北师大版七年级数学下册教案（2020年九月）

第一章整式的乘除

1.1同底数基的乘法

一、学习目标

1.经历探索同底数幕乘法运算性质过程，进一步体会幕的意义.

2.了解同底数塞乘法的运算性质，并能解决一些实际问题

二、学习重点：同底数器的乘法运算法则的推导过程以及相关计算

三、学习难点：对同底数募的乘法公式的理解和正确应用

四、学习设计

(-)预习准备

预习书p2-4

(-)学习过程

1.试试看：(1)下面请同学们根据乘方的意义做下面一组题：

①②==

③a3.a4==a()

⑵根据上面的规律，请以幕的形式直接写出下列各题的结果:

2.猜一猜：当m,n为正整数时候，

即anran=(m、n都是正整数)

3.同底数基的乘法法则：同底数基相乘

运算形式：(同底、乘法)运算方法：(底不变、指加法)

当三个或三个以上同底数幕相乘时，也具有这一性质，用公式表示为am-an-ap=

am+n+p(m、n、p都是正整数)

练习1.下面的计算是否正确？如果错,请在旁边订正

(1).a3*a4=al2(2).m*m4=m4(3).a2*b3=ab5(4).x5+x5=2xl0

(5).3c4*2c2=5c6(6).x2*xn=x2n(7).2m*2n=2m*n(8).b4・b4

•b4=3b4

2.填空：(1)x5•()=x8(2)a•()=a6

(3)x•x3()=x7(4)xm•()=x3m

(5)x5・x()=x3ex7=x()ex6=x*x()(6)an+lea()=a2n+l=a*a(

例1.计算

(1)(x+y)3•(x+y)4(2)

(3)(4)(m是正整数)

变式训练.计算

(1)(2)(3).

(4)(5)(a-b)(b-a)4(6)

(n是正整数)

拓展.1、填空

(1)8=2x,则x=

(2)8X4=2x,则x=

(3)3X27X9=3x,则x=

2、已知am=2,an=3,求的值3、

4、已知的值。5、已知的值。

回顾小结

1.同底数基相乘法则要注重理解“同底、相乘、不变、相加”这八个字.

2.解题时要注意a的指数是L

3.解题时，是什么运算就应用什么法则.同底数基相乘，就应用同底数器的乘法法则；整

式加减就要合并同类项，不能混淆.

4.-a2的底数a,不是-a.计算-a2・a2的结果是-(a2・a2)=-a4,而不是(-a)2+2=a4.

5.若底数是多项式时，要把底数看成一个整体进行计算[来源:学§科§网Z§X§X§K]

1.2幕的乘方与积的乘方(1)

一、学习目标：1.能说出基的乘方与积的乘方的运算法则.

2.能正确地运用基的乘方与积的乘方法则进行塞的有关运算.

二、学习重点：会进行幕的乘方的运算。

三、学习难点：募的乘方法则的总结及运用。

四、学习设计：

(-)预习准备

(1)预习书5〜6页

(2)回顾：

计算(1)(x+y)2,(x+y)3(2)x2•x2•x+x4•x

(3)(0.75a)3•(—a)4(4)x3•xn-1—xn-2•x

4

(二)学习过程：

一、1、探索练习：

(6/表示个相乘.

a3表示个相乘.

(a2)3表示个相乘.

在这个练习中，要引学习生观察，推测(6/与(aT的底数、指数。并用

乘方的概念解答问题。

(62)4=XXX

=(根据♦-2"=小)

(33)5=XXXX

=(根据a--am=a")

6!表示个相乘.

(a2)〜XX

=(根据a"-am=a"m)

(am)2=__X_

(根据a"•a"=a")

(a"')"=X*…XX

=(根据a--am=a"ra)

即(a01.)。=(其中m、n都是正整数)

通过上面的探索活动，发现了什么？

事的乘方，底数(指数

2、例题精讲

类型一募的乘方的计算

例1计算

⑴(5')3⑵一(才)3⑶[(—"T(4)[(a+8)2「

随堂练习

]_

(1)(a4)3+"；(2)[(-5)叮％(3)E-(a+6),]3

类型二哥的乘方公式的逆用

例1已知a*=2,a,=3,求/+，；ax+3y

随堂练习

(1)已知a"=2,H=3,求a"”

(2)如果9*=3川，求X的值

随堂练习

己知：8叹43=2”,求“

类型三事的乘方与同底数塞的乘法的综合应用

例1计算下列各题

225

(1)(a)-a⑵(一a)'•a

(3)x•x•x'+(—x)'+(—%)2(4)(a—6)2(Z>—a)

3、当堂测评

填空题：

(1)(m2)5=_________；—E(——产]2=__________；[—(a+b)2]3=__________

2

(2)[-(-x)5]2•(-x2)3=；(xm)3,(-x3)2=.

