2021学年九年级数学专题1 .6 圆 （二）章末重难点题型

专题1.6圆（二）章末重难点题型

【沪科版】

协力2?三

【考点1巧用圆的半径相等】

【方法点拨】解决此类问题的关键是连接半径，抓住圆的半径相等是关键.

【例1】（2020秋•朝阳区校级月考）如图，OA是。。的半径，8为OA上一点（且不与点0、A重合），过

点8作。4的垂线交于点C.以OB、BC为边作矩形OBC。，连结80.若BD=10,BC=8,则A8

的长为（）

A.8B.6C.4D.2

【分析】如图，连接oc,在Rtao3c中，求出08即可解决问题.

【解答】解：如图，连接oc

・・,四边形05co是矩形，

：.ZOBC=90°,BD=OC=OA=[0,

：.0B=yJOC2-BC2=V102-82=6,

：.AB=OA-08=4,

故选：C.

【点评】本题考查圆，勾股定理.，矩形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考

题型.

【变式1・1】（2020•南召县模拟）如图，。。的直径A5与弦。。的延长线交于点E,若DE=OB,ZAOC

=84°,则NE等于（）

A.42°B.28°C.21°D.20°

【分析】利用OB=DE,08=09得至1」。0=拉。则NE=N£>OE,根据三角形外角性质得Nl=ND0E+

ZE,所以N1=2N£同理得到NA0C=NC+N£=3NE,然后利用NE=!N40C进行计算即可.

【解答】解:连结0D,如图，

•：OB=DE,08=。。，

:.DO=DE,

：.ZE=ZDOEf

VZ1=ZDOE+ZE,

：.Zl=2ZE,

2

而OC=OD,

.*.ZC=ZL

/.ZC=2ZE,

ZAOC=ZC+ZE=3ZE,

AZE=1Z^OC=1x84°=28°.

故选：B.

【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、

等弧等）.也考查了等腰三角形的性质.

【变式1-2］（2019秋•句容市校级月考）如图，点A、D、G、M在半圆。上，四边形A8OC、DEOF、HMNO

均为矩形，设BC=a,EF=b,NH=c,则下列各式中正确的是（）

A.a>b>cB.a=b=cC.c>a>bD.b>c>a

【分析】连接04、OD、0M,则OA=OQ=OM,由矩形的性质得出O4=8C=mOD=EF=b,0M=

NH=c,即可得出a=b=c.

【解答】解：连接。4、0D、0M,如图所示：

则OA=OD=OM,

•・•四边形AB。。、DEOF、HNM0均为矩形,

：.OA=BC=a,OD=EF=b,OM=NH=c,

••a=b=c；

故选：B.

3

【点评】本题考查了矩形的性质、同圆的半径相等的性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证是

解决问题的关键.

【变式1-3］（2020秋•天宁区期中）如图，两个正方形都在的直径的同侧，顶点8、C、G都在

上，正方形ABC。的顶点A和正方形CEFG的顶点F都在。。上，点E在8上.若AB=5,FG=3,

则OC的长为.

【分析】由四边形ABC。，EFGC是正方形,得到NA8C=NFGC=90°,根据勾股定理即可得到结论.

【解答】解：连接A。，OF,

,四边形ABC。，EFGC是正方形，

.•./4BC=/FGC=90°,

：.AB2+BO2^OG2+FG2,

：.52+(5-OC)2=(3+002+32

0c=2,

【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

【考点2点与圆的位置关系（求范围）】

【方法点拨】解决此类问题关键要记住若半径为r,点到圆心的距离为d,则有：当d>r时，点在圆外;

4

当d=r时，点在圆上，当d<r时，点在圆内.

【例2】（2019•嘉定区二模）在RtZ\ACB中，/C=90°,AC=3,BC=3®以点A为圆心作圆A,要使

B、C两点中的一点在圆4外，另一点在圆4内，那么圆A的半径长7•的取值范围是.

【分析】熟记“设点到圆心的距离为d,则当d=r时•，点在圆上；当">「时，点在圆外；当时，

点在圆内”即可求解，

【解答】解：：RtZX4CB中，ZC=90°,AC=3,BC=3近,

：.AB=6,

如果以点A为圆心作圆，使点C在圆A内，则r>3,

点B在圆4外，则rV6,

因而圆A半径r的取值范围为3<r<6.

