2022-2023学年河南省濮阳市统招专升本数学自考真题(含答案带解析)

2022-2023学年河南省濮阳市统招专升本数

学自考真题（含答案带解析）

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题(30题)

1.

若lim八")~；2f±1=_±,WiJ/(T)=

x-*3r-9lo

A.T+1B.1+5

C./r+13D.，才+6

2.

[仙a12—3。31-3a32-3a33

a

如果2]«22023="，则行列式-2a2]-2a么—2^24=()

小2a.。，一“”—a\>—a-

A.-6dB.6d

C.D.一4cl

3.

lim?=

n*J

A.4C.lD.O

54

4.

下列函数在给定区间满足罗尔定理条件的有

A..vB.y=.re-z.[—1

C.yD.y=ln.r2,1—1,1]

5.

1-1—2iosz_

.hm----------()

-2L\

,Tsin口-3)

A.1B.0c.yrD.&

6.

2xy

.极限lim()

-1~

ry+1-

D—A.

A.0B.4C

-T4

下列结i仑正确f的是()

1

A.limxsin—=1B.limxsin—=1

.r->0XXT8X

L1、n

C.lim1+―=1D.limxsin—=0

In)XT8x

7.

8.

当才fo时，下列无穷小量中，与.r不等价的无穷小量是()

A.ln(x+1)B.arcsine

C.1-cosxD.JI+-1

9.

.下列定积分中等于零的是()

A.r2cos.rdjrB.Jwsirudr

J—1

C.JC+siar)d.rD.J*(.r+)d.r

10.

曲线.v=与±4的渐近线

.r-3

A.仅有水平渐近线B.既有水平又有垂直渐近线

C.仅有垂直渐近线D.既无水平也无垂直渐近线

11.

jjdxdy=(

)

A.7?B.3KC.3/D.4兀

12.

.下列广义积分收敛的是)

A.r叵"B.r4dl'4-00

C.D.cos.zd.r

J2XJ16

13.

设V=/(x)是由方程号+必7=。确定的函数，则立=()

dx

A.-上B.-/C.一皿D.一片里

xy+1xxy

14.

H+①2+13=1，

已知非齐次线性方程组.+24—4不=2,则()

2x\+512-八=3,

必有唯'解

A.

口必定无解

C有无穷多组解

D,无法判定

15.

微分方程,-8/+16»=温4、的特解形式可设为y*=()

A.(/ix+B)e4xB.Axe4xC.Ax3e4xD.(Ax3+Bx2)e4x

16.

2012

(—cos/2)d/=)

•£siru,

A.—cos.r2B.cos(sinj)2cos.r

C..rcosj'2D.cos(sin.r2)

17.

函数〃工)在工。点连续是f("在工。可微的()

A.充分条件而不是必要条件B.必要条件而不是充分条件

C.充分必要条件D.比非充分条件，也不是必要条件

18.

已知函数./(J)在区间［0.打(“>0)上连续./(0)>0.且在(0,a)上恒有/(.r)>0.

设Si=(/(幻壮乙”

="(0),S］与立的关系是()

A.5(*B.S]=5,C.5|S?D.不确定

19.

下列极限存在的是()

A.lim中

B.lim--C.lim-D.lim./i―

-r-*-ooXD2’一110X

20.

p1+sinx.

-------7-dx=()

JT1+x

A.--B.-c.--D.-

2244

21.

若直线.y=5x+m是曲线.y=z?+37+2的一条切线，则常数m=()

A.OB.1C.5D.6

22.

若级数均发散，则必有()

!”■=1

noOil

A.X(“，，+〃”)发散B.Z(a„|+|以)发散

M=l1

OQ8

C.2(a：+廿)发散D.£a〃bn发散

M=1i»=i

23.

2

.设之=JCZln(J-+y),则2=()

川

A2”>B2/)2cn2、/y

.r2+/.r2+y.rJ+yj-2+y

24.