(3)(-a)3,(aH)5,(a1")5—；-(x-y)2,(y-x>=.

(4)X*(x3)(----)=(x6)'——>.

(5)於必"+|)=()m+1.若产"=3,则声"=.

(6)已知2*=勿,2y=n,求8"+”的值(用以、"表示).

判断题

(1)a'aJZa'o()

(2)(s3)=x6()

(3)(—3)2•(—3)—3)6=—即()

(4)x3+y=(x+y)3()

(5)[(m—n)；']'—[(m—n)2]6=0()

4、拓展：

1、计算5(P3)4•(—p2)3+2[(—p)2]4•(—p5)2

2若

、(x2)n=x8,贝Um=.

若

33

、[(X)m]2=x12,贝|Jm=o

4若

、Xm.*2m=2,求的值。

5、若a2n=3,求（a3n），的值。

6、已知am=2,an=3,求a2m+3n的值.

回顾小结：1.幕的乘方（m）"=（m、n都是正整数）.

2.语言叙述：_______________

3.累的乘方的运算及综合运用。

1.2塞的乘方与积的乘方（2）

一、学习目标：1.能说出事的乘方与积的乘方的运算法则.

2.能正确地运用幕的乘方与积的乘方法则进行幕的有关运算

二、学习重点：积的乘方的运算。

三、学习难点：正确区别基的乘方与积的乘方的异同。

四、学习设计：

(-)预习准备

(1)预习书7〜8页

(2)回顾：

1、计算下列各式：

⑴x5-X2=(2)X6-X6=⑶X6+x6=

⑷-X-X3-X5=(5)(-X)，(-X)3=⑹.尤2+X-X4=

⑺((-(马(a2)3-a5=

x)'=----------8)5=(9)

(10)_(加3)3•(机2)4=----------------(11)(丁")3=----------

2、下列各式正确的是()

/_5\3_八823623s?24

(A)(a'(B)a"-a—a(0x+x~x(D)x-x—x

(二)学习过程：

探索练习：

]、计算：23*53=-----------------*-------------------=----------------=(-X—)3

2、计算：28x58=----------4-------------------=----------------=(-”—,

3、计算：2,2x5'2=-----------X------------------=--------------=(—X—)12

从上面的计算中，你发现了什么规律？

4、猜一猜填空：⑴(3x5)4=3-5(一)⑵(3x5)",=3J6一)

(3)你能推出它的结果吗？

结论：

例题精讲

类型一积的乘方的计算

例1计算

(1)(2b2)5；(2)(-4xy2)2(3)一(一gab产

(4)E-2(a-b)3]s.

随堂练习

2Q

(1)(3/)6(2)(~x3y)2(3)(-yxy2)2(4)[—3(〃一加].

类型二募的乘方、积的乘方、同底数毫相乘、整式的加减混合运算

例2计算

(1)L-(-x)512•(-x2)3(2)(C“T)2(c2d)”

(3)(x+y)3(2x+2y)2(3x+3y)2(4)(—3a3)2•a3+(—a)2,a7—(5o3)3

随堂练习

(1)(a2n')2•(a"’2)3(2)(-X4)2-2(X2)3•x•x+(-3x)3•x5

(3)[3+6)2]3.[3+6)3]4

类型三逆用积的乘方法则

例1计算(1)82M4X0.1252004；(2)(-8)2005X0.125W，.

随堂练习

20032002

02520X240-3-(-)+-

32

类型四积的乘方在生活中的应用

4

例1地球可以近似的看做是球体，如果用I/J分别代表球的体积和半径，那么V=-"孔

3

地球的半径约为6xl()3千米，它的体积大约是多少立方千米？

随堂练习

(1)一个正方体棱长是3X102mm,它的体积是多少mm?