故答案为3<r<6；

【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断.设点到圆心的距离为d,则当"=「时，点在圆上；当

•时，点在圆外；当时，点在圆内.

【变式2-1］（2019•长宁区一模）在直角坐标平面内，点。是坐标原点，点A的坐标是（3,2）,点B的坐

标是（3,-4）.如果以点。为圆心，r为半径的圆。与直线A8相交，且点4、8中有一点在圆。内，

另一点在圆O外，那么，的值可以取（）

A.5B.4C.3D.2

【分析】先根据两点间的距离公式分别计算出04、OB的长，再由点A、8中有一点在圆。内，另一点

在圆。外求出r的范围，进而求解即可.

【解答】解：；点A的坐标是（3,2）,点8的坐标是（3,-4）,

OA=V32+22=V13,

OB=V32+42=5,

•.•以点。为圆心，，•为半径的圆O与直线AB相交，且点4、8中有一点在圆。内，另一点在圆。外，

.\V13<r<5,

；.r=4符合要求.

故选：B.

【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断.关键要记住若半径为厂，点到圆心的距离为d,则有:

当一时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当时，点在圆内.也考查了坐标与图形性质.

【变式2-2］（2019秋•大兴区期末）矩形ABC。中，AB=10,8c=4或，点P在边AB上，且8尸：AP=4：

5

1,如果OP是以点p为圆心，p。长为半径的圆，那么下列结论正确的是（)

A.点、B、C均在。尸外B.点B在OP外，点C在0P内

C.点B在。尸内，点C在0P外D.点8、C均在0P内

【分析】先求出AP的长，然后利用勾股定理求得圆P的半径的长，根据点8、C到P点的距离判断

点P与圆的位置关系即可.

【解答】解:如图，

:四边形A8CO为矩形，

：.AD=BC=4V2,

•.,AB=10,BP：AP=4：1,

."P=2,BP=8,

在RtZXAOP中，'：AP=2,AD=4V2,

DP=7AD2+AP2=-4+32=6,

在RtAPBC中，CP=7BP2+BC2=-64+32=4V6,

V8>6,4V6>6,

.•.点B,点C均在。P外，

故选：A.

【点评】本题考查了矩形的性质，点与圆的位置关系的判定，根据点与圆心之间的距离和圆的半径的大

小关系作出判断即可.

【变式2-3］（2019秋•绿园区期末）如图，在每个小正方形的边长均为1的5义5的网格中，选取7个格点

（小正方形的顶点），若以点A为圆心，/•为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个点在圆内，则

r的取值范围是（）

6

A.3<r<V10B.V2<r<V5C.V10<r<V13D.而VrW3

【分析】利用勾股定理求出各格点到点A的距离，结合点与圆的位置关系，即可得出结论.

【解答】解：给各点标上字母，如图所示.

■：AB=Vl2+22=V2,AC=AD=Vl2+22=V5,4G=3,AF=Vl2+32=/10,

AE=V22+32=V13

所以以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，

这三个点只能为8、C、。点，

/.V5<r<3,

故选：D.

【点评】本题考查了点与圆的位置关系以及勾股定理，利用勾股定理求出各格点到点4的距离是解题的

关键.

【考点3点与圆的位置关系（求最值）】

【例3】（2020•长兴县三模）如图，在RtZVIBC中，/ABC=90°,AB=3,8c=4,点。是半径为1的0A

上的一个动点，点E为CQ的中点，连结8E,则线段8E长度的最小值为.

7

D

【分析】取AC的中点M连接A。、EN、BN.利用直角三角形斜边中线的性质，三角形的中位线定理

求出BN,EN,再利用三角形的三边关系即可解决问题.

【解答】解：如图，取AC的中点N,连接A。、EN、BN.

•在RtZsABC中，ZAfiC=90°,AB=3,8C=4,

：.AC=y/AB2+BC2=V32+42=5,

，：AN=NC,

：.BN=8C=j,

,:AN=NC,DE=EC,

：.EN=^AD=I，

BN-ENWBEWBN+EN,

515i

2222

...2W8EW3,

的最小值为2,

故答案为：2.

【点评】本题考查直角三角形斜边的中线的性质，三角形的中位线定理，三角形的三边关系等知识，解

题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型.

