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2021年中考数学压轴题
1.四边形力5C。中,AB=AD,PE、0尸分别是边8C、CQ的中垂线,连接以,PB,PC,
PD,延长NP交3C于点〃,延长CP交相于点G,若AD〃BP,CG±AB.
(1)判断四边形23尸。的形状,并加以证明;
(2)求N/H3的度数;
(3)若BH=6,CH=29求的长度.
、:PE、尸尸分别是边8C、CQ的中垂线,
:・PB=PC,PC=PD,
:・PB=PD,
在△43P与△4/)产中,
(AB=AD
\PB=PD.
14P=AP
:./XABP^AADP(SSS).
.・・NBAP=ND4P.
*:AD〃BP,
:./DAP=NAPB.
:・/BAP=/APB.
:.AB=BP.
:・AB=BP=PD=AD,
・・・四边形是菱形;
(2)设NCP〃=a,NPCB=B,
:.ZAPG=ZCPH=a.
〈PE垂直平分8C,
第1页共5页
・・・NPBC=NPCB=B.
:.ZGPB=NPBC+/PCB=2B.
:.ZAPB=N"G+NGPB=a+2B.
・•・ZAPD=ZAPB=a+2^.
:./GPD=N力0G+N/PO=2a+2a
*:AD〃BP,CGL4B,
:.ZGPD=90Q.
・・・2a+2B=90°.
/.a+p=45°.
'/NN〃B=a+G,
AZAHB=45°;
(3)・:BH=6,CH=2,
:・BC=BH+CH=8.
〈PE垂直平分4C,
:.BE=CE=/C=4.
:.EH=CE-CH=4-2=2.
在直角△PE,中,•:NPEH=90°,ZPHE=45°,EH=2,
:.PE=2.
在直角APEB中,,:NPEB=9Q°,BE=4,PE=2,
:.BP=y/BE2+PE2=V42+22=2A/5.
:.AB=BP=2V5,即AB的长度为2遍.
2.定义:三角形一边上的点将该边分为两条线段,且这两条线段的积等于这个点到该边所
对顶点连线的平方,则称这个点为三角形该边的“好点”.如图1,/\ABC中,点。是
BC边上一点,连结ZO,若AE^BD。,则称点。是△48C中8C边上的“好点”.
第2页共5页
图1图2图3
(1)如图2,△Z8C的顶点是4X3网格图的格点,请仅用直尺画出N8边上的一个“好
点”.
(2)△23C中,8c=9,tanS=$tanC=|,点。是8c边上的“好点”,求线段2。的
长.
(3)如图3,△Z8C是。。的内接三角形,OH_L<B于点H,连结C77并延长交OO于
点D.
①求证:点”是△88中C。边上的“好点”.
CH
②若。。的半径为9,NABD=90°,0H=6,请直接写出其的值.
DH
解:(1)如答图1,当CDL/B或点。是的中点是,CD2=AD'BD;
(2)作4EJLBC于点E,由比tanC=:可设NE=4x,
则8E=3x,CE=6x,
:・BC=9x=9,.\x=1,
:.BE=3,CE=6,AE=4,
设OE=a,
①如答图2,若点D在点E左侧,
第3页共5页
上
由点。是8c边上的“好点”知,AD2=BD・CD,
.*.tz2+42=(3-。)(6+。),B|J2a2+3a-2=0,
解得=;,42=-2(舍去),
/.BD=3-Q=3-3=?.
②如答图3,若点。在点E右侧,
由点。是8C边上的“好点”知,A0=BD・CD,
.*.tz2+42=(3+。)(6-a),BP2a2-3a-2=0,
解得41=2,。2=-;(舍去)
・・・80=3+。=3+2=5.
/.BD—5或5.
(5)①如答图4,连接力。,BD,
•:/CHA=/BHD,/ACH=/DBH
:.△AHCsXDHB,
AHCHg
J—=—,即AH・BH=CH*DH,
DHBH
〈OH工AB,
:・AH=BH,
:.BFF=CH、DH
・,•点〃是△BCD中CO边上的“好点”.
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^CH5
②---=—•
~DH21
理由如下:如答图4,
・;NABD=90°,
・・・4。是直径,
工力0=18.
又・:0HLAB,
:.OH//BD.
丁点。是线段/。的中点,
・・・。〃是△480的中位线,
:.BD=2OH=\2.
在直角△力8。中,由勾股定理知:AB=\/AD2-BD2=V182-122=6>/5.
二由垂径定理得到:BH=:AB=3底
在直角△8。”中,由勾股定理知:DH=7BH2+BD2=,45+144=3g.
又由①知,B
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