.设/(.r)为连续函数•则|1./(.r)d.r=

()

A.[cos.rf(sin.r)d、rB.Jsin</(cos/)d.r

Jo

C.[cos、r/(cos/)dwD.Jsinj*/(sin.r)dj*

25.

「sir?(1-/)__

・黑1Q-l)2(.r+2)()

A-TB--J

c.oD-f

26.

.下列各组角中,可以作为向量的一组方向角的是

7T

A••B号■.

-f*T637

C.三•K-«--7TD.4,久

43443-

27.

若（）则f（

F'.v=/（X）.j~^d.r=（）

Jy/x

A.—2F（—y/x）+CB.-F（-77）+c

c.-F（A/7）+cD.-JF（-X/7）+C

28.

己知x_2y+siny=0,则-的值为（）

dxx-Q

jaO

A.-1B.0C»1D.一

2

29.

OU

如果级数2以收敛，则它的和是（）

M—1

A.+"2+B・lim

C.<mD.以上都不是

i[=i

30.

・点（0.1）是曲线y=<r3+hr2+c的拐点，则（）

A.〃=0,c=1B.b=-1,c=0

C.b=1.c=1D.b=-1,c=1

二、填空题（20题）

当.co时<表3M与十是等价无穷小.则常数k=

31.

32.

函数/（.r，3»,r）=M+y?+sr?在点（1,1.1）处方向导致的最大值为

33.

某车间有5台相互独立运行的设备，开工率均为9•则恰有2台同时开工的概率为

函数/(.r)=的图像关于

34."十1对称

若=£">0),则正项级数£〃”的敛散性为

35.…„-i

々4微分方程y=/、•的通解为

Jo.____

37.

设随机变量X〜N(2,/)，若P(0<X<4)=0.3,则P(X<0)=,

(3]

2(123)=.

38.U

微分方程sec'Ttanj,d.r+sec2j?tanTd^=0的通解为

39.

设F(s)=,|则L=

40.('+4)―

41.

设L是抛物线Y=/上从点A(1.1)到8(1.1)的曲线弧.则"n，ds=

JL

塞级数£生。<P<I)的收敛域为

42.,产

43.

ri

不定积分一/,心

2

J1一InJT

44.

过点（2,1,3）,且与直线二六=Xy=会垂直的平面方程是

45.

已知曲线y=/+/-2上点M处的切线平行于直线y=51一1,则点M的

坐标^

46.

若1-►0时.（1—ar2）+—1与.rsin.r是等价无穷小，则a=.

设T即g,那么啥+g窘

J

设函数/(t)=cos/：'dr.则J(J.)=

49.

r3e",x<0,

若函数=J

在才=0处连续，则a=__________

|2X+4,才》0

50.

设曲线巾1,则对弧长的曲线积粒(Lsin=

三、计算题(15题)

51.

过点M(3,0)作曲线丁=ln(i—3)的切线，该切线与此曲线及I轴用成一平面图形D.

试求平面图形。绕/轴旋转一周所得旋转体的体积.

52.

已知函数/(x)的一个原函数为cosx+xsinx,求积分J[x+/(x)]/'(刈心.

次di

计算不定积分7rTT

53.

X]-2X2+x3+x4=1

讨论当4为何值时，线性方程组•X}-X2-X3+X4=A

54[X,-4X2+5X3+X4=-2

(1)无解、有无穷多解；(2)当方程组有无穷多解时用基础解系表示方程组的通解.

55.

计算I=『yda,其中D是由y—E+1,3=0,y=—j?所闱成的闭区域.

设之=ln(/7+J7)•证明/扛+y等=

dx"dyL

若lim”％。=A>0,证明X。”收敛•

57.

已知;c=/(-/x2+y2,e"),f可微,求登,1rl.

58.dx办

jsin.rdj'

求极限lim」~；-----

—1)

8

60求得级数才（―的和函数.

玉+x2+ax3=1,

已知线性方程组，X)+tzx2+x3=1,

OX]+%2+与=-2.

61.

（1）问a为何值时，方程组有唯一解、无解、有无穷多解.