【变式3-1］（2020•武昌区模拟）如图，在Rt^ABC中，/ABC=90°,AB=8,8c=6,点。是半径为4

8

的G)A上一动点，点M是CD的中点，则的最大值是

【分析】如图，取AC的中点M连接MN,BN.利用直角三角形斜边中线的性质，三角形的中位线定

理求出8MMN,再利用三角形的三边关系即可解决问题.

【解答】解：如图，取AC的中点M连接MN,BN.

；/ABC=90°,AB=S,BC=6,

."C=IO,

,:AN=NC,

；.8N=yC=5,

,:AN=NC,DM=MC,

1

:,MN=；AD=2,

:.BMWBN+NM,

，BMW5+2=7,

即的最大值是7.

故答案为7.

【点评】本题考查直角三角形斜边的中线的性质，三角形的中位线定理，三角形的三边关系等知识，解

9

题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型.

【变式3-2](2020•连云港模拟)如图，在平面直角坐标系中，C(0,4),A(3,0),G)A半径为2,尸为

0A上任意一点，E是PC的中点，则OE的最小值是()

C2D

【分析】如图，连接AC,取AC的中点H,连接EH,OH.利用三角形的中位线定理可得E〃=1,推出

点E的运动轨迹是以，为圆心半径为1的圆.

【解答】解：如图，连接4C，取AC的中点“，连接E”，OH.

\"CE=EP,CH=AH,

1

：.EH=1网=1，

.•.点E的运动轨迹是以“为圆心半径为1的圆,

VC(0,4),A(3,0),

：.H(1.5,2),

/.OH=J22+1.52=2.5,

的最小值=OH-E”=2.5-1=1.5,

故选：B.

【点评】本题考查点与圆的位置关系，坐标与图形的性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是

学会添加常用辅助线，正确寻找点£的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题.

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【变式3-3](2020•泰安)如图，点A,8的坐标分别为A(2,0),B(0,2),点C为坐标平面内一点,

8c=1,点M为线段AC的中点，连接。M,则OM的最大值为()

【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为1的。B上，通过画图可知，C在8。与圆B的交点

时，最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论.

【解答】解：如图,

•••点C为坐标平面内一点，BC=1,

.♦.C在。8上，且半径为1,

IXOD=OA=2,连接CD,

OD=OA,

：.是力的中位线，

：.OM=^CD,

当。例最大时，即CO最大，而。，B,C三点共线时，当C在力8的延长线上时，OM最大,

•：OB=OD=2,ZBOD=90°,

:.BD=2五,

11

：.CD=2y/2+\,

：.0M=^CD=V2+1，即OM的最大值为迎+1；

故选：B.

【点评】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定。例为最大值时点C的位置

是关键，也是难点.

【考点4弧、弦、角、之间的关系】

【方法点拨】在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其

余各组量都分别相等，其中圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.

【例4】（2020•建湖县校级模拟）如图，Q0的弦A8、C£＞的延长线相交于点P,且PA=PC.求证：AB=CD.

【分析】连接AC、04、OB、OC、0D,根据等腰三角形的性质得到NB4C=NPC4,根据圆周角定理

得到N80C=NA0。，根据圆心角、弧、弦的关系定理证明结论.

【解答】证明：连接AC、04、OB、OC、OD,

\'PA=PC,

：.ZPAC^ZPCA,

11

VZ^4C=1ZB0C,ZPCA=^ZA0Df

:./BOC=NA。。，

：.AD=BCf

【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条

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弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.

【变式4-1](2020秋•兴化市校级月考)如图，在00中，点C是优弧ACB的中点，D、E分别是04、OB

上的点，且AO=BE,弦CM、CN分别过点。、E.

(1)求证：CD=CE.

(2)求证：AM=BN.

【分析】(1)连接OC,只要证明△COOg/^COE(SAS)即可解决问题;

(2)欲证明询=丽，只要证明NM0D=ZNOE即可；

【解答】(1)证明：连接。C.

'：AC=BC,

：.ZCOD=ZCOE,

'：OA=OB,AD=BE,

：.OD=OE,"：OC=OC,

二△(%)*△COE(SAS),

：.CD=CE.

(2)分别连结OM,ON,

'：/\COD^/\COE,

...ZCDO=ZCEO,ZOCD=ZOCE,

•：OC=OM=ON,

ZOCM=ZOMC,ZOCN=ZONC,

：.40MD=/0NE,

'：NODC=ZDM0+ZM0D,NCEO=ZCNO+ZEON,

：.ZMOD=NNOE,

：.AM=BN.

