2021版物理人教版选择性必修第一册教学案：2单摆

4单摆

5实验：用单摆测量重力加速度

教材要点导学

知识结构图解重点问题聚焦

1.实际摆看成单摆的条件是什么？单摆

111的回复力是由什么力提供的？单摆的振动在

摩―女力1用单提测

比甫:力加什么情况下可以看成简谐运动？

组成:摆周期公式速度

线、质点［比］睡1简谐运动2.单摆的周期公式是什么？在实际问题

的条件7=2■区

中如何确定单摆的摆长和重力加速度？

•课前自主学习-

一、单摆

1.由细线和小球组成,如果细线的长度不可改变，细线的质量与

小球的质量相比可以忽略，球的直径与线的长度相比也可以忽略.忽

略摆动过程中所受阻力的作用，是理想化模型.

2.单摆的回复力

(1)回复力的提供：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力.

(2)回复力的特点：在偏角很小时，单摆所受的回复力和它偏离平

衡位置的位移大小成正比，方向总是指向平衡位置，即方=一端.

(3)运动规律：单摆在偏角很小时做简谐运动,其振动图像遵循正

弦函数规律.

戏点I训

结合单摆模型的特点想一想，下列装置能否视为单摆？为什么？

铁球乒乓球大木球

(1)(2)(3)

提示：都不能，(1)中橡皮筋的伸缩不能忽略；(2)(3)中乒乓球和大

木球摆动时，空气阻力不能忽略且乒乓球的质量与绳相比、大木球的

直径与绳长相比也不能忽略.

二'单摆的周期

1.荷兰物理学家惠里斯确定了计算单摆周期的公式T=27rJ|,

其中I表示摆长,弁表示当地的重力加速度.由公式可以看出单摆的周

期与摆球质量无关，在振幅较小时与振幅无关.

2.由单摆周期公式可得g=竽，只要测出单摆的摆长

和周期,就可以求出当地的重力加速度.

观副闻2

机械摆钟是单摆做简谐运动的一个典型应用，其走时快慢是由摆

钟的周期决定的.如果有条件，可以拆开摆钟看看，在分析其原理后,

说明如何调整其走时快慢.

提示：机械摆钟工作是以钟摆完成一定数量的全振动，从而带动

分针、时针转动实现的，因此摆钟振动的周期就反映了摆钟走时的快

慢.钟摆振动的频率与时间有关，它振动的周期越长，在一定时间内

全振动的次数就越少，摆钟显示的时间走得就越慢.因此，如果摆钟

变快，其振动频率也加大，振动周期变小了，所以要恢复正常，应该

增大其摆长；如果摆钟走时变慢，其振动频率也变小，振动周期变大

了，所以要恢复正常，应该减小其摆长.

三、用单摆测量重力加速度

1.原理

由丁=2%©得g=挈.所以，只要测出单摆的摆长和周期，就可

计算出当地的重力加速度.

2.器材

铁架台及铁夹，金属小球(有孔)、停表、细线(1m左右)、刻度尺、

游标卡尺.

3.实验步骤

(1)让细线穿过球上的小孔，在细线的穿出端打一个稍大一些的线

结，制成一个单摆.

(2)将铁夹固定在铁架台上端，铁架台放在实验桌边，使铁夹伸出

桌面之外，然后把单摆上端固定在铁夹上，使摆球自由下垂.在单摆

平衡位置处做上标记.

(3)用刻度尺量出悬线长7,用游标卡尺测出摆球的直径d,然后

计算出悬点到球心的距离/=/+f,即为摆长.

(4)把此单摆从平衡位置拉开一个角度，并使这个角度不大于5°,

再释放小球.当摆球摆动稳定以后，经过最低位置时，用停表开始计

时，测量单摆全振动30次(或50次)的时间，求出一次全振动的时间，

即单摆的振动周期.

(5)改变摆长，反复测量几次，将数据填入表格.

4.数据处理

方法1：平均值法：将每次测出的周期T及测得的摆长/代入公式

g=写,求出重力加速度的值，然后求g的平均值.