（2）当方程组有无穷多解时，求出用基础解系表示的通解.

已知，=(笄).，(#=arctan/,求索L=0

62.

求极限㈣COLZ・(熹7).

63.

求函数之(1•y)=J?—/+6攵-12》+10的极值.

64.

65.

求函数/(ay.z)=sin(.ry2Iz)在点P(1.1.-1)处沿方向1=(1J.l)的方向导数.

四、证明题（10题）

66.

证明方程x="sini+b(a>OJ;>0)至少有一个不超过(a+。)的正根.

证明：岂xe(0,1)时，(1+x)ln2(l+x)</.

67.

68.

证明：当才〉。时，一,久〉ln(1+JC).

yirr

69.

设a》〃>0,利用拉格朗日中值定理证明：巴二&In咛2

70.

设a>/)>0，〃>1.证明：汕i(a一力<«»-/,»〈皿1(。一力.

设eVaV〃Ve?，证明In2/?—In2a>3(b—a).

71.e-

72.

躯如①上酸,并且肝DM］上的任意［姗皮的酬酊⑺蛹

oWf㈤<1,证明:在［0,1］上至少有一点&使得/(f)=&

证明不等式：当①>；时.e?i>2-

73./

证明等式aresin彳+arccos.r=

74.2

75.

设函数/Cr)在闭区间上可导，且f(O)・/(DVO,证明在开区间(0,1)内至少存在

一点£.使得2/(£)+y'(0=0.

五、应用题(10题)

76.

曲线)=〃120),直线z+y=2以及y轴围成一平面图形D.试求平面图形D绕

3,轴旋转一周所得旋转体的体积.

77.

求曲线y=Inw在区间(2,6)内的一点，使该点的切线与直线N=2.1=6以及

y=ln.r所围成的平面图形面积最小.

78.

某企业生产某种产品，其固定成本为3万元，每多生产一百件产品，成本增加2万

元；总收入R(单位：万元)是产量g(单位：百件)的函数，R(q)=5g-；/，

问：当产量为何值时，利润最大？最大利润是多少？

平面图形。由曲线3=石，直线)，=工2及工轴所围成.

(1)求此平面图形的面积；

79(2)求此平面图形绕了轴旋转一周而成的旋转体体积.

80.

某公司主营业务是生产自行车,而且产销平衡，公司的成本函数C(.r)=40000+2007-

0.002/.收入函数R(l)=350*—0.收入2,则生产多少辆自行车时，公司的利润最大?

81.

某房地产公司有50套公寓要出租，当月租金定为2000元时.公寓会全部租出去.当月

租金每增加100元时,就会多一套公寓租不出去,而租出去的公寓每月需花费20（）元的维修

费.试问租金定为多少可获得最大收入？最大收入是多少？

82.

求曲线y=In.r在区间（2,6）内的一点,使该点的切线与直线x=2,x-6以及

,y=ln.r所围成的平面图形面积最小.

83.

设平面图形D由曲线），='和直线y=m=2及/轴围成.求：

（1）平面图形D的面积；

（2）这图形绕I轴旋转一周所得旋转体的体积.

84.

要求设计一个帐篷,它下部的形状是高为1m的圆柱体,上部的形状是母线长为3m

的圆锥（如图所示）.试问当帐篷的顶点。到底面中心（％的距离为多少时，帐篷的体积最大?

85.

某商品的需求函数为

Q=25—P?,

求：（1）P=2时的需求弹性；

（2）在尸=2时,若价格P上涨1%,总收益的变化情况;

（3）P为何值时,总收益最大.

六、综合题（2题）

86.

已知曲线y=/（x）通过点（一1.5）,旦/Q）满足方程3z/z（x）-8/（x）=12",

试求：

（1）函数〃工）的表达式；

（2）曲线y=/（x）的凹凸区间与拐点.

87.

求该曲线及其在点（1.0）和点（一1,0）处的法线所围成的平面图形的面积;

参考答案

1.C

【精析】由题可知—2，TTT=0.故八3）=4,因此排除B、D选项.再将A、

JT—3

C代入原极限等式.可知C正确.

