2022-2023学年湖南省株洲市炎陵县高一下学期期中数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2湖南省株洲市炎陵县2022-2023学年高一下学期期中数学试题一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.的值是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗.故选：D.2.已知集合，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由得，故.故选：B.3.已知向量，，且，那么（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，，且，所以，解得.故选：C.4.下列函数在定义域内是偶函数的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗图象不关于y轴对称，A不符合；的图象关于y轴对称，B符合；定义域为不关于原点对称，C不符合；的图象关于原点中心对称，即为奇函数，D不符合.故选：B.5.已知，是方程的两根，那么（）A.1 B.2 C.-1 D.-2〖答案〗C〖解析〗因为，是方程的两根，所以，所以.故选：C.6.已知函数，为了得到函数的图象，只需（）A.将函数图象上所有的点向左平移个单位B.将函数图象上所有的点向右平移个单位C.将函数图象上所有的点向左平移个单位D.将函数图象上所有的点向右平移个单位〖答案〗B〖解析〗由题设，即只需将图象上所有的点向右平移个单位.故选：B.7.如图所示，为测一树的高度，在地面上选取、两点，从、两点分别测得树尖的仰角为、，且、两点之间的距离为，则树的高度为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗在，，，，又，由正弦定理得：，，树的高度为(m).故选：A．8.定义域为的函数满足以下条件:①；②；③.则不等式解集是()A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗如图：由条件①可得函数f(x)为(0，+∞)上的增函数，由②可得函数为奇函数，再由③可得函数的图象过点(−3，0)、(3，0)，故由不等式x⋅f(x)<0可得：当x>0时，f(x)<0；当x<0时，f(x)>0，结合函数f(x)的简图可得不等式的解集为.故选：D.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.下列说法正确的是（）A.“”的否定是“”B.“”是“”的充要条件C.若，则D.已知则的最小值为〖答案〗ACD〖解析〗A：由全称命题的否定知：原命题的否定为，对；B：满足，但不满足，错；C：由在定义域上递增，又，则，对；D：，当且仅当时等号成立，故的最小值为，对.故选：ACD.10.设的内角的对边分别为，若则的值可以是（）A. B. C. D.〖答案〗CD〖解析〗因为，所以，又因为，，所以或.故选：CD.11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.函数的最小正周期为B.函数的最大值为C.函数的图象的一条对称轴D.是奇函数〖答案〗BC〖解析〗，对于A，，故A错误；对于B，因为，则，所以，故B正确；对于C，当时，则，由正弦函数的对称轴为，故C正确；对于D，，不是奇函数，故D错误.故选：BC.12.八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2的正八边形ABCDEFGH，其中，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.在上的投影向量为〖答案〗ACD〖解析〗因八卦图为正八边形，故每边所对中心角为，，A选项正确；，B选项错误；，，，C选项正确；在上的投影向量为，D选项正确.故选：ACD.三、填空题（本题共4小题，每小题5分.把〖答案〗填在题中的横线上.）13.已知向量，若则_______.〖答案〗3〖解析〗，，所以，解得.故〖答案〗为：.14.已知函数的零点是2，则_______.〖答案〗3〖解析〗由题意得，解得.故〖答案〗为：3.15.如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则________.〖答案〗〖解析〗连接，如图所示：，所以.故〖答案〗为：.16.若函数的图象过点，在上有且只有两个零点，则的取值范围是______．〖答案〗〖解析〗因为函数的图象过点，所以，即，又因，所以，对于，由，得，因为在上有且只有两个零点，所以，解得，所以的取值范围是.故〖答案〗为：.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在中，内角所对的边分别为．已知（1）求的值；（2）求的值及的面积．解：（1）因为，由余弦定理知：，则.（2）由且A为三角形内角，则，又，所以，18.已知向量与的夹角为60°，＝1，．（1）求及；（2）求.解：（1）由题设，则（2）由，所以.19.已知角（1）求的值；（2）若求的值．解：（1）因为，所以，所以，所以.（2）由（1）知，因为，，所以所以的值为.20.已知.（1）求的单调增区间；（2）当时，求的值域.解：（1）；令，整理得，故函数的单调递增区间为.（2）因为，所以；所以，所以21.《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块四边形的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将连接，经测量，.（1）霍尔顿发现无论多长，为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值；（2）霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关，记与的面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求的最大值.解：（1）在中，由余弦定理得，即，在中，由余弦定理得，即，所以，即，所以无论多长，.（2），，则，由（1）知，，即，代入上式，得，配方得，当时，取到最大值为.22.已知函数，.（1）判断并证明在上的单调性；（2）当时，都有成立，求实数的取值范围；（3）若方程在上有个实数解，求实数的取值范围.