(2)如果太阳也可以看作是球体，它的半径是地球的1。2倍，那么太阳的体积约是多少立

方千米呢？”

当堂测评

一、判断题

1.(xy)3="3()2.(2xy)3=6Vy3()3.(-3a3)2=9«6()

4.(―^)3=—x(.)5.(a46)4=a'"6()

33

二、填空题

1--(f)3=，(一丁)2=.2.(-J孙2)2=.

3.81/严=(A.4.(x3)2•.5.(/)。=(〃”尸(〃、x是正整

数)，则％=・

6.(-0.25)"X4"=.(-0.125)M0X8201=

4、拓展：

(1)已知n为正整数，且、2"=4.求(3x3〃)2_13(x2)2n的值.

(2)已知x"=5,y"=3,求(xy)2n的值

(3)若m为正整数，且x2m=3,求(3x3m)2-13(x2)2m的值.

回顾小结：

1.积的乘方(ab)"=(〃为正整数)

2.语言叙述：______________________________________

3.积的乘方的推广(abc)"="是正整数).

1.3同底数嘉的除法

一、学习目标

了解同底数幕的除法的运算性质，并能解决一些实际问题

二、学习重点：会进行同底数幕的除法运算。

三、学习难点：同底数幕的除法法则的总结及运用

(-)预习准备

(1)预习书p9-13

(2)思考：0指数哥和负指数塞有没有限制条件？

(3)预习作业：

1.(1)28X28=(2)52X53=(3)1O2X1O5=(4)a3•a3=

2.(1)2164-28=(2)55+53=(3)107H-105=(4)a6.4-a3=

学习过程

上述运算能否发现商与除数、被除数有什么关系？

得出：同底数基相除，•底数,指数.

即：am4-an=(。。0,m,n都是正整数，并且m>n)

练习：

(1)(X)+a=(2)(―x)+(-x)-(3)y"+y11

(4)h2"'+2-j-Z?2=(5)(x—+(x—y)6=(6)(-ab)5-r(ab)

2_

(7)(加一九尸+(〃一根尸=(8)-y3m-3yn,+'

提问：在公式中要求m,n都是正整数，并且m>n,但如果m=n或m<n呢？

计算：32+321034-103am4-am(aWO)

Q2nm

32H-32=—=1034-103==a"'^am=—=(aWO)

3am

324-32=3()=3，)1034-103=10(5=10(>am4-am=a(>=a()(a

WO)

于是规定：a0=l(aWO)即：任何非0的数的。次事都等于1

最终结论：同底数幕相除：ain**n(aWO,m、n都是正整数，且m2n)

想一想：loooono",(16=2"

1000=10()8=2()

100=10()4=2()

10=10()2=2()

，猜一猜：1=10(),1二2()

0.1=10()-=2()

2

0.01=10()-=2()

4

0.001=10()-=2()

8

负整数指数塞的意义:ap=—(a。()，p为正整数)或ap=(-)p(<7W0,

apa

P为正整数)

例1用小数或分数分别表示下列各数：

(I)IO_3=(2)7°x8_2=

(3)1.6x10^=______________________

练习：

1.下列计算中有无错误，有的请改正

a2=a5(2)〃%+a=cc'

(3)(—。)5+(一。)3=一。2(4)3°=3

2.若(2。-3加°=1成立，则a为满足什么条件?3.若(2x-5)°无意义，求x的值

7

4.若10,=」,10>'=49,则IO?”等于？5.若3*=。,3>=〃，求的32厂，的

4

值

6.用小数或分数表示下列各数:

(2)3==(3)4;=

(4)(I)=(5)4.2x10-3=(6)°.25-=

7.⑴若2，=*,贝Ik=(2)若(一2)'=(—2)；(一2『贝壮=

(4)若6]=3则"=

(3)0.0000003=3X10;则》=

拓展：

8.计算：(-3产+；［27x(-3产］(n为正整数)9.已知(x—I)*=1,求整数x的值。

回顾小结：同底数基相除，底数不变，指数相减。

1.4整式的乘法(1)

一、学习目标：理解并掌握单项式的乘法法则，能够熟练地进行单项式的乘法计算

二、学习重点：单项式乘法法则及其应用

三、学习难点：理解运算法则及其探索过程

(一)预习准备

(1)预习书pl4-15

(2)思考：单项式与单项式相乘可细化为几个步骤？

(3)预习作业：

1.下列单项式各是几次单项式？它们的系数各是什么？

8x；-2a2bc；xy；-t2；5yvt4；-10xy2z3.