方法2：图像法：对表格中列出的数据进行整理，以F为纵轴，

以/为横轴建立直角坐标系，作出T2-l图像,根据图像可以求得斜率k,

,l4加2

则n

温馨提示：1.选择材料时应选择细而不易伸长的线，比如用单根尼

龙丝、丝线等，长度一般不应短于1m,小球应选用密度较大的金属

球，直径应较小，最好不超过2cm.

2.摆动时控制摆线偏离竖直方向的角度不大于5。.

3.摆球摆动时，要使之保持在同一竖直平面内，不要形成圆锥摆.

4.计算单摆的振动次数时，应从摆球通过最低位置时开始计时,

要测多次(如30次或50次)全振动的时间，用取平均值的办法求周期.

倒•课堂考点演练«/

考点一单摆

［考点解读］

1.定义：如右图所示，在一根长细线下悬挂一个小球，如果细线

的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线的长度相比也可以忽略，

这样的装置就叫作单摆，它是实际摆的理想化模型.

2.实际摆看成单摆的条件

(1)悬线的形变量与悬线长度相比小得多.悬线的质量与摆球质量

相比小得多.这时可把悬线看成是不可伸长且没有质量的细线.

⑵摆球的大小与悬线长度相比小得多，这时可把摆球看成是没有

大小只有质量的质点.

【方法指导】理想模型法

为了满足上述条件及尽量减小空气阻力的影响，组成单摆的摆球

应选择质量大而体积小的球，线应尽量选择细而轻且弹性小的线.单

摆是实际摆的理想化模型.

3.摆长和最大偏角

⑴摆长：摆球重心到摆动圆弧圆心的距离/=，（）+£.（其中跖为细线

长，£为小球半径）

（2）最大偏角：摆球摆到最高点时，细线与竖直方向的夹角为以

［考点例析］

【例1】下图中的各种摆的模型，哪种或哪些是单摆？

。OO

①②③④⑤

隹【审题指导】

单摆是理想的模型，忽略绳子的质量和伸缩，忽略小球的直径.

【解析】①的悬绳是粗绳，绳的质量不可忽略，不是单摆；

②的悬绳是橡皮筋，伸缩不可忽略，不是单摆；

③的悬绳长度不是远大于球的直径，不是单摆；

④是单摆；

⑤的上端没有固定，也不是单摆.

【答案】④是单摆

（多选）单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型,其理想化条件是

（ABC）

A.摆线质量不计

B.摆线长度不伸缩

C.摆球的直径比摆线长度短得多

D.只要是单摆的运动就是一种简谐运动

解析：单摆由摆线和摆球组成，摆线只计长度不计质量，摆球只

计质量不计大小，且摆线不伸缩，A、B、C正确.但把单摆作为简谐

运动来处理是有条件的，只有在摆角很小（夕＜5。）的情况下才能视单摆运

动为简谐运动.

考点二单摆的回复力

［考点解读］

1.单摆的平衡位置

如右图所示，摆球静止在0点时，悬线竖直下垂，摆球所受到的

重力G与悬线的拉力方平衡，合力为零，小球保持静止，所以。点是

单摆的平衡位置.

2.单摆的回复力

⑴如上图所示，摆球运动到某点P时，摆球受重力G和绳子拉力

F'两个力作用，将重力沿切向、径向正交分解，则绳子的拉力，与

重力的径向分量Gi的合力提供了摆球做圆周运动所需要的向心力，而

重力的切向分力?则提供了摆球振动所需要的回复力F=mgsinO.

单摆的回复力不是由合力提供的.

⑵单摆在摆角很小时做简谐运动

设单摆的摆长为I,在最大偏角e很小的条件下，摆球对。点的

位移X的大小与e角所对应的弧长。尸、夕角所对应的弦长0P都近似相

等，即x=。尸=QP,

单摆做简谐运动是有条件的.

