.0.050.010.0013.8416.63510.828解：（1）因为采用分层抽样按性别从该班级中抽取6名同学，其中有男同学4名，女同学2名，所以男女同学的比例为，则，故，该班同学选择长跑的概率为.（2）依题意，完善列联表，如下，长跑短跑总计男同学301040女同学101020总计402060零假设选择跑步项目类别与学生性别无关，根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断出不成立，因此可以认为成立，即认为选择跑步项目类别与学生性别无关.16.设各项都不为0数列的前项积为，，.（1）求数列通项公式；（2）保持数列中各项顺序不变，在每两项与之间插入一项（其中），组成新的数列，记数列的前项和为,若，求的最小值.解：（1）因为，当时，，两式相除可得，因为，所以，又，所以.（2）依题意，，易知随着增大而增大，当时，，当时，，而综上，的最小值为.17.在三棱台中，为等边三角形，，平面，分别为，的中点，（1）证明：平面平面；（2）若，设为线段上的动点，求与平面所成的角的正弦值的最大值.（1）证明：在三棱台中，，为的中点