初三暑假数学初三年级上册全册教案补习班教案

数学课教案

课题初三暑假数学教案组名教师

时间暑假班级年级新初三课型新授课

1.一元二次方程

教学

2.圆

目标

3.二次函数

课前作业完成情况优口良口中口差口

检查建议：

1.1一元二次方程

一'创设情境，导入新知

思考以下问题如何解决：

问题1：正方形的面积是2爷；，求它的边长。

问题2:如图矩形花圃一面靠墙，.另外三面所围的栅栏的总长度是19m,如果花圃的面积是24加2,求花

教

圃的长和宽.

学

问题3:如.图梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙的距离是3m,如果梯子底端向右滑动的距离与梯子顶端向

下滑动的距离相等，求梯子滑.动的距离.

过

程

二、观察归纳：

观察上面所列的方程，讨论它们与我们所学的一元一次方程有什么异同？

一元二次方程的概念：只含有_____未知数，且未知数的最高次数是.______的______方程叫一元二

次方程。

注意：认识一元二次方程必须抓住下面几个条件：

（1）方程是整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数最高次数2；

（4）有的方程要整理后才能判断是否是一元二次方程。

三、一元二次方程的一般形式

任何一个关于X的一元二次方程都可以化成如2+公+°=0(八b、C是常数.)的形式，这种形式

叫一元二次方程的一般形式，其中如2、法、C分别叫、和,。、人分别叫做

和o

注意：(1)二次项系数ao()；

(2)方程化为一般形式后才能确定二次项.、一次项、常数项。指明一元二次方程各项系数时注意

不要漏掉前面的性质符号。

思考：(1)当〃=0,c=0时，方程ar?+bx+c=0(a#0)的形式为__-________；

(2)当b=0,c#0时，方程+bx+c=0(a#0)的形式为。

(3)当b*0，c=0时，方程戏一二：的形式为。

它们是一元二次方程吗？

四、一元二次方程的解

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.

注意：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程;

其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0,看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高

次数为2.

对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0.

五、典型例题

例1、辨别下列各式是否为一元二次方程？

x2+x+19x2-6x=0—y2-0

2

5x2-+4=0f+孙-3y2=0(x+l)(x-l)=x2

2x

例2、已知方程(加-&)£'「-(m+3)x=4，n。

(1)当m为何值时，此方程为一元一次方程；

(2)当m为何值时，此方程为一元二次方程。

例3、把下列关于x的一元二次方程化为一般形式，写出它的二次项系数、一次项系数及常数项

2

(1)8/=3X+5(2)3x(x—2)=2(x—2)(3)Xx+1)=2x+1

23

例4、方程+x+a-2=0的一个解为1,求a的值.

例5、如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x,=2,x2=1,那么p,q的值分别是()

A.-3,2B.3,-2C.2,-3D.2,3

延伸：如果非零实数a、b、。满足a+b+c=。，则关于x的一元二次方程"2+"+c=。必有一根

如果非零实数a、b、C满足a-6+c=0,则关于x的一元二次方程ar?+bx+c=O必有一根

如果非零实数a、b、c中满足c=。，则关于X的一元二次方程办2+以+C=()必有一根

六、课堂小结

1、判断一个方程是否是一元二次方程的关键是什么？

2、要确定一元二次的项及系数，首先要把方程化成一元二次方程的一般形式是什么？；

七'巩固复习

一、选择题

1.若'2一3%+〃2一〃=0是关于X的一元二次方程，则()

A.p=#1B.pWO且pH10.p^OD.p#=0且p#=1

2.已知x=-1是关于x的方程x'-x+mR的一个根，则m的值为()

A.-2B.-1C.0D.2

二、填空题

3.方程(2x+1)(x-3)=x?+1化成一般形式为,二次项系数是.一次项系数是

常数项是一.