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【点评】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻

找全等三角形解决问题，属于中考常考题型.

【变式4-2］（2019•浙江模拟）如图，己知半的直径AB为3,弦AC与弦8。交于点E,ODA.AC,垂

足为点尸，AC=BD,则弦AC的长为.

【分析】由AC=BD知检+前=前+比，得通=比，根据O£）_L4c知而=而，从而得

AD=CD=BC,即可知/4。。=/。6^=/8（%：=60°,利用AF=AOsin/AO尸可得答案；

【解答】ft?：ZODIAC,

：.AD=CD,/A尸0=90°,

y.'：AC=BD,

：.AC=BD,即而+前=加+比，

：.AD=BC,

：.AD=CD=Bt,

：.ZAOD=ZDOC=ZBOC=60Q,

；A8=3,

3

：.AO=BO=^,

•417—AC./433.

•»AF—AOs\n\^.AOF=5xsz-y———，

LL4

则AC=2AF=孥：

【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识

解决问题，属于中考常考题型.

【变式4-3］（2019•武汉模拟）如图，。。中，弦ABLC。，垂足为E,F为痂的中点，连接AF、BF、AC,

AF交CD于M,过F作FHLAC,垂足为G,以下结论：®CF=DF-,②HC=BF：（3）MF=FC：

14

④麻+丽=/+介，其中成立的个数是（)

【分析】根据弧，弦，圆心角之间的关系，圆周角定理以及三角形内角和定理一一判断即可.

【解答】解：；尸为谢的中点，

'.CF=DF,故①正确，

：.ZFCM=ZFAC,

'：ZFCG=ZACM+ZGCM,ZAME=ZFMC=ZACM+ZFAC,

：.ZAME=NFMC=AFCG>ZFCM,

：.FC>FM,故③错误，

'：ABYCD,FHLAC,

...NAEM=/CGF=90°,

：.ZCFH+ZFCG=90°,/8AF+/AME=90°,

:.NCFH=NBAF,

：.CH=BF,

:・HC=BF,故②正确，

；NAG尸=90°,

：.ZCAF+ZAFH=90°,

...丽的度数+"的度数=180°,

二曲的度数+而的度数=180°,

：.AH+CF=AH+DF=CH+AF=AF+BF,故④正确，

故选：C.

15

【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本

知识，属于中考选择题中的压轴题.

【考点5圆的对称性（最短路线”

【例5】（2019秋•玄武区校级月考）如图，是。。的直径，MN=4,点A在。。上，NAMV=30°,B

为弧AN的中点，P是直径上一动点，则B4+PB的最小值为.

【分析】作点A关于MN的对称点A',连接A'B,与MN的交点即为点P,此时PA+PB的最小值即

为A'8的长，连接。A'、OB、OA,先求NA'OB=ZA'ON+NBON=60°+30°=90°,再根据勾

股定理即可得出答案.

【解答】解：作点A关于MN的对称点4',连接A'B,与的交点即为点P,附+PB的最小值即为

A'8的长，连接。V、08、OA,

图2

点为点A关于直线AW的对称点，NAMN=30°,

/.^AON=ZA,ON=22X30°=60°,

又•.•弧AN的中点，

：.AB=/Vfi,

AZBON^ZAOB=^ZAON=x60°=30。,

：.ZA'OB=ZA'ON+ZBON=60°+30°=90°,

又,：MN=4,

i1

：.OA'=08=^MN=^x4=2,

.\RtAA,08中，A'B=V22+22=2\/2,即B4+P8的最小值为2&.

故答案为：2企.

16

【点评】本题主要考查作图-复杂作图及轴对称的最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质和圆周角定理、

圆心角定理是解题的关键.

【变式5-1］（2020秋•高邑县期末）如图，AB是。。的直径，AB=2,点C在。O上，NCAB=30°,D

为弧BC的中点，P是直径AB上一动点，则PC+PD的最小值为（）

【分析】作出。关于48的对称点。'，则PC+P。的最小值就是C。'的长度，在△C。。'中根据边角

关系即可求解.

【解答】解：作出。关于AB的对称点。’，连接。C,OD',CD1.

又•.•点C在。。上，/。8=30°,。为弧8c的中点，即劭=丽'，

：.ZBAD'=|ZCAB=15°.

：.ZCAD'=45°.