标*

若摆角。用弧度表示，则由数学关系知sin%9=7奇，则重

力沿切向的分力F=mgsinO^m^j,

令k=呼,则尸=依，因为方的方向与x方向相反，故尸=一乙.

由此可见，单摆在摆角很小条件下的振动为简谐运动.

3.单摆的振动图像

我们已经知道，简谐运动的图像是正弦曲线(或余弦曲线)，而在偏

角很小的情况下，单摆做简谐运动，故它的振动图像也是正弦曲线(或

余弦曲线).

［总结提能］»

判断一个振动是不是简谐运动的依据,(1)从动力学角度：F=-kx.

kx

(2)从运动学角度：a=

III/

(3)从位移随时(表达式:％=Asin(a)t+cp)

间变化的角度I图像:正弦或余弦曲线

4.理解单摆的受力和运动特点

(1)摆球以悬挂点为圆心在竖直平面内沿圆弧做变速圆周运动，做

圆周运动需要向心力，向心力由绳子的拉力与重力的径向分力的合力

提供.

（2）摆球以最低点为平衡位置做振动，做振动需要回复力，回复力

由摆球重力的切向分力提供（或者说是由摆球所受合外力沿圆弧的切

向分力提供）.

（3）单摆的运动既有圆周运动，又有简谐运动（摆角很小的情况下）.

①单摆振动的平衡位置：回复力方为零，而合力不为零，此时合

力提供摆球做圆周运动的向心力.

②单摆振动的最大位移处：向心力（〃一GD为零，而合力不为零,

此时合力提供摆球振动的回复力.

［考点例析］

【例2】下列关于单摆的说法，正确的是（）

A.单摆摆球从平衡位置运动到正向最大位移处时的位移为A（A

为振幅），从正向最大位移处运动到平衡位置时的位移为一4

B.单摆摆球的回复力等于摆球所受的合外力

C.单摆摆球的回复力是摆球重力沿圆弧切线方向的分力

D.单摆摆球经过平衡位置时加速度为零

隹【审题指导】

1.单摆的位移是怎样定义的？

2.单摆的回复力是摆球的合力吗？

3.弹簧振子经过平衡位置时加速度多大？

4.单摆摆球经过平衡位置时摆球的加速度是零吗？

【解析】简谐运动中的位移是以平衡位置为起点，摆球在正向

最大位移处时位移为A,在平衡位置时位移应为零，A错；摆球的回

复力由合外力沿圆弧切线方向的分力（等于重力沿圆弧切线方向的分

力）提供，合外力在摆线方向的分力提供向心力，摆球经最低点（振动的

平衡位置）时回复力为零，但向心力不为零，所以合外力不为零（摆球在

最高点时，向心力为零，回复力最大，合外力也不为零），B错，C正

确；单摆经过平衡位置时所受合外力不为零，此时回复力为零，但向

心力不为零，合外力刚好提供向心力，所以此时摆球加速度不为零，

这与弹簧振子有所不同，弹簧振子经过平衡位置时，所受合外力为零,

加速度为零，D错，故正确答案为C.

【答案】C

2

关于单摆，下列说法中正确的是（A）

A.摆球受到的回复力方向总是指向平衡位置

B.摆球受到的回复力是它的合力

C.摆球经过平衡位置时，所受的合力为零

D.摆角很小时，摆球受的合力的大小跟摆球对平衡位置的位移大

小成正比

解析：本题主要考查单摆的受力和回复力，根据回复力的定义知

选项A正确；单摆的回复力除指明在最高点外都不是摆球受力的合力，

但不管在哪个位置均可认为是重力沿轨迹圆弧切线方向的分力，所以

选项B错误；摆球经过平衡位置时，回复力为零，但合力不为零，因

悬线方向上要受向心力，选项C错误，综上所述选项D错误.

考点三单摆的周期

［考点解读］

1.定性实验探究

如图所示：

(1)单摆振动的周期和振幅无关——单摆的等时性

把悬挂在同一高度的两个相同的单摆的摆球拉到不同高度同时释

放，使其做简谐运动.

现象：摆球完成一次全振动所用时间相同.