4.(1)关于x的方程(m2-4)x2-(m-2)x-1=°是一元二次方程，则m；

(2)关于x的方程(m2-4)x2-(m-2)x-l=°是一元一次方程，则m,

5.下列关于x的方程中是一元二次方程的是(只填序号).

(1)x2+1=0；(3)x2+y+l=0；

(4)x3-x2-x+1=0；(5)2x(3x-5)=6犬+4；(6)(x-2)(x-3)=5.

6.下列哪些数是方程》2一6》+8=0的根?答案：.

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.

7.方程2x-4:0的解也是关于x的方程r+nix+ZR的一个解，则m的值为.

三'解答题

8.教材或资料会出现这样的题目：把方程1/_x=2化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项

系数、一次项系数和常数项.现把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答：

⑴下列式子中，有哪几个是方程-x=2所化的一元二次方程的一般形式？(答案只写序

2

®-x2-x-2=0；③f-2x=4；

2

@-x2+2x+4=0；⑤底2一2瓜-46二0.

⑵方程L/-x=2化为一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数，一次项系数，常数项之间

2

具有什么关系？

9,若关于x的一元二次方程4/一2公-利-2«-6=0常数项为4,则一次项系数.

10、已知3+2行是关于x的方程/一6x=机的一个根，则加=。

11、根据题意，列出方程：

(1)剪出一张面积是240。/的长方形彩纸，使它的长比宽多8c帆，这张彩纸的长是多少？

(2)某厂经过两年时间将某种产品的产量从每年14400台提高到16900台，平均每年增长的百分率是多

少？

9、关于x的方程q2x2-2x(2x-l)=ax+l,在什么条件下它是一元二次方程？在什么条件下它是一元

一次方程？

1.2一元二次方程的解法

(1)直接开平方法

一、知识回顾，复习导入

1、把下列方程化为一般形式，并说出各项及其系数。

(1)5=4x-x2(2)5=3/(3)j；2-(y+1)2=(j+2Xy-2)

2、我们曾学习过平方根的意义及其性质，现在来回忆一下：什么叫做平方根?平方根有哪些性质？

平方根有下列性质：(1)一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反数的；

(2)零的平方根是零；

(3)负数没有平方根。

3、填空：4的平方根是25的平方根是100的平方根是

二、提出问题，探索归纳

思考：如何解方程X2=2呢？

根据平方根的意义，—是—的平方根，所以，X=。即这个一元二次方程的两个根为

结论：1、根据平方根的意义，X就是2的平方根，.*=±行，这种直接通过求平方根来解一元二次方程

的方法叫做直接开平方法。

2、形如方程/-左=°仅2°)可变形为/=灯左3°)的形式，用直接开平方法求解。

三,例题讲解

例1.解方程(1)/一4=0；(2)4X2-1=0；

例2.解方程(x+1)2—2=0(这两题和上面两题有什么异同点？解法上有什么联系？)

分析：如果把(x+1)看成是一个整体，就可以用直接开平方法求解。

例3.已知直角三角形两边长是方程9-(x-8)2=0的两根，求直角三角形第三边长。

小结：如果一个一元二次方程具有(x+h)Jk(h、k为常数，k》0)的形式，那么就可以用直接开平方

法求解。

三'拓展延伸：

1、若=36,求/+>2的值。

2、已知a=1+V20

(1)写一个一元二次方程，使得x=a是该方程的一个解；

(2)试证明x=a是方程x2—2%—1=0的一个解；

(3)求a?-4a2+3&+11的值。

四、课堂小结

1、用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤

2、任意一个一元二次方程都可以用直接开平方法解吗？

形如(x+6)2=k(h、k为常数k，0)的方程。

说明：G)解形如J+力)2=火(h、k为常数k'O)的方程时，可把(x+力)看成整体，然后直接开平方

(2)注意对方程进行变形，方程左边变为一次式的平方，右边是非负常数，

(3)如果变形后形如G+M'=人中的K是负数，不能直接开平方，说明方程无实数根。

(4)如果变形后形如(l+=&中的k=0这时可得方程两根』相等。

五'巩固复习

1、方程x?-36=0的解为；方程(X+4)?-2=0的解为o

2、用直接开平方法解方程(x+2>=机-4,方程必须满足的条件是。

r2-3

3、当*=_______时，分式:一的值为0.