:.NCOD'=90°.则△CO。是等腰直角三角形.

VOC=OD'=|AB=1,

：.CD'=V2.

【点评】本题考查了轴对称-最短路线问题，勾股定理，垂径定理，正确作出辅助线是解题的关键.

【变式5-2］如图，AB是。。的直径，A8=8,点M在。。上，NMAB=20°,N是砒的中点，P是直径

AB上的一动点，则PM+PN的最小值为（）

17

A.4B.5C.6D.7

【分析】作N点关于AB的对称点M,连接MN'交AB于P',如图，则P'N=P'N',利用两点

之间线段最短得到此时P'M+P'N的值最小，然后证明△OMN'为等边三角形得到MN'=0M=4,

从而可判断PM+PN的最小值.

【解答】解：作N点关于A8的对称点N',连接MN'交A8于P,如图，

则P'N=P'N',

：.P'M+P'N=P'M+P'N'=MN',

...此时「'M+P'N的值最小，

'：ZMAB=20°,

AZMOB=40a,

是弧MB的中点，

:"NOB=20°,

点关于A8的对称点N',

/.ZN'08=20°,

：.NMON'=60°,

：./\OMN'为等边三角形，

:.MN'=OM=4,

：.P'M+P'N=4,

即PM+PN的最小值为4.

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对

的圆心角的一半.推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.也考查

了最短路径问题的解决方法.

【变式5-3］（2019秋•和平区期中）如图，MN是00的直径，A,B,C是。。上的三点，ZACM=60",

B点是前的中点，P点是上一动点，若。。的半径为1,则以+尸8的最小值为（）

18

A.IB.—C.V2D.V3-1

2

【分析】点8关于MN的对称点），连接。4、08、OB',AB1,根据轴对称确定最短路线问题可得

A）与的交点即为用+P8的最小时的点，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2

倍求出/AON=60°,然后求出NBCW=30°,再根据对称性可得N8'ON=NBON=30：然后求出

ZA0B1=90°,从而判断出△A08'是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可得A8'

=V2OA,即为限+P8的最小值.

【解答】解：作点8关于MN的对称点8',连接。4、OB、OB'、AB',

则A8'与MN的交点即为以+PB的最小时的点，B4+P8的最小值=4），

VZACM^60°,

/.ZAOM=2ZACM^2X60°=120°,

...NAON=60°,

,••点B为劣弧AN的中点，

11

・・・N8ON=*/4ON=*x60。=30°,

由对称性，/B'ON=ZBON=30°,

/.ZAOBr=NAON+N8'ON=60°+30°=90°,

•••△AO）是等腰直角三角形，

•=yj20A=y/2xl=V2,

即PA+PB的最小值=y/2.

故选：C.

【点评】本题考查了轴对称确定最短路线问题，在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍

19

的性质，作辅助线并得到△AOS'是等腰直角三角形是解题的关键.

【考点6垂径定理】

【方法点拨】垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧：弦的垂直平分线过圆心，且平分弦

对的两条弧.

【例6】（2020•泰兴市模拟）如图，aABC中，AB=5,AC=4,BC=2,以A为圆心AB为半径作圆A,延

9L

A.5B.4C.-D.2V5

2

【分析】如图，过点A作于点E,连接A。，可得4O=A8=5,根据垂径定理可得

得CE=BE-BC=DE-2,再根据勾股定理即可求得QE的长，进而可得CD的长.

【解答】解：如图，过点A作于点E,连接AD,

."£>=48=5,

根据垂径定理，得

DE=BE,

：.CE=BE-BC=DE-2,

根据勾股定理，得

AD2-DE1=AC1-CE2,

A52-D£2=42-(DE-2)

解得DE=詈，

9

2=

：.CD=DE+CE2-

20

故选：c.

【点评】本题考查了垂径定理，解决本题的关键是掌握垂径定理.

【变式6-1]（2019秋•通州区期末）如图，将。0沿着弦AB翻折，劣弧恰好经过圆心0.如果弦AB=4百，那么

OO的半径长度为（）

A.2B.4C.2V3D.4A/3

【分析】作OOLA8于连接04,先根据勾股定理列方程可解答.

【解答】解：作。。-L48手力，连接04.

'.,0DLAB,48=4百，

：.AD=戈8=2/，

由折叠得：0£>=/。，

设0D=x,则AO=2xf

在RtZ\OAO中，AD1+OD1=OA2,

（2V3）2+?=⑵）2,

x=2,

：.OA=2x^4,即。。的半径长度为4：

故选：B.