次数：

系数：

2.下列代数式中，哪些是单项式？哪些不是？

134ab221

v-2x；ab；1+x；---；-y；6x2--x+7.

%5

3.(1)(―a5)5=(2)(—a2b/=

(3)(―2a)2(—3a2)3=(4)(—yn)2yn_1==

(二)学习过程：

整式包括单项式和多项式，从这节课起我们研究整式的乘法，先学习单项式乘以单项式

例1.利用乘法交换律、结合律以及前面所学的幕的运算性质，计算下列单项式乘以单

项式:

(1)2x2y•3xy2(2)4a2x5•(-3a3bx)

解：原式=()()()解：原式=()()()()

单项式乘以单项式的乘法法则：单项式相乘，把它的系数、相同字母分别相乘，对于只在一

个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式

注意：法则实际分为三点：

(1)①系数相乘一一有理数的乘法；此时应先确定结果的符号，再把系数的绝对值相乘

②相同字母相乘一一同底数基的乘法；(容易将系数相乘与相同字母指数相加混

淆)

③只在一个单项式中含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式，不能丢掉这个

因式.

(2)不论几个单项式相乘，都可以用这个法则.

⑶单项式相乘的结果仍是单项式.

例1计算:

(1)(-5a2b3)(-3a尸(2)(2x)3(-5x2y)=

(3)[/y?一=(4)(-3ab).(-a2c)2•6ab(c2)3=

注意：先做乘方，再做单项式相乘.

练习：1.判断：新I课赫I第IT网

单项式乘以单项式，结果一定是单项式()

两个单项式相乘，积的系数是两个单项式系数的积()

两个单项式相乘，积的次数是两个单项式次数的积()

两个单项式相乘，每一个因式所含的字母都在结果里出现()

2.计算：

⑴(2"2).(；孙)(2)(-2/〃)•(一3。)

⑶(4x10)5x(5x10,(4)(一3.%2).(_/〃)5

23I

(5)(一一a2bc3)-(--c5)-(-ab2c)(6)0.4x2y-(—xy)2-(-2x)3-xy3

343

拓展：

3.已知am=2,an=3,^(a3rn+n)2的值4.求证：52・32"10-306-2能被13整除

5.若&m+'bn+2).(a2n-*.h)=a5b\求机+〃的值。

回顾小结：单项式与单项式相乘，把他们的系数、相同字母的哥分别相乘，其余字母连

同他的指数不变，作为积的因式。

1.4整式的乘法(2)

一、学习目标

经历探索整式的乘法运算法则的过程，会进行简单的整式的乘法运算

二、学习重点：整式的乘法运算

三、学习难点：推测整式乘法的运算法则

(一)预习准备

(1)预习书pl6-17

(2)思考：单项式与多项式相乘最容易出错的是哪点？

(3)预习作业:

(1)-m2m2—(2)(jcy)3•(xy)2=

(3)2(ab-3)=(4)(2xy2)•3yx=

(5)(—2a3b)(—6ab6c)=(6)—3(ab2c+2bc—c)=

(二)学习过程：

1.我们本单元学习整式的乘法，整式包括什么？

2.什么是多项式？怎么理解多项式的项数和次数？

整式乘法除了我们上节课学习的单项式乘以单项式外，还应该有单项式乘以多项式，今

天将学习单项式与多项式相乘

做一做：

如图所示，公园中有一块长mx米、宽y米的空地，根据需要

在两边各留下宽为a米、b米的两条小路，其余部分种植花草，

求种植花草部分的面积.

(1)你是怎样列式表示种植花草部分的面积的?是否有不同的

表示方法？其中包含了什么运算？

方法一：可以先表示出种植花草部分的长与宽，由此得到种植花草部分面积为

方法二.：可以用总面积减去两条小路的面积，得到种植花草部分面积为.