W-3

4、若最简二次根式J"+28与J7/??+4是同类二次根式,则加=。

5、关于x的方程2/+36-2。=0有一根是2,则关于)，的方程V+。=7的解为。

6、若--12y2=0,则x:y=。

7、某小店今年七月份营业额为500元，九月份上升到7200元，平均每月增长的百分率为»

8、解下列方程:

(1)》=169；(2)45-x=0；(3)12y-25=0；(4)4?+16=0；

(5)(2x+l)2-3=0(6)i(3x+l)2-15=0(7)4(%+3)2=25(%-2)2

4

9、已知y>x>0,x+y-2y/xy=2,求五-4的值。

配方法

一、知识回顾，复习导入

、请写出完全平方公式：(a+6)2='

?、用直接开平方法解下列方程：(1)(X+3)2=5(2)(x—5-+4=13

人将下列各式进行配方：

2z、2

(l)x-+2x+=(X+)

2/、2

_(2)片8x+_____=(A)_________________________________________________

2

(3)J+5J+——=(y+丫

.21Z\2

(5)x2+bx+=(x+)

、提出问题，探索归纳

思考：想一想如何解方程Y+6X+9=5?

想一想如何解方程X2+6X+4=0?

两个方程之间有什么联系？

提示：能否将方程/+6“+4=()转化为(x+%三〃的形式呢？

定义：把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫

做配方法.

目的：把左边转化成()Jk的形式，右边的k是一个非负数。

思考：观察方程，+2x—8=0和2%2+4%-16=0,请比较这两个方程的区别与联系。

提示：对于二次项系数不为1的一元二次议程，可以先将两边同时除以二次项系数，再利用配方法将方乘

2》2+4x-16=0转化为(x+万)三〃的形式。

归纳总结：将关于x的方程々/+bx+c=0(aw0)化为=〃的形式，再利用直接开平方法求解,

这种解一元二次方程的方法叫做配方法.

用配方法解一元二次方程的步骤：

①把原方程化为=°)的形式；

②移项:把常数项移到方程的右边；

③二次项系数化为1：方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1;

④配方:方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

⑤把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；

⑥开方:根据平方根意义，若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数,

则判定此方程无实数解。

注意：

(1)配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；

(2)配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.

(3)配方法的理论依据是完全平方公式/±2ab+/=(〃±勿2.

例1、解下列方程：

(1)，_4X+3=0(2)/+3x=l(3)x2=O

63

口答：

(1)X2-2X+=(x--)2(2)x2+8x+=(x+—)2

3

(3)x2-5x+=(x-___)2(4)X2+~x+=(x+___)2

板演练习：

(1)X2+2X-3=0(2)x2+10x+20=0(3)x2-x=l(4)x2+2A/2X-4=0

例2、(1)利用配方法证明：无论x为何值，二次三项式-/—2x—2恒为负；

(2)根据(1)中配方结果，二次三项式-1一2%一2有最大值还是最小值？最值是多少？

练习：求代数式6x+10的最值。

例3、用配方法解方程：

(1)2x2-5x+2=0(2)-3x2+4%+1=0

小结：二次项系数不为1的一元二次方程的解法步骤为：(1)(2)

(3)(4)(5)