解：（1）证明：任取、且，则，所以，，，所以，函数在上为增函数.（2）当时，令，则，则，由可得，因为函数在上单调递增，所以，，所以，实数的取值范围是.（3）对任意的，，所以，函数为偶函数，由（1）可知，函数在上为增函数，则该函数在上为减函数，令，当时，，则，由可得，令，则函数在上有两个不等的零点，所以，，解得，因此，实数的取值范围是.湖南省株洲市炎陵县2022-2023学年高一下学期期中数学试题一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.的值是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗.故选：D.2.已知集合，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由得，故.故选：B.3.已知向量，，且，那么（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，，且，所以，解得.故选：C.4.下列函数在定义域内是偶函数的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗图象不关于y轴对称，A不符合；的图象关于y轴对称，B符合；定义域为不关于原点对称，C不符合；的图象关于原点中心对称，即为奇函数，D不符合.故选：B.5.已知，是方程的两根，那么（）A.1 B.2 C.-1 D.-2〖答案〗C〖解析〗因为，是方程的两根，所以，所以.故选：C.6.已知函数，为了得到函数的图象，只需（）A.将函数图象上所有的点向左平移个单位B.将函数图象上所有的点向右平移个单位C.将函数图象上所有的点向左平移个单位D.将函数图象上所有的点向右平移个单位〖答案〗B〖解析〗由题设，即只需将图象上所有的点向右平移个单位.故选：B.7.如图所示，为测一树的高度，在地面上选取、两点，从、两点分别测得树尖的仰角为、，且、两点之间的距离为，则树的高度为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗在，，，，又，由正弦定理得：，，树的高度为(m).故选：A．8.定义域为的函数满足以下条件:①；②；③.则不等式解集是()A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗如图：由条件①可得函数f(x)为(0，+∞)上的增函数，由②可得函数为奇函数，再由③可得函数的图象过点(−3，0)、(3，0)，故由不等式x⋅f(x)<0可得：当x>0时，f(x)<0；当x<0时，f(x)>0，结合函数f(x)的简图可得不等式的解集为.故选：D.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.下列说法正确的是（）A.“”的否定是“”B.“”是“”的充要条件C.若，则D.已知则的最小值为〖答案〗ACD〖解析〗A：由全称命题的否定知：原命题的否定为，对；B：满足，但不满足，错；C：由在定义域上递增，又，则，对；D：，当且仅当时等号成立，故的最小值为，对.故选：ACD.10.设的内角的对边分别为，若则的值可以是（）A. B. C. D.〖答案〗CD〖解析〗因为，所以，又因为，，所以或.故选：CD.11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.函数的最小正周期为B.函数的最大值为C.函数的图象的一条对称轴D.是奇函数〖答案〗BC〖解析〗，对于A，，故A错误；对于B，因为，则，所以，故B正确；对于C，当时，则，由正弦函数的对称轴为，故C正确；对于D，，不是奇函数，故D错误.故选：BC.12.八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2的正八边形ABCDEFGH，其中，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.在上的投影向量为〖答案〗ACD〖解析〗因八卦图为正八边形，故每边所对中心角为，，A选项正确；，B选项错误；，，，C选项正确；在上的投影向量为，D选项正确.故选：ACD.三、填空题（本题共4小题，每小题5分.把〖答案〗填在题中的横线上.）13.已知向量，若则_______.〖答案〗3〖解析〗，，所以，解得.故〖答案〗为：.14.已知函数的零点是2，则_______.〖答案〗3〖解析〗由题意得，解得.故〖答案〗为：3.15.如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则________.〖答案〗〖解析〗连接，如图所示：，所以.故〖答案〗为：.16.若函数的图象过点，在上有且只有两个零点，则的取值范围是______．〖答案〗〖解析〗因为函数的图象过点，所以，即，又因，所以，对于，由，得，因为在上有且只有两个零点，所以，解得，所以的取值范围是.故〖答案〗为：.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在中，内角所对的边分别为．已知（1）求的值；（2）求的值及的面积．解：（1）因为，由余弦定理知：，则.（2）由且A为三角形内角，则，又，所以，18.已知向量与的夹角为60°，＝1，．（1）求及；（2）求.解：（1）由题设，则（2）由，所以.19.已知角（1）求的值；（2）若求的值．解：（1）因为，所以，所以，所以.（2）由（1）知，因为，，所以所以的值为.20.已知.（1）求的单调增区间；（2）当时，求的值域.解：（1）；令，整理得，故函数的单调递增区间为.（2）因为，所以；所以，所以21.《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块四边形的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将连接，经测量，.（1）霍尔顿发现无论多长，为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值；（2）霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关，记与的面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求的最大值.解：（1）在中，由余弦定理得，即，在中，由余弦定理得，即，所以，即，所以无论多长，.（2），，则，由（1