第10章《分式》知识讲练（教师版）【培优课堂】 沪教版（上海五四制）数学七年级上册章节复习讲义（导图+知识点+新题拔高卷）

2023-2024学年沪教版数学七年级上册章节知识讲练知识点01：分式的有关概念及性质1．分式一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式才有意义.2.分式的基本性质

（M为不等于0的整式）.

3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简.知识点02：分式的运算1．约分利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.2．通分利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．3．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算QUOTE；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.（2）乘法运算，其中是整式，.两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算，其中是整式，.两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘.（4）乘方运算分式的乘方，把分子、分母分别乘方。

4．零指数

.

5.负整数指数

6.分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.知识点03：分式方程1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题(1)增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根---增根；(2)验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解.知识点04：分式方程的应用

列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解.一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2021秋•金山区期末）如果将分式中的x和y都扩大到原来的4倍，那么分式的值（）A．不变 B．扩大到原来的4倍 C．扩大到原来的8倍 D．扩大到原来的16倍解：用4x和4y代替式子中的x和y得：＝4×则分式的值扩大为原来的4倍．故选：B．2．（2分）（2021秋•奉贤区期末）使分式有意义的x的取值范围是（）A．x＝2 B．x≠2 C．x＝﹣2 D．x≠0解：∵分式有意义，∴2x﹣4≠0，即x≠2．故选：B．3．（2分）（2021秋•浦东新区期末）下列说法正确的是（）A．若A、B表示两个不同的整式，则一定是分式 B．如果将分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值不变 C．单项式23ab是5次单项式 D．若3m＝5，3n＝4，则3m﹣n＝解：A、若A、B表示两个不同的整式，则不一定是分式，故A不符合题意．B、如果将分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值变为原来3倍，故B不符合题意．C、单项式23ab是2次单项式，故C不符合题意．D、若3m＝5，3n＝4，则3m﹣n＝，故D符合题意．故选：D．4．（2分）（2022秋•浦东新区校级期末）下列分式中，是最简分式的是（）A． B． C． D．解：A、原式＝＝x+2，不符合题意；B、原式＝＝，不符合题意；C、原式＝＝x+y，不符合题意；D、原式为最简分式，符合题意．故选：D．5．（2分）（2022秋•嘉定区校级期末）计算（﹣a）2÷的结果为（）A．﹣1 B．1 C．﹣a2 D．a2解：原式＝a2÷a•＝a•＝1．故选：B．6．（2分）（2021秋•普陀区期末）下列对于分式的变形，其中一定成立的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝解：A、≠，故A不符合题意；B、＝＝，故B符合题意；C、＝，故C不符合题意；D、≠，故D不符合题意；故选：B．7．（2分）（2022秋•虹口区校级期中）若分式中x和y的值都扩大5倍，那么分式的值（）A．扩大5倍 B．不变 C．缩小5倍 D．以上都不对解：由分式中的x和y的值都扩大5倍，得＝5×，故选：A．8．（2分）（2021秋•浦东新区期末）下列约分正确的是（）A．＝x3 B．＝x+y C．＝ D．＝﹣解：A.＝x4，故此选项不符合题意；B.的分子分母中不含有公因式，不能进行约分，故此选项不符合题意；C.的分子分母中不含有公因式，不能进行约分，故此选项不符合题意；D.＝＝﹣，正确，故此选项符合题意；故选：D．9．（2分）（2022秋•宝山区校级期末）下列各式是最简分式的是（）A． B． C． D．解：A、是最简分式，故本选项符合题意；B、＝，不是最简分式，故本选项不符合题意；C、＝，不是最简分式，故本选项不符合题意；D、＝＝，不是最简分式，故本选项不符合题意；故选：A．10．（2分）（2021秋•宝山区期末）已知分式的值为，如果把分式中的a、b同时扩大为原来的3倍，那么新得到的分式的值为（）A． B． C． D．解：因为a、b同时扩大为原来的3倍后变为3a，3b，所以＝＝，∵分式的值为，∴＝3•＝3×＝，故选：C．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2022秋•宝山区校级期末）当x＝﹣1时，分式的值为0．