由上面的探索，我们得到了_________________________________

上面等式从左到右运用了乘法分配律，将单项式乘以多项式转化为单项式乘以单项式

单项式与多项式相乘：就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项再把所得的积相加

例1计算：

(1)(一12盯2-10/y+21y3)(_6孙3)(2)(-2a2)-(ab+b2)-5a(a2b-ab2)

练习：1.判断题：

⑴3a3•5a3=15a3()

(2)Gab-lab=42ab()

⑶3/乂？/-2/)=6/-6/()

(4)—x2(2y2—xy)=-2xy2—x3y()

2.计算题：

1

2

Q+⑵Vji)

6-(3)2a(-2oZ?+—cih~)

⑷-3x(-y-xyz)⑸Sx4-y-xyZ+x?)(6)2制Mb-铲加c)

3233n

(7)(x)-2x[x-x(2x2-1)[(8)x(Zx^-Sx^+l)

拓展：

3.已知有理数a、b、c满足|a—b—3|+(b+1)2+|c—1|=0,(­3ab),(a2c—6b2c)

值。

4.已知：2x•(xn+2)=2xn+1-4,求x的值。

5.若a?(3an—2am+4ak)=3a9—2a6+4a4,求一3k?(n3mk+2km2)的值。

回顾小结：单项式和多项式相乘，就是根据分配律用单项式去多乘多项式的每一项，再把所

得的积相加。

1.4整式的乘法(3)

一、学习目标

1.理解多项式乘法的法则，并会进行多项式乘法的运算

二、学习重点：多项式乘法的运算

三、学习难点：探索多项式乘法的法则，注意多项式乘法的运算中“漏项”、“符号”的问

题

(一)预习准备

(1)预习书pl8-19

(2)思考：如何避免“漏项”？

(3.)预习作业：

3,,

(1)(-3孙*=(2)(--x3y)2=

(3)(—2x107)4=(4)(-%)•(-X)2=

(5)-a~•(-a)6=(6)一(/)5=

(7)(-«2)3-a5=(8)

(一2/加3.(一苏儿)2=

(9)—2x(2%—-3x—1)(10)(--x+-y--)(-6Ay)

(-)学习过程：

如图，计算此长方形的面积有几种方法？如何计算？

方法1：S=_________________________________

方法2：S=_________________________________

方法3：S=_________________________________m

方法4：S=_________________________________

由此得至lj：(m+b)(a+n)==

运用乘法分配律进行解释，请将其中的一个多项式看作一个整体，再运用单项式与多项式

相乘的方法进行计算

(把(a+n)看作一个整体)

(m+b)(a+n)=

多项式与多项式相乘：先用一个乘以另一个多项式的，再把所得的积

例1计算：(1)(1一x)(0.6-x)⑵(2x+y)(x—y)

⑶(X-2)，)2(4)(-2%-5)2

注意：(1)用一个多项式的每一项依次去乘另一个多项式的每一项，不要漏乘，在没有合

并同类项之前，两个多项式相乘展开后的项数应是原来两个多项式项数之积。

(2)多项式里的每一项都包含前面的符号，两项相乘时先判断积的符号，再写成代数

.和形式。

(3)展开后若有同类项必须合并，化成最简形式。

例2计算：

(l)(x+2)(y+3)—(x+l)(y_2)(2)ci~(tz+1)"—2(。—1)(<7+2)

练习：

(3)(y-；)(y+g)

(1)(x+2)(%+3)(2)(Q-4)(。+1)

(4)(-2x+1)-(5)(—3x+y)(—3九一y)(6)(x-2)(x2+2x)+(x+2)(x~-2x)

1.(x-5)(x+20)=x1+irix+n则m=,n=_

2.(x4-«)(x+Z?)=x2-kx-\-ab,则k的值为()

(A)a+b(B)—a—b(C)a—b(D)b—a

3.已知(2x-〃)(5x+2)=lOx?-6x+。则a=b=

拓展：

4.在V+〃x+8与——3x+q的积中不含/与1项，求p、q的值

回顾小结：多项式和多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把

所得的积相加。

1.5平方差公式(1)