(2)单摆的周期与摆球质量无关

摆长相同，将质量不同的摆球拉到同一高度同时释放，使其做简

谐运动.

现象：两摆球振动是同步的.

(3)单摆振动的周期和摆长有关

摆长不同，将质量相同的摆球拉到同一高度同时释放使其做简谐

运动.

现象：两摆球振动不同步，而且摆长越长，振动就越慢.

结论：单摆的振动周期与摆球质量无关，在振幅较小时与振幅无

关，与摆长有关.摆长越长，周期越大.

2.定量实验探究——单摆周期与摆长的关系

(1)如图所示，细线的上端固定在铁架台上，下端系一个小钢球，

于是做成了一个单摆.用停表测出单摆做30〜50次全振动的时间，计

算出它的周期，并测出单摆的摆长(用刻度尺量出摆线长度，用游标卡

尺测量摆球的直径，并算出半径，摆线长度与摆球半径之和就是单摆

的摆长).

(2)改变摆长，测量各组不同摆长、周期的数据，把它们填在表格

中.

(3)先通过估算，对周期T与摆长，的定量关系作出猜测，如可能

是m、TP2,或者什3、即，然后按照猜测来确定纵坐标轴

和横坐标轴.例如，如果我们通过简单的估算，认为很可能是78汽

那么可以用纵坐标表示T,横坐标表示也作出图像.如果这样作出的

图像确定是一条过原点的直线，说明的确有78/2的关系，否则再做其

他尝试.

结论：单摆振动的周期T与摆长的二次方根3成正比，即El.

3.单摆的周期公式

由公式可知，单摆振动周期与振幅及摆球质量无关.

荷兰物理学家惠更斯发现在偏角很小的情况下，单摆的周期跟摆

长的二次方根成正比，跟重力加速度的二次方根成反比，而跟摆球的

质量和振幅无关.惠更斯确定了计算单摆周期的公式

式中/为悬点到摆球球心的距离，g为当地的重力加速度.

［总结提能］»

。）伽利略发现了单摆运动的等时性，惠更斯得出了单摆的周期公

式为丁=2八色，并发明了带摆的计时仪器.

（2）周期为2s的单摆，叫作秒摆.

［考点例析］

【例3】已知在单摆a完成10次全振动的时间内，单摆方完成

了6次全振动，两单摆的摆长之差为1.6m,则两单摆的摆长la与h

分别为（）

A.la=2.5m,Zz,=0.9mB.la=Q.9m,lb=2.5m

=

C.la=2.4m,Z/>=4.0mD.Z«4.0m,lb=2.4m

怎【审题指导】

由“、方相同时间内的全振动次数可求周期关系，由周期关系可得

到摆长之比，结合题目给出的摆长之差就可解出摆长.

【解析】设两单摆的周期分别为Ta和Tb,依题意知10方=6A,

据可知，=空，所以lalb=T2瑶=36100,

又，》一L=L6m,贝iJ〃=0.9m,lb=2.5m.

地球上同一位置重力加速度相同，单摆的周期跟摆长的平方根成

正比.

【答案】B

3

如图所示，摆长为L的单摆，若在悬点。的正下方A点固定一颗

钉子，A点距悬点O的距离为刍试求这个单摆完成一次全振动的时间

是多少？

答案：兀21+卯

解析：在摆角很小时，单摆的振动可视为简谐运动，当摆线碰到

钉子时，A点成为“悬点”，单摆的摆长由L变成差.由题意知，T=?

【例4】如图所示，光滑的半球壳半径为K,。点在球心01的正

下方，一小球甲由距。点很近的A点静止放开，£》AO.

.O'

R

A

_____

O

(1)若另一小球乙从球心o'处自由落下，求两球第一次到达0点

的时间比；

(2)若另一小球丙在0点正上方某处自由落下，为使其和甲球在0

点相碰，小球应由多高处自由落下？

隹【审题指导】

1.甲球从A点释放后做什么运动？

2.能否根据运动学知识求出甲球到达0点所用时间？

3.把甲球的运动看成类单摆，等效摆长是什么？

【解析】(1)甲球沿圆弧做简谐运动，它第一次到达。处的时间

为:花

乙球做自由落体运动，到达。处的时间为b

1l'2R

R=2gt2,所以刀/1t2=^2n4.