解：∵分式的值为0，∴x2﹣1＝0且（x﹣1）（3x+4）≠0，解得：x＝±1且x≠1，，∴x＝﹣1，故答案为：﹣1．12．（2分）（2022秋•徐汇区期末）x＝1时，分式无意义，则a＝2．解：根据题意，得当x＝1时，分母x2+x﹣a＝0，∴1+1﹣a＝0，解得，a＝2．故答案为：2．13．（2分）（2022秋•嘉定区校级期末）将﹣3x﹣2y3写成只含有正整数指数幂的形式：﹣3x﹣2y3＝﹣．解：将代数式﹣3x﹣2y3表示为只含有正整数指数幂的形式：﹣3x﹣2y3＝﹣．故答案为：﹣．14．（2分）（2022秋•徐汇区期末）将3x﹣3（x﹣y）﹣1表示成只含有正整数的指数幂形式为．解：3x﹣3（x﹣y）﹣1＝．故答案为：．15．（2分）（2022秋•青浦区校级期末）如果关于x的分式方程＝1的解为正数，那么a的取值范围是a＜2且a≠﹣6．解：∵＝1，∴3x+a＝2﹣x，∴4x＝2﹣a，∴x＝．∵原分式方程的解为正数，∴＞0，且≠2，解得：a＜2且a≠﹣6，∴a的取值范围为a＜2且a≠﹣6．故答案为：a＜2且a≠﹣6．16．（2分）（2022秋•宝山区校级期中）设实数a，b，c满足a+b+c＝3，a2+b2+c2＝4，则＝9．解：由a2+b2+c2＝4，得到a2+b2＝4﹣c2，b2+c2＝4﹣a2，a2+c2＝4﹣b2，且a+b+c＝3，代入原式：，＝++，＝2+a+2+b+2+c＝6+（a+b+c）＝6+3＝9．故答案为：9．17．（2分）（2022•闵行区校级开学）xn﹣1y+（3﹣n）xyn﹣2﹣nxn﹣3y+4xn﹣4y3﹣mx2yn﹣4+（n﹣3）是关于x与y的五次三项式，则（﹣）5＝1．解：原多项式是一个五次三项式，最高项是xn﹣1y，∴n﹣1+1＝5，∴n＝5，∴原式＝x4y﹣2xy3﹣5x2y+4xy3﹣mx2y+2＝x4y+（﹣2xy3+4xy3）﹣（5x2y+mx2y）+2＝x4y+2xy3﹣（5+m）x2y+2，∴﹣（m+5）＝0∴m＝﹣5，∴（﹣）5＝，故答案为：1．18．（2分）（2023春•杨浦区期中）已知x为实数，若x2+﹣5（x+）+8＝0，那么x+的值为2或3．解：设x+＝a，则x2+＝a2﹣2，∵x2+﹣5（x+）+8＝0，∴a2﹣2﹣5a+8＝0，解得：a＝2或3，∴x+的值为2或3．故答案为：2或3．19．（2分）（2021秋•宝山区期末）如果关于x的方程无解，那么k＝2．解：去分母得：x+2x﹣4＝k，由分式方程无解，得到x﹣2＝0，即x＝2，把x＝2代入整式方程得：k＝2，故答案为：2．20．（2分）（2022秋•虹口区校级期中）在分式，，，，中，最简分式有1个．解：＝＝，是最简分式，＝＝m﹣n，＝＝，＝＝﹣1，所以最简分式只有1个，故答案为：1．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2022秋•嘉定区校级期末）如表，小琪的作业本上有这样一道填空题，其中有一部分被墨水污染了，若把污染的部分记为代数式A，若该题化简的结果为．（1）求代数式A；（2）该题化简的结果能等于吗？为什么？化简：÷的结果为____．解：（1）÷＝（x+3）＝，∴A＝x﹣4．（2）令＝，解得：x＝4，原分式有意义时，x不能取±3，此时分式的值为0，故化简结果不可以等于．22．（6分）（2022秋•浦东新区校级期末）计算：（1）；（2）．解：（1）原式＝••＝；（2）原式＝+﹣＝＝．23．（8分）（2022•闵行区校级开学）已知，求：（1）；（2）（）2﹣的值．解：∵，∴4x﹣2y＝2x+3y，∴2x＝5y，∴x＝y，（1）原式＝＝，（2）原式＝（）2﹣＝﹣1＝．24．（8分）（2022秋•宝山区校级期末）阅读下列材料：分式可以化为分母分别为x与x+2且分子都是常数的两个分式的和．为解决这个问题，可设＝+（A、B为常数），由+＝，可得＝，由此可得解得所以＝+，像这样的方法叫待定系数法．请用待定系数法将化为分母分别为3x+5与2x﹣1且分子都是常数的两个分式的和．解：设＝+，∵+＝，∴＝，∴，解得，∴＝+．25．（8分）（2022秋•嘉定区校级期末）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．例：已知：，求代数式的值．解：因为，所以，即，所以，所以．材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求的值．解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0）则，，，所以．根据材料解答问题：（1）已知，求的值．（2）已知，abc≠0，求的值．解：（1）∵＝，∴＝5，∴＝5，即x﹣1+＝5，∴x+＝6；（2）令＝k，∴a＝5k，b＝4k，c＝3k，∴原式＝，＝2.4．26．（8分）（2022秋•青浦区校级期末）先化简后求值：，其中．解：＝＝＝＝＝＝2（3+x）＝6+2x，当时，原式＝＝6+2×（﹣2）＝6﹣4＝2．27．（8分）（2022秋•闵行区校级期末）先化简，后求值：，然后在0，1，2三个数中选一个适合的数，代入求值．解：原式＝（﹣）÷＝÷＝•＝，∵x﹣1≠0且x﹣2≠0，∴x≠1且x≠2，∴x＝0，则原式＝1．28．（8分）（2020秋•静安区期末）阅读下列材料，解决问题：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以考虑逆用分数（分式）的加减法，将假分数（分式）拆分成一个整数（或整式）与一个真分数和（或差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称为分离整数法，此法在处理分式或整除问