2.B

［答案］13

-3a31—3a壮—34:；“；la32〃3；S

【精析】-2生।-2a立—2a；(-1)1♦2・3〃.((J22

—a”—a-413a”412,3

a12a13

=(-1)•2•3•(—1)C=6/

a。“M2a：«3

3.D

【精析】lim—=lim(—)"=0.

〃—>8Q"f80

4.A

【精析】B选项中不等于），（D.C选项中.》（一1）不存在,y（l）选

项中函数在1=0处不连续.A选项中.函数在［―1.1］连续.在（一1.1）可导.y（—1）=

y（l）.符合罗尔定理条件.故应选A.

5.D

2X包

lim1一c=lim―立出一=一二=乃.故应选D.

T'W）Tc叫「支

6.B

［精析］lim——2——二lim--------包必工王工土12--------

二：］二；（777TT-1）（ZI7TT+1）

_Hm（/a+1+1）

LOay

y-*0

=41

故选B.

7.B

.1

11sm-

【评注】计算得正确的结果：A.limxsin—=0；B.limxsin—=lim--r^=l：

XT。XX-KOXX-*X1

X

8.C

l_x2

【精析】lim-----9^=lim上一=lim^-x=0#1,故应选C.

jr-*OJCjr-»OJCx-*0乙

9.C

［答案］C

【精析】根据奇偶函数在对称区间上的积分性质•可以判定C是正确的.故应选C.

10.B

【精析】lim2］+［=0.limT+|=co,

jrX-3x.i/3-3

所以）=0是水平渐近线i=±6■是垂直渐近线，故应选B.

【评注】Jjdx4y=SD=兀・（2兀了一兀•兀2=37.

11.C

12.C

00

【精析】A中「十m—InTd.r=「+3Inidlmr=；1(ln.r)2+=+s,发散;

J2WJ242

B中L-^,dT=2VxI=+8,发散；

詈1,_______2

C中ch=2\fx—1=2,收敛；

J1Jx—11

D中cosidw=sin.r■发散.故本题选C.

J11

A

A【评注】本题考查的是隐函数的求导.

n13.A

14.B

111：K/I111、111：1>

【精析】(A\b)=-12—4：2->03-3303—3：3，因此

25-1i303-31000；-2

r(A)=2,r(A|b)=3・

r(A)Wr(A\b)=A¥=b无解.

15.D

16.B

［答案］B

【精析】原式=—［—cos(siiw)2J•(sin.r)'=cos(sin工尸cos.r♦应选B.

17.B

［答案］B

【解析】八外在4点可微，必可导.可导，必连续，反之不定成立,例y=kl在/=

0连续,但不可导.

18.C

由/'(1)>0在(0“?)上恒成立知/(r)在(0.°)严格单调增加.由题意知.存

在$€(0,。)・使得5i=［=。•/(《)•由于0V&V。♦贝I］八。)V/(E)V/(〃)•

J0

又/(0)>0.所以a•/(?)>a/(0)=*・即51>立•本题选C.

19.A

±+±

A项Jim"t'—lim丁=0,极限存在;

B项JimwJ.•=g,极限不存在;

LOZ-1

C项，叫§=8,极限不存在;

极限不存在.

D项,lim=limA/jr+-=8

4f8VJC

20.C

【评注】本题考查积分上限函数的求导：££^/(/)df=/sa)m'(x)-/®(x)w(x),

粒=0,£j；/(x)dr=-Aj7(x)dx=-/(x),^£/(x>=/(/),

—j/(x)dx=f(/)»£°BX/(/)d/=/(cosx)-(-sinx)»所以只能选C.

21.B

［答案］B

【精析】由题设可知，切线斜率"y'=2x+3=5.解得1=1.代入曲线方程得y=

6,即切点坐标为(1.6),代人切线方程.y=5工+切，解得m=1.故选B.