【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答

此题的关键.

【变式6-2]（2019秋•武威月考）如图，己知。0的直径AB和弦CD相交于点E,AE=6cm,EB=2cm,

21

ZBED=30°,求CD的长.

【分析】先过点。作连结0C,根据垂径定理得出CD=2CM,再根据AE=6c/〃，EB=2cm,

、、22

求出ABf再求出OCOBOE,再根据NCEA=30°，求出0M=^0E=力x2=\cm9根据CM=y/OC-OMf

求出CM,最后根据C£>=2CM即可得出答案.

【解答】解：过点。作。MJ.CO,连结。C,则CD=2CM,

・"8=8(cm),

AOC=OB=4(cm),

：.OE=4-2=2(cm),

■:NCEA=NBED=30°,

11

：.OM=2x2=l(cm),

CM=70c2—0M2=742—M=(C”)，

.*.CD=2V15(cm}.

【点评】此题考查了垂经定理，用到的知识点是垂经定理、勾股定理、30°角的直角三角形，关键是根

据题意做出辅助线，构造直角三角形.

【变式6-3](2019秋•秦淮区期中)如图，在以点。为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、

D.

(1)求证AC=BD；

(2)若4c=3,大圆和小圆的半径分别为6和4,则CO的长度是.

22

【分析】（1）作CHLCO于，，如图，根据垂径定理得到AH=BH,利用等量减等量差相等

可得到结论；

（2）连接OC,如图，设C4=x,利用勾股定理得到OH2=O^-AH2=61

-（3+x）2,则4?-,=62-（3+x）2,然后解方程求出x即可得到。的长.

【解答】（1）证明：作C”_LC£＞于，，如图，

'."OHYCD,

：.CH=DH,AH=BH,

：.AH-CH=BH-DH,

：.AC=BD；

(2)解：连接OC,如图，设CH=x,

在Rt^OCH中，0泮=0(^-CH2^^-x2,

在Rt/XOA”中，0”2=。储-A”2=62-(3+x)

2

r.4-X2=62-(3+x)2,解得x=9

：.CD=2CH=^-.

【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧•也考查了勾股

定理.

【考点7垂径定理的实际应用】

[例7]（2019秋•瑞安市期末）某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为O,隧道的水平宽AB为

24m,AB离地面的高度AE=10"，拱顶最高处C离地面的高度CO为18m在拱顶的例，N处安装照

明灯，且M,N离地面的高度相等都等于17机，则MN=m.

23

【分析】根据题意和垂径定理得到CG=8，”，AG=\2m,CH=1办根据勾股定理求得半径，进而利用勾

股定理求得M”，即可求得

【解答】解：设CQ于AB交于G,与MN交于4,

VCD=18/M,AE=\Om,AB=24m,HD=17m,

：.CG=Sm,AG=\2m,CH=\m,

设圆拱的半径为r,

在RtzMOG中，OA2=OG2+AG1,

：.r-=(r-8)2+122,

解得r=13,

0(J=13m,

：.0/7=13-l=12m,

在Rt/XMOH中，0M2=。炉+用炉,

.,.132=122+Affl2,

解得用)=25,

:.MN=10nt,

故答案为10.

地面

24

【点评】本题考查了垂径定理的应用，作出辅助线构建直角三角形，利用勾股定理求解是解题的关键.

【变式7-1]（2020•枣阳市模拟）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古

希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉.在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，

不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如

图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB=1尺（1尺=10寸），则该圆材的直径为（）

【分析】设。。的半径为r寸.在RtZXACO中，AC=5,OC=r-1,OA=r,则有^=52+（r-1）

解方程即可.

【解答】解：设圆心为0,过。作0CLA3于C,交。。于C,连接。4,如图所示：

."0=夕8=110=5,

设。。的半径为，•寸，

在RtZXACO中，0C=r-l,OA=r,

则有r2=52+（r-1）2,

解得r=13,

二OO的直径为26寸，

【点评】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关犍是学会利用参数构建方程解决问题，属于中

考常考题型.

【变式7-2]（2020•龙岩模拟）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF

=CD=\6cm,则球的半径为（）

25

AD

A.10V3c/nB.10C/MC.1Q\[2cmD.8V3c/w

【分析】首先找到E尸的中点M,作丁点M,取MN上的球心。，连接。尸，设。F=x,则QW

是16-x,MF=8,然后在直角三角形MOF中利用勾股定理求得O尸的长即可.