(2)小球甲从A点由静止释放运动到0点的时间为t=^(2n—l)(n

=1,2,3,…)，由。点正上方自由落下的小球丙到达。点的时间也为/

时两球才能在。点相碰，所以

1,14n2R,(2n—V)2n2R

力=济产(n=l,2,3,-).

▼rg、厂(2〃-1)2712K

【答案】(1)也花4------(〃=1,2,3,…)

就斜魏4

如图所示，小球瓶自A点以向AD方向的初速度。逐渐接近固定

在D点的小球〃.已知A5=0.8m,AB圆弧半径£=10m,AD=10m,

A、B、。、。在同一水平面上，则。为多大时，才能使机恰好碰到小

球〃？(g取10m/s2,不id^一1切摩擦)

答案：.m/s(A:=1,2,3,,,,)

解析：小球桃的运动由两个分运动合成，这两个分运动分别是：

以速度v沿AD方向的匀速直线运动和在圆弧面AB方向上的往复运

动.因为所以小球在圆弧面上的往复运动具有等时性，是类

单摆，其圆弧半径£即为类单摆的摆长.设小球山恰好能碰到小球〃,

则有A7)=我，且满足/=%T(左=1,2,3,…)，又T=2TV\J^,解以上方

程得0=2~111/5(4=1,2,3,,,,).

K7C

【例5]用单摆测定重力加速度的实验装置如图所示.

(1)组装单摆时，应在下列器材中选用(选填选项前的字

母).

A.长度为1m左右的细线

B.长度为30cm左右的细线

C.直径为1.8cm的塑料球

D.直径为L8cm的铁球

(2)测出悬点0到小球球心的距离(摆长)L及单摆完成n次全振动

所用的时间，，则重力加速度g=(用L、小/表示).

(3)下表是某同学记录的3组实验数据，并做了部分计算处理.

组次123

摆长L/cm80.0090.00100.00

50次全振动时间t/s90.095.5100.5

振动周期77s1.801.91

重力加速度g/(m-s-2)9.749.73

请计算出第3组实验中的T=s,g=m/s2.

(4)用多组实验数据作出T2-L图像，也可以求出重力加速度g.已知

三位同学作出的停1图线的示意图如图中的&b、c所示，其中“和

方平行，方和c都过原点，图线方对应的g值最接近当地重力加速度的

值.则相对于图线上下列分析正确的是_______(选填选项前的字母).

A.出现图线a的原因可能是误将悬点到小球下端的距离记为摆长

L

B.出现图线c的原因可能是误将49次全振动记为50次

C.图线c对应的g值小于图线力对应的g值

(5)某同学在家里测重力加速度.他找到细线和铁锁，制成一个单

摆，如图所示，由于家里只有一根量程为。〜30cm的刻度尺，于是他

在细线上的A点做了一个标记，使得悬点。到A点间的细线长度小于

刻度尺量程.保持该标记以下的细线长度不变，通过改变0、A间细

线长度以改变摆长.实验中，当0、A间细线的长度分别为云L时，

测得相应单摆的周期为八、72.由此可得重力加速度且=(用小

，2、T1、72表示).

隹【审题指导】

(1)“用单摆测定重力加速度”的实验中，细线和小球的选材有什

么要求？

(2)已知摆长和完成n次全振动的时间，如何根据实验原理求解重

力加速度？

(3)已知图表中给出的数据，思考如何求解振动周期和重力加速

度？

(4)根据重力加速度的求解公式，T2-L图像的斜率和截距各代表什

么物理意义？

(5)单摆的实际摆长如何确定，能否列出两个方程组成方程组求解

重力加速度？

【解析】(1)组装单摆时，应选用1m左右的细线，摆球应选择

体积小、密度大的球，选项A、D正确.

