高考数学一轮复习第十一章计数原理1分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件新人教A版理

第十一章计数原理-2-11.1

分类加法计数原理与分步乘法计数原理-4-知识梳理双基自测211.两个计数原理

n类不同的方案

n个步骤

-5-知识梳理双基自测212.两个计数原理的区别与联系

-6-知识梳理双基自测21问题思考两个计数原理解题策略有哪些?提示:①分清要完成的事情是什么;②分清完成该事情是分类完成还是分步完成,“类”间互相独立,“步”间互相联系;③有无特殊条件的限制;④检验是否有重复或遗漏.2-7-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)在分类加法计数原理中,某两类不同方案中的方法可以相同.(

)(2)在分类加法计数原理中,每类方案中的方法都能直接完成这件事.(

)(3)在分步乘法计数原理中,只有各个步骤都完成后,这件事情才算完成.(

)(4)在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.(

)(5)如果完成一件事情有n个不同的步骤,在每一步中都有若干种不同的方法mi(i=1,2,3,…,n),那么完成这件事共有m1m2m3…mn种方法.(

)×

√√√√-8-知识梳理双基自测234152.在所有的两位数中,个位数字比十位数字大的两位数共有(

)A.45个 B.36个 C.30个 D.50个答案解析解析关闭答案解析关闭-9-知识梳理双基自测23415C-10-知识梳理双基自测234154.把10个苹果分成三堆,要求每堆至少1个,至多5个,则不同的分法共有(

)种

种

种

种答案解析解析关闭用分类加法计数原理,分三类:①三堆中“最多”的一堆为5个,其他两堆总和为5,每堆至少1个,只有2种分法,即1和4,2和3.②三堆中“最多”的一堆为4个,其他两堆总和为6,每堆至少1个,只有2种分法,即2和4,3和3.③三堆中“最多”的一堆为3个,那是不可能的.所以不同的分法共有2+2=4(种).答案解析关闭A-11-知识梳理双基自测234155.有4部车床,需加工3个不同的零件,其不同的安排方法有(

)种.答案解析解析关闭以“每个零件”分步,共3步.而每个零件能在4部车床中的任一台上加工,所以有4种方法,于是安排方法为4×4×4=43(种).答案解析关闭B-12-考点1考点2考点3A.6个 B.8个 C.12个 D.16个(2)如图,在A,B间有四个焊接点1,2,3,4,若焊接点脱落导致断路,则电路不通.今发现A,B之间电路不通,则焊接点脱落的不同情况有(

)种种种种思考使用分类加法计数原理遵循的原则是什么?答案解析解析关闭(1)因为椭圆的焦点在x轴上,所以当m=4时,n=1,2,3;当m=3时,n=1,2;当m=2时,n=1.故满足条件的椭圆共有3+2+1=6(个).(2)按照焊接点脱落的个数进行分类.若脱落1个,则有(1),(4),共2种;若脱落2个,有(1,4),(2,3),(1,2),(1,3),(4,2),(4,3),共6种;若脱落3个,有(1,2,3),(1,2,4),(2,3,4),(1,3,4),共4种;若脱落4个,有(1,2,3,4),共1种.由分类加法计数原理,知共有2+6+4+1=13(种)焊接点脱落的情况.答案解析关闭(1)A

(2)C-13-考点1考点2考点3解题心得使用分类加法计数原理遵循的原则:分类的划分标准可能有多个,但不论是以哪一个为标准,都应遵循“标准要明确,不重不漏”的原则,且完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类.-14-考点1考点2考点3对点训练1(1)把甲、乙、丙三名志愿者安排在周一至周五参加某项志愿者活动,要求每人参加一天,且每天至多安排一人,并要求甲安排在另外两名志愿者前面,不同的安排方案共有(

)A.20种 B.30种 C.40种 D.60种(2)(2020山西大同模拟)中国有十二生肖,又叫十二属相,每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个,三名同学依次选一个作为礼物,甲同学喜欢牛和马,乙同学喜欢牛、狗和羊,丙同学所有的吉祥物都喜欢,若三名同学对各自选取的礼物都满意,则选法有(

)种种种种AB-15-考点1考点2考点3(2)由题意可得有2类分配方案:第1类方案,甲同学选择牛,则乙有2种选法,丙有10种选法,选法共有1×2×10=20种;第2类方案,甲同学选择马,则乙有3种选法,丙有10种选法,选法共有1×3×10=30种,因此总共有20+30=50种.故选B.-16-考点1考点2考点3例2(2020吉林松原期末)某城市的电话号码,由六位升为七位(首位数字均不为零),则该城市可增加的电话部数是(