板演练习：

(1)2%2-8%+1=0(2)-x2+2x-l=0(3)2x2+3x=0(4)3x2-l=6x

2

例4、体会转化思想：解方程2)=5

2

例5、你能用配方法求代数式3/+6x—5的最小值吗？

三、拓展与延伸

1、如图，在aABC中，AB=AC=4,NA=36°,BD平分NABC,求BC的长。

2、把关于x的方程a/+法+。=0（。工0）化为（x+Q2=/?的形式，当〃、8、c满足什么关系时，方

程有实数根？你能解出这个方程吗？

三、课堂小结

用配方法解一元二次方程的一般步骤

、巩固复习

22

填空：（1）X+6X+（）=（）(2)x—8x+()=()

222

(3)V+x+()=()~(4)4X—6x+()=4()

2、用配方法解下列方程：

22

(1)*+2x=5；(2)x—4x+3=0；(3)%+8x-2=0；

2

(4)x+7=-6x.(5)x2-x=1；(6)X2-7X+12=0

(.7)lx2-5%+2=0.(8)-3/+4X+1=0(9)2/-8x+l=0

(10)-x2+2x-l=0(11)2/+3X=O(12)3/-1=6X

2

3、若代数式M=10/+〃一7a+8,N=a2+b2+5a+l,则M-N的值()

A.一定是负数B.一定是正数C.一定不是负数D.一定不是正数

4,用配方法证明：二次三项式-8x?+12x-5的值一定小于0.

5.已知直角三角形的三边a、b、c,且两直角边。、人满足等式(1+〃＞一2(/+〃)-15=0,求

斜边，的值。

6.把方程—一3x+p=0配方，得到(x+根丫=g。

(1)求常数〃与加的值；(2)求此方程的解。

公式法

—»知识回顾，复习导入

1、用配方法解一元二次方程的步骤是什么？

2、用配方法解下例方程(1)2X2-7X-2=0(2)2X2-4X+5=0

二、提出问题，探索归纳

请尝试用配方法解一元二次方程：a^+bx+c=0(a/0)

示范：ax2+bx+c=0

因为甘于0,所以方程两边都除以a,得

aa

移项，得

2,

x+—bx=—c—

aa

配方，得

/+纥+(A)2=，+(2)2

a2aa2a

,b.b--4ac

x+——)2=-------

2a4a

因为a^O,所以4aA

当t/-4ac，O时，

.bylb2-4ac

X+———±---------

2a2a

—b±ylb2-4ac

x=----------------

2a

归纳总结：一般地，对于一元二次方程a/+6x+c=0(a丰0)的根是由方程的各项系数a,b,c确定的

当时，它的实数根是o这个公式叫做一元二次方程的,利月

这个公式解一元二次方程的方法叫做。

三'例题讲解

例1、请你利用求根公式解下列方程：

F+3X+2=0(2)2x-7x=4(3)0.2x2-1.2x+0.55=0

板演练习：

(1)2x2+x-l=0(2)x(x-6)=6(3)-2x2+3x-4=0

例2、用公式法解关于x的方程：x2-3/m+(2m2-mn-n2)=0o

拓展延伸:

用公式法解关于x的方程：x2+px+q=0(p2—4acN0)。设此方程的两根为玉、x2,

试求：(1)/+/；(2)尤「々。你有什么发现？

、课堂小结

1、用公式法解一元二次方程时要注意什么？

2、任何一个一元二次方程都能用公式法求解吗？

3、若解一个一元二次方程时，d2-4ac<0,那么方程有实数根吗？为什么？

五'巩固复习

1、把方程4-X2=3X化为ax，bx+c=O(a手0)形式为,b2-4ac=

2、把关于x的方程(2x-l)(x+3)=/+1化成"2+云+。=。的形式，b2-4ac=,

方程的根是o

3、关于x的方程-+4x—m=0的一个根是否一2,则机=方程的另一个根是

4、当工=时，H2一二与二！相等。

324

5、根据“拓展于延伸“中你探究的结论，方程1=0的两根之积为,两根之和为

Q

6、用公式法解下列方程：

(1)x-2x-8=0(2)X2+2X-4=0(3)2x-3x-2=0

2

(4)3x(3x-2)+1=0(5)2x+x-6=0⑹+4x=2

7、已知等腰三角形的底边长为9,腰是方程/一10了+24=0的一个根，求这个三角形的周长。

8.两个连续正偶数的积等于168,求这两个偶数。

9,用公式法解关于x的方程mox?-(/7i2+n2)x+mn=0(/w?丰0,m2>n2)