【解答】解：EF的中点M,作MNJ_AO于点M,取上的球心。，连接。兄

设。F=x,则OM=16-x,MF=8,

222

在直角三角形OM尸中，OM+MF=OFf

即：（16-%）2+82=X2,

解得:x=10.

故选：B.

B1-----------g------

【点评】本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解题的关键是正确的作出辅助线构造直角三角形.

【变式7-3]（2019秋•京山市期中）在圆柱形油槽内装有一些油，油槽直径MN为10分米.截面如图，油

面宽AB为6分米，如果再注入一些油后，当油面宽变为8分米，油面AB上升（）

N

A.1分米B.4分米

C.3分米D.1分米或7分米

【分析】实质是求两条平行弦之间的距离.根据勾股定理求弦心距，作和或差分别求解.

【解答】解：连接。A.作0GLA8于G,

则在直角△OAG中，AG=3分米，

因为OA=5a〃，根据勾股定理得到：OG=4分米，即弦A8的弦心距是4分米，

同理当油面宽A8为8分米时，弦心距是3分米，

26

当油面没超过圆心。时，油上升了1分米；当油面超过圆心。时，油上升了7分米.

因而油上升了1分米或7分米.

故选：D.

【点评】此题主要考查了垂径定理的应用，此题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、

圆心角的计算的问题，常把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角

三角形予以求解.本题容易忽视的是分情况讨论.

【考点8圆周角定理】

【方法点拨】圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等。

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

【例8】（2020•河池）如图，AB是。。的直径，点C,D,E都在。。上，Zl=55°,则N2=°.

【分析】如图，连接AD证明Nl+/2=90°即可解决问题.

【解答】解：如图，连接AD.

是直径，

AZADB=90Q,

VZl=ZADE,

.,.Zl+Z2=90°,

27

VZ1=55°,

.♦./2=35°,

故答案为35.

【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

【变式8-1］（2019•辽阳）如图，A,B,C,。是上的四点，且点8是配的中点，BD交OC于点E,

ZAOC=100°,/OC0=35°,那么NOEO=.

【分析】连接。8,求出N。，利用三角形的外角的性质解决问题即可.

'：AB=BC,

：.ZAOB=ZBOC=50°,

1

：・NBDC=^NBOC=25。,

VZOED=ZECD+ZCDB,NECD=35°,

AZOE£>=60°,

故答案为600.

【点评】本题考查圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，

属于中考常考题型.

【变式8-2］（2020•阜新）如图，A8为。。的直径，C,。是圆周上的两点，若乙钻。=38°,则锐角N8OC

的度数为（）

28

c

A.57°B.52°C.38°D.26°

【分析】由A8是。O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可得/ACB=90°,又由/ABC=38°,

即可求得NA的度数，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得N8OC的度

数.

【解答】解：连接AC,

是。0的直径，

-8=90°,

；/ABC=38°,

.../R4C=90°-/A8C=52°,

：.ZBDC=ZBAC=52°.

故选：B.

【点评】此题考查了圆周角定理.此题难度不大，注意掌握直径所对的圆周角是直角与在同圆或等圆中,

同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用是解此题的关键.

【变式8-3］（2020•眉山）如图，四边形ABC。的外接圆为。O,BC=CD,ND4C=35°,ZACD=45°,

则NAOB的度数为（）

【分析】利用圆心角、弧、弦的关系得到血=应，再利用圆周角定理得到N8AC=ND4c=35°,Z

29

ABD=ZACD=45°,然后根据三角形内角和计算的度数.

【解答】解：；8C=CZ）,

：.DC=BC,

VZ.ABD和ZACD所对的弧都是通，

.•.N8AC=NZMC=35°,

,：ZABD^ZACD=45°,

AZ/lDB=180o-ZBAD-ZABD=\SO0-70°-45°=65°.

故选：C.

【点评】本题考查了圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键.

【考点9圆内接四边形】

【方法点拨】圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，且任意一个角的外角都等于其内对南.

【例9】（2020•碑林区校级模拟）如图，四边形4BCO内接于O。，ZD=100°,CELAB交。。于点E,

连接。B、OE,则NBOE的度数为（）

A.18°B.