)A.9×8×7×6×5×4×3 B.8×96C.9×106

D.81×105思考应用分步乘法计数原理解决问题时如何分步?对分步有何要求?解析:由题意知本题是一个分步计数问题,电话号码是六位数字时,该城市可安装电话9×105部,同理升为七位时该城市可安装电话9×106部.因此可增加的电话部数是9×106-9×105=81×105.故选D.D-17-考点1考点2考点3解题心得利用分步乘法计数原理解决问题时,要按事件发生的过程合理分步,并且分步必须满足两个条件:一是完成一件事的各个步骤是相互依存的,二是只有各个步骤都完成了,才算完成这件事.-18-考点1考点2考点3对点训练2(1)6名选手依次演讲,其中选手甲不在第一个,也不在最后一个演讲,则不同的演讲次序共有

(

)种种种种(2)在运动会比赛中,8名男运动员参加100m决赛.其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上,则安排这8名运动员比赛的方式共有

种.

答案解析解析关闭答案解析关闭-19-考点1考点2考点3例3(1)(2020北京期末)一般地,一个程序模块由许多子模块组成,一个程序模块从开始到结束的路线称为该程序模块的执行路径.一个计算机程序模块如图所示,则该程序模块的不同的执行路径的条数是(

) B.14 C-20-考点1考点2考点3(2)如图,用4种不同的颜色涂入图中的矩形A,B,C,D中,要求相邻的矩形涂色不同,则不同的涂法有(

)种种

种种A-21-考点1考点2考点3解析:(1)根据两个计数原理可得(2+2+3)×(4+3)=49种.故选C.(2)方法一:首先涂A有4种涂法,则涂B有3种涂法,C与A,B相邻,则C有2种涂法,D只与C相邻,则D有3种涂法,所以共有4×3×2×3=72(种)涂法.方法二:按要求涂色至少需要3种颜色,故分两类:一是4种颜色都用,这时A有4种涂法,B有3种涂法,C有2种涂法,D有1种涂法,共有4×3×2×1=24(种)涂法;二是用3种颜色,这时A,B,C的涂法有4×3×2=24(种),D只要不与C同色即可,故D有2种涂法,所以不同的涂法共有24+24×2=72(种).-22-考点1考点2考点3解题心得在综合应用两个计数原理解决问题时,一般是先分类再分步.分类后分别对每一类进行计数,在计算每一类时可能要分步,在分步时可能又用到分类加法计数原理.-23-考点1考点2考点3对点训练3(1)如果一条直线与一个平面垂直,那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是(

)A.48 B.18C.24 D.36(2)(2020山东聊城期末)如图所示,将5种不同的颜色涂在四个区域中,每个区域涂一种颜色,且相邻区域颜色不同,则不同的涂色种数是(

)

D

B-24-考点1考点2考点3解析:(1)第一类,对于每一条棱,都可以与两个侧面构成“正交线面对”,这样的“正交线面对”有2×12=24个;第二类,对于每一条面对角线,都可以与一个对角面构成“正交线面对”,这样的“正交线面对”有12个.所以正方体中“正交线面对”共有24+12=36(个).(2)(方法一)由题意,由于规定一个区域只涂一种颜色,相邻的区域颜色不同,可分步进行,区域A有5种涂法,B有4种涂法,当A,D不同色时,D有3种,C有2种涂法,有5×4×3×2=120种,当A,D同色时,D有4种涂法,C有3种涂法,有5×4×3=60种,因此共有180种不同的涂色方案.(方法二)可分步进行,比如先排BCD,两两不同色,有5×4×3=60种,再排A,只要与BC不同,有3种,故共180种.故选B.-25-思想方法——分类讨论在计数原理中的应用对于计数问题,分类讨论的数学思想贯穿始终.正确的分类一般是解决问题的切入点,考虑这个问题有几种情况,即分类;考虑每种情况有几个步骤,即分步.同时注意分类的全面与到位,不要出现重复或遗漏的现象.-26-典例如图,某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为6个部分.现要栽种4种不同颜色的花,每部分栽种一种,且相邻部分不能栽种同样颜色的花,不同的栽种方法有

种.(用数字作答)

答案:120解析:将此类问题看成涂色问题,涂不同颜色代表栽种不同颜色的花.区域2,5不相邻,取区域2,5为讨论对象.(1)若区域2,5同色,则区域3,5一定不同色.先涂区域5有4种方法,涂区域2有1种方法,涂区域1有3种方法,涂区域6有2种方法,涂区域3有2种方法,涂区域4有1种方法,即有4×1×3×2×2×1=48(种)方法.-27-(2)若区域2,5不同色.①区域3,5同色:先涂区域5有4种方法