一、学习目标

会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算

二、学习重点：掌握平方差公式的特点，能熟练运用公式

三、学习难点：理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式

四、学习设计

(一)、预习准备

1、预习书p20-21

2、思考：能运用平方差公式的多项式相乘有什么特点？

3、预习作业：

(1)(x+2)(x—2)(2)(m+3)(m-3)(3)(-x+y)(-x-y)

(4)(l+3a)(1-3a)(5)(x+5))Xx-5y)(6)(2x+l)(2x-l)

(二)、学习过程

以上习题都是求两数和与两数差的积，大家应该不难发现它们的规律.用公式可以表示为:

[a+b\a-b)=-我们称它为平方差公式

平方差公式的推导

(a+b)(a-b)=(多项式乘法法则)=(合并同类项)

即：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差

平方差公式结构特征：

①左边是两个二一项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；

②右边是乘式中两项的平方差。即用相同项的平方减去相反项的平方

例1计算：

⑴(一2%+3)(3+2%)(2)(3/7+2。)(2。-3b)⑶(一4〃-1)(-4。+1)

变式训练：1、用平方差公式计算:

(1)(-x--y)(-x+-y)；(2)(一2加2-7)(7-2m2)；

2323-

2.（2008•金华）如果x+y=-4,x-y=8,那么代数式——产的值为

注意：（1）公式的字母a、Z?可以表示数，也可以表示单项式、多项式;

（2）要符合公式的结构特征才能运用平方差公式

例2.下列各式都能用平方差公式吗？

(1)(a+Z?Xa-c)(2)(x+yl-y+x)(3)(-m-n\tn+n)

(4)(一Q+3)(-Q-3)(5)(Q+3)(—Q—3)(6)(—Q—3)(Q—3)

(7)(2Q+3〃)(2Q-3〃)(8)(-2Q+3/?)(2Q-3〃)

(9)(—2〃+3b)(—2ci+3b)(10)(—2a—3h)(2ci—3Z?)

(11)(cib—3%X--ab)

能否用平方差公式，最好的判断方法是：两个多项式中：两项相等，两项互为相反数

在平方差这个结果中谁作被减数，谁作减数，你还有什么办法确定？

相等数的平方减去相反数的平方

变式训练：1、判断

（1）（2a+h\2b-a）-4-a2-b~（）（2）f-^x+lY^x-]j=^-x2-1（）

-22

⑶(3x-y)(_3x+y)=9/)(4)(-2x-yX2x+y)=4x-y)

(5)(a+2)(a—3)=o--6()⑹(x+3Xy-3)=个一9)

2、填空：

（1）（2x+3y）（2x-3y）=(2)(4a-1、)=16/-1

拓展：

1、计算：(1)(a+Z?+c)~—(a—0+c)~(2)%4—(2x2+—1)一(x—2)(x+2)(x2+4)

2.先化简再求值(％+引&一苗(/+丁)的值，其中x=5,y=2

3.(1)若x?->2=12,x+y=6,贝k-y=

(2)已知(24+2/7+1)(2〃+2人-1)=63,则。+。=

回顾小结：熟记平方差公式，会用平方差公式进行运算。

1.5平方差公式(2)

一、学习目标

1.进一步使学生掌握平方差公式，让学生理解公式数学表达式与文字表达式在应用上的差

异

二、学习重点：公式的应用及推广

三、学习难点：公式的应用及推广

四、学习设计

(-)预习准备

(二)预习书p21-22

(三)思考：如何确定平方差公式中哪个是多项式中的和哪个是多项式的差？

(四)预习作业：

你能用简便方法计算下列各题吗？

(1)103x97(2)998x1002(3)59.8x60.2

(4)(X+3)(X-3)(X2+9)

学习设计:

1、做一做：如图，边长为4的大正方形中有一个边长为〃b的小正方形。

(1)请表示图中阴影部分的面积：S=

(2)小颖将阴影部分拼成了一个长方形，这个长方形的长和宽分别是

多少？

你能表示出它的面积吗？新谀林第,网

长=宽=s=

(3)比较1,2的结果，你能验证平方差公式吗？

进一步利用几何图形的面积相等验证了平方差公式

平方差公式中的。、b可以是单项式，也可以是多项式，在平方时，应把单项式或多项

式加括号；学会灵活运用平方差公式。有些式子表面上不能应用公式，但通过适当变形实质

上能应用公式.自如：(x+y-z)(x-y-z)中相等的项有和；相反的项

有，因此(x+y—z)(x—y—z)=[()+y][()-><]=()2-()2

形如这类的多项式相乘仍然能用平方差公式

例1.计算

(1)(x+y—z)(x+y+z)(2)(a-b+c)(a+b—c)