(2)单摆的振动周期T=

根据T=27tA/~,付g=72=^2•

⑶乃=号=2.01s.

根据T=2TC\^~^,得g=rp2

9.76m/s2.

得生匚即当时，停=.出现图线

(4)根据T=2L=00

gg

”的原因是计算摆长时，误将悬点。到小球上端的距离记为摆长，选

项A错误.对于图线c,其斜率%变小了，根据a=7,可能是T变小

了或L变大了.由¥=左得且=零，则%变小，重力加速度g变大，

SK

选项C错误.选项B中误将49次全振动记为50次，则周期T变小，

选项B正确.

(5)设A点到铁锁重心的距离为根据单摆的周期公式T=

Zi+Zo亨，联立以上两式，解得重

2P得Ti=2n丁，i

a无看法4.(，IT2)

力加速度g—y2_j-2•

47r

【答案】(DAD(3)2.019.76(4)B

4712al_，2)

⑸T2_T2

魏5

某同学想在家里做用单摆测定重力加速度的实验，但没有合适的

摆球，他找到了一块长、宽、高均为3cm左右，外形不规则的石块代

替小球，如图所示.他设计的实验步骤是：

如

叫c

A.将石块用细丝线系好，结点为M,将细丝线的上端固定于0

点；

B.用刻度尺测量0M间细丝线的长度1/作为摆长；

C.将石块拉开一个大约30。的角度，然后由静止释放；

D.从摆球摆到最高点时开始计时，测出30次全振动的总时间，,

由丁=一得出周期.

(1)以上实验步骤中有错误的是BCD(填写步骤前字母).

(2)如果该同学改正了错误，改变0M间细丝线的长度做了2次实

验，记下每次相应的线长度小L和周期Ti、T2,则由上述四个量得到

重力加速度g的表达式是与

(3)若该同学将石块换成金属小球，将丝线换成有质量的细杆，把

细杆长度加小球半径作为摆长L其余操作都正确.他利用周期公式T

=2、巧测当地的重力加速度g,这样测重力加速度g的方式不合理(选

填“合理”或“不合理”).

解析：(1)摆长等于悬点到摆球重心的距离，故B错误；当摆角小

于5。时，单摆的运动才能认为是简谐运动，故C错误；当摆球运动到

平衡位置时开始计时，测量误差较小，故D错误；易知A正确.

⑵设摆线的结点到石块重心的距离为r,则根据单摆的周期公式T=

[L2/Zi+r4712a2—Zi)

付Ti=27f\Jg,Ti=2it\j,联五解付g=4_置・(3)

若该同学将石块换成金属小球，将丝线换成有质量的细杆，把细杆长

度加小球半径作为摆长L,其余操作都正确，但由于细杆质量不可忽

略，实验器材已不能视为单摆，利用单摆周期公式测重力加速度不合

理.

学科素养提升

用单摆测定重力加速度

知识解读

1.实验原理

单摆在摆角很小时，由单摆周期公式T=2TTJ|,得且=挈.测得

单摆的摆长/和振动周期T,就可以测出当地的重力加速度.

对单摆周期公式丁=24|的理解：

(1)公式成立的条件是单摆的偏角不大于5°.

(2)在振幅较小的条件下，单摆的振动周期与单摆的振幅无关，与

摆球的质量也无关.

(3)周期公式中的摆长1是指摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离，

而不是摆线的长度.

2.实验器材

铁架台及铁夹、金属小球(最好上面有一个通过球心的小孔)、秒表、

细线(1m左右)、刻度尺(最小刻度为mm)、游标卡尺.

3.实验步骤

(1)做单摆：让线的一端穿过小球的小孔，然后打一个比小孔大一

些的结.把线的上端用铁夹固定在铁架台上并把铁架台放在实验桌边,

使铁夹伸到桌面以外，让摆球自由下垂，在单摆平衡位置处作上标记.

(2)测摆长：1=1'

①用毫米刻度尺量出悬线长/,如图甲所示.