根的判别式

一、知识回顾，复习导入

1、运用公式法解下例方程：

(1)X2-4x+4=0(2)2x2-3x-4=0(3)x2+3x+5=0

一、提出问题，探究新知

思考：对于a-+bx+c=0的根=-〃土历二4ac中,若出现〃一4。0<0怎么办呢？

2a

例如：解方程3x2-4X+4=0

举例：判断下列方程根的情况(1)3x2-4x+1=0(2)X2-4x+4=0(3)3x2-4x+7=0

解：(1)4ac=16-12=4>0

此方程有两个不相等的实数根

(2)VZ?2-4ac=16-16=0

，此方程有两个相等的实数根

(3)VZJ2-4«C=16-84=-68<0

，此方程没有实数根

归纳总结：

(1)一元二次方程根的判别式：L=b^-Aac-

①当A=/一4数>0时，原方程有两个不等的实数根再，%=一。工"一皿

2a

②当△=/-4明=0时，原方程有两个相等的实数根须=马=-色；

2a

③当&=/-4加<0时，原方程没有实数根.

(2)用公式法解x的一元二次方程+8x+c=0(。W0)的步骤：

①把一元二次方程化为一般形式；

②确定a、b、c的值(要注意符号)；

③求出/一4四的值；

④若/-4的之0,则利用公式x=一8±'2一4奴求出原方程的解;若/一4ac<0,则原方

2a

程无实根.

注意：

(1)虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选

择.

b-A/7<,

(2)一元二次方程0?+袅+。=0(。70),用配方法将其变形为：(》+二)2=：^_；

2a4矿

—卜+J

①当△=〃-4改>()时，右端是正数.因此，方程有两个不相等的实根：石2=4^------

2a

卜

②当A=〃—4。。=0时，右端是零.因此，方程有两个相等的实根：x19=-—

③当^=尸一44。<0时，右端是负数.因此，方程没有实根.

三'课堂小结

如何利用根的判别式来判断一元二次方程根的情况？

例1、不解方程，判别方程根的情况：

(1)F+3x7=0(2)x2-6x+9=0(3)2y2-3y+4=0(4)x?+5=2瓜

变式：求证：不论x取何值时，关于x的一元二次方程，一点—1=0总有两个不相等的实数根。

例2、女取什么值时，关于x的方程2/一伏+2)%+2左-2=0有两个相等的实数根？有两个不等的实

数根？无实数根？

变式1：已知关于了2-3%+左一2=0有实数根，求k的取值范围。

例3、已知关于x的方程质2+Ji=八-2=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围。

四、拓展延伸

关于x的方程(A-2)/一2(女一1»+4+1=0有实数根，求k的取值范围。

(友情提示：此方程不一定是一元二次方程哦！)

四、巩固复习

1、不解方程，判断方程根的情况

X2+3x-4=02x2-^x+7=05x2-6x-4=0x2-2j^x+5=0

2、已知方程x2+kx-4=0有两个相等的实数根，求k的值。

变式1、有两个不相等的实数根，求k的取值范围；

变式2、没有实数根，求k的取值范围；

变式3、有实数根，求k的取值范围；

变式4、若方程变为kx2+3x-4=0有实数根，求k的取值范围。

提公因式法

一、知识回顾，复习导入

到目前为此，我们已经学习了一元二次方程的几种解法？

1、直接开平方法x2=a(a'O)

2、配方法(x+h)2=k(k>0)

r______

c八3、*.______、-h±\h2-4ac/.、八、

3、公式法'------Yr-(/?24ac>0)

2a

J

练习：解方程X2=3X.