学海无涯

(1)题中可利用整体思想，把尤+y看作一个整体，则此题中相同项是(x+y),相反项是

一z和z；

(2)题中的每个因式都可利用加法结合律改变形式，则。是相同项，相反项是-b+C和

b-c

变式训练：计算：新深标第-网

(1)—(a+〃)(Q—Z?)J[(c—a)(c+a)+(/?—c)(c+Z?)]；(2)

(Q+Z?+c)~—(a—b+c)~

方法小结我们在做恒等变形时，一定要仔细观察：一是观察式子的结构特征，二是观察数

量特征，看是否符合公式或是满足某种规律，同时逆用公式可使运算简便。

2、知识回顾：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；团如果括

号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号

例21.在等号右边的括号内填上适当的项：

(1)。+/7—C=Q+()(2)ci—b+c=a—()

(3)ct'~b~c=ci~~()(4)a+b+c=Q—()

2.下列哪些多项式相乘可以用平方差公式？若可以，请用平方差公式解出

(1)(a+Z?+c)(a—Z?+c)(2)(a-h-c)(a+Z?-c)

(3)(a-b+c\a-b-c)(4)(a+2b+2c)(a+2b-2c)

变式训练:

1、(2+l)(22+l)(24+l)(28+l)+l2、(22+42++1002)-(l2+32++992)

3、观察下列各式：

(x-l)(x+l)=x2-l

(x-l)(x2+x+l)=x3-1

(x-l)(x3+x2+x+l)=x4-1

根据前面的规律可得：

(x-l)(xn+-++X+1)=

18

学海无涯

回顾小结：1.什么是平方差公式？一般两个二项式相乘的积应是几项式?

2.平方差公式中字母〃可以是那些形式？

3.怎样判断一个多项式的乘法问题是否可以用平方差公式？

1.6完全平方公式(2)

一、学习目标

1.会运用完全平方公式进行一些数.的简便运算

二、学习重点：运用完全平方公式进行一些数的简便运算

三、学习难点：灵活运用平方差和完全平方公式进行整式的简便运算

四、学习设计

(-)预习准备

(1)预习书p26-27

(2)思考:如何更简单迅捷地进行各种乘法公式的运算？

(3)预习作业：1.利用完全平方公式计算

(1)982(2)2032(3)1022(4)1972

2.计算：

(1)0+3)2-*2(2)("+1)2-(曲一1)2

(-)学习过程

平方差公式和完全平方公.式的逆运用

由(a+—份=a?—b2反之-b2=(a+h\a-b)

(a±Z?)2-cr+2ah+h2反之a2±2ah+b2=(a±/?)2

1、填空.：

(1)«2-4=(a+2)()(2)25-X2=(5-X)()(3)〃，_/=()()

(4)X2-64=()()(5)4疗—49=(2加一7)()

(6)a4—m4-(a2+m2)()—(a2+m2)()()

(7)若x?+4x+%=(x+2尸,则k=^

(8)若/+丘+9是完全平方式，贝心=

例］计算：1.(a+1)2-(«2-2a+4)2.(2xy-l)2-(2xy+1)2

现在我们从几何角度去解释完全平方公式：

从图(1)中.可以看出大正方形的边长是a+b,

它是由两个小正方形和两个矩形组成，回所

困⑴

学海无涯

以

大正方形的面积等于这四个图形的面积之和.

贝Ijs==____________________

即：_____________________________

如图(2)中，大正方形的边长是a,它的面积是；矩形DCGE与矩形BCHF是全等图

形，长都是—，宽都是—，所以它们的面积都是;正方形HCGM的边长是b,其

面积就是—；正方形AFME的边长是,所以它的面积是.从图中可以看

出正方形AEMF的.面积等于正方形ABCD的面积减去两个矩形DCGE和BCHF的面积再加上

正方形HCGM的面积.回也就是：(a-b)2=.这也正好符合完全平方公式.