②用游标卡尺测出摆球的直径d,如图乙所示.

A

图甲图乙

(3)测周期：将单摆从平衡位置拉开一个角度，且满足偏角小于5。,

然后释放摆球，当单摆摆动稳定后，用秒表测量单摆完成30次(或50

次)全振动的时间，.计算出平均摆动一次的时间T=；,即为单摆的振动

周期.

［总结提能］»

应从摆球经平衡位置时开始或停止计时.

4.求重力加速度：把测得的周期和摆长的数值代入公式，求出重

力加速度g的值.

5.多次测量求平均值

改变摆长，重做几次实验.计算出每次实验的重力加速度.最后

求出几次实验得到的重力加速度的平均值，即可作为本地区的重力加

速度.

【拓展延伸】如果要求用图像法来测定重力加速度，那么应该如

何建立坐标系？

分别以，和停为纵坐标和横坐标，作出/二必停的图像，它应该

是过原点的一条直线，根据这条直线可以求出斜率%,则重力加速度值

g=4n2k.

由于/一丁的图像不是直线，不便于进行数据处理，所以采用I-

72的图像，目的是将曲线转换为直线，便于利用直线的斜率计算重力

加速度.

6.注意事项

(1)细线的质量和弹性要小，如用单根尼龙丝、丝线等，长度一般

不应短于1m,小球要选用体积小、密度大的金属球，直径最好不超

过2cm.

(2)单摆悬线的上端不可随意卷在铁夹上，应夹紧在铁夹中，以免

摆动时发生摆线下滑、摆长改变的现象.

(3)摆长是悬点到球心的距离，等于摆线长加上小球半径.

(4)注意摆动时控制摆线偏离竖直方向的角度应很小.

(5)计算单摆的振动次数时，应从摆球通过最低位置时开始计，以

后摆球从同一方向通过最低点时计数；要多测几次(如30次或50次)

全振动的时间，用取平均值的办法求周期.

【拓展延伸】为什么摆球摆动时，要使之保持在同一个竖直平

面内，不要形成圆锥摆？

如图所示，用细线悬吊小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动,

即细线所扫过的面为圆锥面，通常我们称为圆锥摆，实际上圆锥摆中

小球的运动不是振动，是匀速圆周运动.

设运动过程中细线与竖直方向夹角为仇线长为/,则小球做圆周

运动的半径r=lsin。,向心力方向二/ngtan。.

由方向=机阴得圆锥摆的周期黑，显然该周期小于单

摆周期，所以在用单摆测重力加速度的实验中，强调摆球必须在竖直

面内摆动.

典例透析

【典例】（1）测量单摆的振动周期，测量时间应从摆球经过

（选填“平衡位置”或“最高点”）时开始计时；某次测定了

50次全振动的时间如图中停表所示，那么停表读数是s；该单

摆的周期是T=s（结果保留三位有效数字）.

（2）测量出多组周期八摆长L数值后，画出T2~L图像如图所示,

此图线斜率的物理意义是（）

（3）在描点时若误将摆线长当做摆长，那么画出的直线将不通过原

点，则由图线斜率得到的重力加速度将会（）

A.偏大B.偏小

C.不变D.都有可能

（4）该小组的另一同学没有使用游标卡尺也测出了重力加速度.他

采用的方法是：先测出一摆线较长的单摆的振动周期八，然后把摆线

缩短适当的长度AL,再测出其振动周期於.则可用该同学测出的物理

量来表达重力加速度为g=.

【思路分析】解答本题的关键是要注意以下两点:

(1)停表的读数规则；

(2)T2-L图像斜率的意义.

【解析】(1)因摆球经过最低点时的速度大，容易观察和计时，

所以测量时间应从摆球经过最低点开始计时.

停表的读数为t=lmin4-7.4s=67.4s

单摆周期1.35s.