22.B

［答案］D

【精析】匹=/•————.2v=故应选D.

ay'-v

23.D

24.A

［答案］A

【精析】cos.rf(sin.r)d,z-=/(si】一)d(sinw)/(/)ck.

JoJoJo'

25.A

【精析】lim77梨!三：)右=lim---3m')不=Hm-\".故应选A.

•r-1(_r-1)-(H+2)x.1(J--l)z(x+2)/r.r+23

26.D

由于方向角a，3,7必须满足cos2a+cos2/?+cos2y=1•可以验证只有D

项正确.

27.A

J=-2j/（—AZT）=-2F（—6）+C1，故本题选A.

28.C

C

【评注】两边同时对x求导，得1-2/+COS尸y=0,将x=0,y=0代入得：

=1.

29.C

［答案］C

.B8

【精析】前〃项和s.=»,.若级数收敛.则极限limS.存在.即级数的和

21产1LXM=|

n

limVu,存在.故选C.

i*=t

30.A

【精析】y—31’+2bx.v，z=61+2b.当jr=0时、$'=2h=0.则〃=0.又曲线过

点（0.1）.即c=I.本题选A.

31.16

（21+3”।•k<jr]1

【精析】lim=呗（27+37=手1.故£=16.

1（2+1）,

32.

2再

工）—21=2,八（/，），，）=2y=2.

八（1,3・2）=2z=2,故在点（1.1,1）处的梯度gradf=2i+

<I.I.I）（1.1.1）

2j+2A.故方向导数的最大值为|grad/|=|2i+2j+2k|=+2?+2?=2用.

33.

L答案」C(i1)2(,i3)

12,93

【精析】由题意知.恰有2台同时开工的概率为(M).

34.

/、=0()轴)

d

【精析】/(-.r)=-Jr°—=—.r,；=J-―,=/(①).则函数/'(.r)为偶函

a+11+a«-1

数.故函数关于.r=0或.V轴对称.

35.

发散

OQ8

因为lim〃u“=lim牛=为(£>0),故»〃“与2工具有相同的敛散性♦所

fl»OO«*£»1tE〃

n

oo

以X"M发散.

1

36.

2e'=e21+C(C为任意常数)

［答案］2e>=产+C(C为任意常数)

【精析】由，=e"'得edy=e2a.从而e>=卷/十即2-=e=+C.其中C为

16j

任意常数.

37.0

【精析】X〜N(2,/).则立二？〜N(0,l),

a

P(0<X<4)=P/」<Z)=1-20/一2)=0.3,故0(—2)=0.35,

38.

-369〕3r369i

246【精析】2(123)=246

1231123

39.

tanj(any=('(('为任意常数)

I答案1(anmany=C(C为任意常数)

2-2

t精析】由sec.rtanyda-Fseciytan.rdiy=0.

分离变量得=-sec)dv«即---dtarur=――--dtanv.

tanj-tan_ytan、rtanj*

两边分别积分得tanjtany=C.C为任意常数.

40.

［答案1y(l-c-1f)

【精析】L-'［F(5)］=1-'

5K(S十n4/

7(「,力>［岩］)

y(l-0-<,)=J(1-e-H).

曲线L的方程为3,=/(-1&z<1),则曲线积分

z2

Qds—fJC•x\/1+(2Z)2cLz=1r3V1-4-4.rdj-=0.

JLJ-1J-1

41.0

42.

E)

E)

【评注】因为R=li=1,又当x=l时，级数为

(«+iy

（）发散，当时，级数为

*20<041x=-l（0</;<1）,这是一个交错级数,

其通项以单调减少且lim〃“=O,级数收敛，综上，集级数的收敛域为[-],»

fl-KO

43.

arcsin(lnjr)+C

【精析】----dx——dlnjr=arcsin(lnj-)+C.

22

xvl-InJC」y/\—lnj;

44.

3JT+2y-z-5=0

【精析】考察平面的点法式方程.

平面与直线三告垂直，可知平面的法向量为｛3,2，—1），于是平面的点

oI-1

法式方程为：3（①一2）+2。-1）一（2-3）=0,即3z+2y-z—5=0.