例2.计算：

(1)(x-y-3)2(2)(a+b+c)2

变式训练：

(1)(a+b-3产(2)(x-y+2)(x+y—2)

(3)(6!—b—3)(<z—/?+3)(4)(x+5)2-(x-2)(x-3)

(5)(x-2)(x+2)-(x+1)(x-3)(6)(2x-y)2-4(x-y)(x+2y)

拓展：1、(1)已知x+y=4,孙=2,则(x-y)\

(2)已知(a+A)?=7,(a-"J?=3,求/+〃=,ah—

(3)不论a、Z?为任意有理数，〃+/72-4。+给+7的值总是()

A.负数B.零C.正数D.不小于2

2、(1)已知X?—3x+1=0,求-I.....-和X，H——的值。

X2X4

(2)已知。一。=3,＞一。=一1,求。2+62+c?-a8一方c-ca的值。

(3).已知％-+厂—2孙一6x+6y+9=0,求x—y的值

20

学海无涯

回顾小结

1.完全平方公式的使用：在做题过程中一定要注意符号问题和正确认识a、b表示的意

义，它们可以是数、也可以是单项式，还可以是多项式，所以要记得添括号。

2.解题技巧：在解题之前应注意观察思考，选择不同的方法会.有不同的效果，要学

会优化选择。

1.6完全平方公式(1)

一、学习目标

1.会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算

2.了解完全平方公式的几何背景

二、学习重点：会用完全平方公式进行运算

三、学习难点：理解完全平方公式的结构特征并能灵活应用公式进行计算

四、学习设计

(-)预习准备

(1)预习书p23-26

(2)思考：和的平方等于平方的和吗？

(3)预习作业：

(1)(3a—2h)(3a+2b)=(2)(3tz-2b)(3a-2b)—=

(3)(p+l)2=(p+l)(p+1)=(4)(m+2尸=

(5)(p-l)2=(p-l)(p-l)=(6)0_2)2=

(7)(a+b)2—(8)(a—b)2=

(-)学习过程

观察预习作业中(3)(4)题，结果中都有两个数的平方和，而2〃=2廖1,4加=22,

恰好是两个数乘积的二倍.(3)、(4)与(5)、(6)比较只有一次项有符号之差，(7)、(8)

更具有一般性，我认为它可以做公式用.

因此我们得到完全平方公式：

两数和(或差)的平方，等于它们的，加(或减)它们的积的倍.

公式表示为：3+=(a-6)2=

口诀：首平方，尾平方，两倍乘积放中央(加减看前方，同号加异号减)

例L应用完全平方公式计算：

(1)(4根+〃)~(2)(y—/(3)(-a—b)~(4)(―2x+y>

变式训练：

1.纠错练习.指出下列各式中的错误，并加以改正：

(1)(2a—1)"=2cr—2a+1(2)(2a+1)"——467"+1(3)

(―6/—1)~=—ci~—2a—1

21

学海无涯

2.下列各式中哪些可以运用完全平方公式计算,把它计算出来

(1)+(2)(a-b^b-a)

(3)(ah—3%X_+ah)(4)(-m-n\m+n)

分析：完全平方公式和平方差公式不同：

形式不同：(a±b)2=a2±2ab+b2(a+bXa-b)=a2-b2

结果不同：完全平方公式的结果是三项，平方差公式的结果是两项

3.计算：

(1)(-1-2%)2(2)(-2x+l)2

(3)(-2m-n^2m+n⑷L1+41L-4

3232

例2.计算:

1,1,

(1)(x+2y)(x-2y)(x2-4y2)(2)(-a-3b)\-a+3b)2；

(3)(2x-3y+4)(2x+3y-4).

方法小结(1)当两个因式相同时写成完全平方的形式；(2)先逆用积的乘方法则，再

用乘法公式进行计算；(3)把相同的结合在一起，互为相反数的结合在一起，可构成平方

差公式。

变式议练2.计算：

(1)(4x2-/)[(2x+y)2+(2x-y)2]；(2)(x—y)2(x+y)2(/+),2)2

(3)(尤+y-z)(x-y+z)。

11

拓展：1.已知XH-3,则0H-=

XX

11

2.(2008•成都)己知y=—1,那么3左20一2到+3；/0—2