(2)根据单摆的周期公式得T2=^L,所以T2-L图线

Y5o

4九2

斜率的物理意义是——,选项C正确.

g

(3)若误将摆线长当做摆长，设小球的半径为r,则有T=

2几、空,T2=^L+^r,那么画出的直线将不通过原点，但图

Vo5o

47r2

线的斜率仍为左=外，所以由图线斜率得到的重力加速度不变，选项

O

C正确.

(4)根据题意由单摆周期公式：丁=2八]1可知，

[LIL—\L4712AL

ri=27tV?T2=ln^^~'解付

【答案】(1)平衡位置67.41.35(2)C

4九2AL

(3)C(4)Tl-Tl

思悟升华

对误差来源的分析

1.单摆的振动不符合简谐运动的要求引起的系统误差

⑴单摆不在同一竖直平面内振动，成为圆锥摆，g值偏大.圆锥

摆周期T=2八归嵬,其中夕为摆线与竖直方向的夹角,L为摆长.在

计算g时，以L代替Leos仇则测得g值偏大.

(2)振幅过大，摆线偏离竖直方向的角度超过5。，g值偏小.摆角

越大，摆球的实际周期T也越大，求得的且=用值偏小(此问题中学

阶段不做过多研究).

2.测定摆长L时引起的误差

(1)在未悬挂摆球前测定摆长或漏掉加摆球半径，得到的摆线长偏

短，g值偏小.

(2)测摆长时摆线拉得过紧或以摆球的直径与摆线长之和作为摆

长，得到的摆线长偏长，g值偏大.

(3)悬点未固定好，振动时出现松动，使实际的摆长不断变长，g

值也偏小.

3.测定周期时引起的误差

(1)开始计时时，停表过迟按下，会使所测时间/偏小，g值偏大；

同理，停止计时时，停表过早按下，g值偏大.

(2)测定〃次全振动的时间为。误数为(〃+1)次全振动，计算时，

g值偏大；同理，误数为(〃一1)次全振动，计算时，g值偏小.

⑶计算单摆的全振动次数时，从摆球通过最高点位置时开始计时,

容易产生较大的计时误差.

•课堂效果检测・

1.单摆做简谐运动的回复力是(D)

A.摆球的重力

B.摆线的拉力

C.摆球重力与摆线拉力的合力

D.摆球重力沿圆弧切线方向的分力

解析：摆线的拉力是沿半径方向的，在圆弧切线方向上的分力为

零，因此，摆球在切线方向上所受的力就是重力在切线方向上的分力，

正是这个切线方向上的重力的分力充当了回复力，但这不是摆球重力

与摆线拉力的合力，摆线的拉力与重力沿半径方向上的分力的合力提

供做圆周运动的向心力，除在最大位移处两位置外，摆球在半径方向

上所受的合力均不为零.故正确答案为D.

2.用单摆测重力加速度的实验中，测出的重力加速度的值大于当

地的重力加速度，下列原因中可能的是（D）

A.振幅太小导致测得的周期偏小

B.计算摆长时，只考虑线长，没有加上摆球半径

C.将〃次全振动误记为（〃一1）次全振动

D.将〃次全振动误记为（〃+1）次全振动

解析：单摆周期与振幅无关，振幅的大小不会影响周期的测量，

则A错；由7=2人?得，重力加速度g=竽，测得的g偏大，可能

是/的测量值偏大，也可能是丁的测量值偏小，所以不加摆球半径，

是使/偏小，使g偏小，则B错；将〃次全振动记为（〃一1）次全振动，

T的测量值偏大，使g偏小，则C错；同理分析知D正确.故正确答

案为D.

3.有一悬线长为，的单摆，摆球是一个有一定质量的空心金属球,

球底有一小孔，球内盛满水.在摆动过程中，水从小孔慢慢流出.从

水开始流到水流完的过程中，此摆的周期的变化是（C）

A.由于悬线长/和重力加速度g不变，所以周期不变

B.由于水不断外流，周期不断变大

C.周期先变大，后变小

D.周期先变小，后变大

解析：摆长I等于悬点到摆球重心的距离.在本题中由于水向外

流，因此摆球重心（球壳和水的合重心）在不断变化.当水