45.

（2,4）

46.

a=-4

।—•((W1)

【精析】lim-----)'----------=lim—------；------=—^=1,所以“=-4.

，-0asinTr-ox4

47.

0

dTdT\\

【评注】t+g.7t”•=o•

0询+ga震.诃

48.

3/COSJ*'

【精析】fy.r)=(Jcosrdtj'=cos(r3V•3JJ=3,r2COSJ".

49.

[答案16

【精析】因为limf(.r)=lim(2i+3)=葛，

LO+LO+\//

lim/(.r)=lim3e4r=3./(0)=葛，

L(TL0乙

6由连续的定义知£•=3•所以a=6.

50.

TC

7T

x=—cosat

t精析】曲线L：.r3+y=亨的参数方程为a6[O2R,所以

q

y=knSi•na，

'2

)(n丁sin\/x2iy)d5=J(占cosa+1)■ysina)2+(ycosa)2da

2

=(--sinaqya)=7T.

51.

【精析】设切线与曲线的切点为M。(的In(就―3)),

由于，=—，所以切线方程为

1=与1*0o

y—ln(.r0—3)=-^—r(.r—1,()),

Xo一3

因为切线经过点M(3,0),所以将M(3,0)代人上式

得&=e+3,

从而切线方程为y=—3),

e

于是,所求旋转体的体积为

1,3+e

V=—KXI2Xe-K(ln(jr-3))2(JT

3J4

令'=1—3TTPrec-

.....--7r/(Inf)—0-2In/d/

3iJi

=竽一底+2n(八皿]—ldf)=2x(1一a).©

52.

解：/(x)=(cosx+xsmxy=xcosx,

J[x+〃x)lra)dx=J何㈤+Jf(x)df(x)=取刀)-J〃x)dx+1/2(x)

=x2cosx+—x2cos2x-cosx-xsinx+C.

2

53.

原式=)=-y|n(a3+1)+C.

54.

解：⑴对增广矩阵（神）进行初等行变换

‘1-21-2111、

I—1—11-204-1

-450004-3

当；1W3时，「（1）=2.r（珅）=3,方程组无解;

当2=3时，，（/）=r（"）=2<〃，方程组有无穷多解.

’1-2111、’10-3

⑵体）_>01-202->01-2

1°。

1°0oM0a

XI-3/+乙=5演=5+3X3-X4

x2-2x3=2x2=2+2X3

与与是自由未知量，取得特解;7=（5200）r,

导出组为仁3X；”叩言”,与覆是自由未知量,取Q，（：）

得基础解系4=（3210）r,%=（T00l）r.

rrr

方程组的全部解为：X=（5200）+c,（32I0）+c2（-l00l）.

（其中q与c2为任意常数）

55.

【精析】画出积分区域,如图所示,则

I（时了工他•=（口日产y

56.

11

r匹Iy==____R_*_____万=1

以,2行卜。2万।62

57.

【证明】因lim/a.=A>0,由保号性TN,当”>N时%>0,而lim/a.=lim牛

<-•00»-»9e—gI

£

g,6

=A,其中Z与收敛,从而£4收敛.

11n『t

58.

【精析】设〃=-Zrr+jr.v=e9,则z=/(u.v),

Xrt1ir

——Kfu十一口Jv•

dzdzyi

—=—•,_、，H——•e、•/——

dy^/x2+y2dv\y

59.

asinj'dr

Msina’•21

原式=limo=lim

LOjr-06/3

60.

【精析】令S(J-)=Z〃("+DJ-"=J-n(w4-1)j-"1=叼(工)，而

M=1n=1

co88

夕(4)=/〃+>)/1=Z(b)"=(Z才川广

ti—1a=1n=I

oo

22

=«?4)〃=(占)”=工e（-1.1）,

(1-J-)

于是S（x）=用（工）=,工£

(1-X)

61.

解:

awl,-2时有唯一解，a=l时无解，a=-2时有无