解法1：配方法解法2：公式法

二'探求新知，归纳总结

(建模)我们知道，若aXb=O,则有a=0或b=0

(应用)解方程:X2=3X

由d=3x.可知，x(x—3)=0

x=0或x—3=0

.1.x,=0或x2=3.

(拓展延伸)用上面的方法解下列方程

5x2+3x=0x2-25=0(x+2)(x-5)=02(x-4)+x(x-4)=0

归纳总结：

(1)当一个一元二次方程的一边是0,另一边能分解成两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元

二次方程转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

(2)用因式分解法解一元二次方程的步骤：

①将方程右边化为0；

②将方程左边分解为两个一次式的积；

③令这两个一次式分别为0,得到两个一元一次方程；

④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.

(3)常用的因式分解法

提取公因式法，公式法(平方差公式、完全平方公式)，十字相乘法等.

注意：

①能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0,另一边可以分解成两个一次因

式的积；

②用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0,那么这两个因式中至少有一个等

于0；

③用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以

含有未知数的代数式.

三、例题讲解

用因式分解法解下列方程：

(1)x2--4x(2)x+3—x(x+3)=O(3)(2x-1)2-x2=0

板演练习：

(1)(x+2)(x—l)=0(2)3x2=x(3)4x(2x—l)=3(2x—l)(4)(2x-1)2=(3x+2)2

3、观察与思考:

小明解方程(x+2)2=4(x+2)方程两边都除以(x+2),得x+2=4,于是解得x=2。小明的解法

正确吗？为什么？

4、思考:

请你观察下列方程的特征，说出用什么方法解方程比较简便，并解答。

(1)(21)2=5(2)x2+2x^0(3)x(x-3)=4

(4)x(x—4)=165(5)(2x-1)=x2

注：在选用适当的方法解一元二次方程时，先观察方程的特征，看能否用因式分解法或用直接开平方法

求解，若不能再考虑用公式法或配方法求解。

板演练习：用适当的方法解下列方程

(1)A:2-5X-6=0(2)(X+2)2=3X+6(3)X(X—3)=1O

(4)2(x-2)2=x2-4(5)(2x—l)(x+3)=4(6)x2-4V2x+8=0

四、课堂小结

什么情况下会选择因式分解法来解一元二次方程？

五、巩固复习

1、解下列一元二次方程：

(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4=0(2)(3x-l)(x-1)=(4x+

(3)(x+8)Z-5(X+8)+6=0(4)3x(2x+l)=4x4-2

2、探究下表中的奥秘，并完成填空:

一元二次方程两个根二次三项式因式分解

X2-2X+1=0Xi=1,X2=1X2-2X+1=(x-1)(x-1)

x2-3x+2=0Xi=1,X2=2x2-3x+2=(x-1)(x-2)

2

3X+X-2=0XI=2,X=-12

23X+X-2=3(x-2)(x+1)

33

2

2X+5X+2=0X1=-A,X2=-22x?+5x+2=2(x+1)(x+2)

22

2

4X+13X+3=0Xi-_____,X2—4x?+13x+3=4(x+____)(x+____)

将你发现的结论一般化，并写出来.

1.3一元二次方程的根与系数的关系

一、探索发现

探索发现：观一察下表，你能发现下列一元二次方程的根与系数有什么关系吗？

XlX2

ax2+法+c=0

12

X2-3X+2=0

-1-2

x2+3X+2=0

23

x2-5x+6=0

-2-3

x2+5x+6=0

03

X2-3X=0

解释规律：你能解释刚才的发现吗？一元二次方程aF+6x+c=0（a丰0）,若6—4〃20,它的两个根

分别是必、*2.

总结发现：一元二次方程3X+bx+0=0（日于0）,如果4ac»0,它的两个根分别是必、x2.则有

bC

=

+%2=-------9Xj,一.

a-a

二、例题讲解

例1、求下列方程两根的和与两根的积：（1），+2*—5=0；（2）2f+x=1.需要解方程.吗？

例2、小明在一本课外读物中读到如下一段文字：

“一元二次方程X?一**°的两根是2+6和2—百”，你能写出这个方程中被墨

迹.污染的一次项系数和常数项吗？

三、归纳总结

1)一元二次方程的根与系数的关系：

如果一元二次方程ax?+Ax+c=O(awO)的两个实数根是X],x,那么内+/=——，xx=—.

2Clt2Cl

注意：它的使用条件为a*0,△》0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于

方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的

商.

(2)一元二次方程的根与系数的关系的应用

(1)验根.不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；

(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；

(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于X”xz的对称式的值.此时，常常涉及代数式的一些重

要变形；如：

①X；+X；=(玉+々)2；＜2)—+—-=A'+A?；③玉々？+¥%2=玉%2(芯+%2)；

X[x2X1•x2

2

④”+2二3Ltd=(内+//―2»/；⑤(王一々)2=(X,+X2)-4x,x2；

x}x2x}x2x}x2

22

⑥(3+攵)(工2+攵)=x]x2+w)+/；⑦I%—x2|=A/(XJ-X2)+X2)-4XJX2；

@-T+-4="*=(%、,2~~；⑨％-X,=±«x「xj2=±J('+-2)2―4百工2；

玉X2Xjx2(x1x2)

⑩|x/+1%21=J(lx|+|%21)2=旧+考+2|%•Ei=J(X|+々)2-2X/2+21X|.9I•

(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程；以两个数勺'为为根的一元二次方程是

32_区+叼〃+*2=0.

(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；

(6)利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号.

设一元二次方程ax?+bx+c=O(a7O)的两根为*、x2,则

①当△》()且不々时，两根同号.

当△》()且王々＞0，%+々＞0时，两根同为正数；

当△》()且与々＞0，%+々＜0时，两根同为负数.

②当△＞()且斗々＜0时，两根异号.

当△>◊且玉々<0，%+工2〉0时，两根异号且正根的绝对值较大；

当△>0且X/2<0，玉+々<0时，两根异号且负根的绝对值较大.

注意：

(1)利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的△.一些考试中，往往

利用这一点设置陷阱；

(2)若有理系数一元二次方程有一根〃+惠，则必有一根。-筋(*6为有理数).

四、课堂小结

1.一元二次方程根与系数的关系是什么.？

2.应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实.根的条件，即当且仅当6-4ac20

时，才能应用根与系数的关系.

五'巩固复习

1、不解方程，判别方程根的情况：x2-ox+a2+1=0

2、不解方程，求方程2/+3x-l=0的两个根的(1)平方和；(2)倒数和.

3、已知方程5f+履—6=0的一个根是2,求另一个根及k的值.

4、已知关于x的一元二次方程mx、(m+2)x+2=0.

(1)证明：不论m为何值时，方程总有实数根；

(2)m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根.

1.4用一元二次方程解决问题

一、复习

二、知识点梳理

1.构建一元二次方程数学模型,常见的模型如下:

⑴与几何图形有关的应用：如几何图形面积模型、勾股定理等；

⑵有关增长率的应用：此类问题是在某个数据的基础上连续增长（降低两次得到新数据,常见的

等量关系是a（1±x2=b,其中a表示增长（降低前的数据，x表示增长率（降低率，b表示

后来的数据。注意:所得解中，增长率不为负,降低率不超过1o

⑶经济利润问题:总利润=（单件销售颤-单件成本③销售数量;或者,总利润=总销售额-总成本。

题干中已知量为进价a元，原售价b元，销量m件，销量随售价每提高（B每低）d元而减少（增加）c件，获

得利润n元.

①若设售价x元，则列式为②若设提（降）价x元，则列式为:

「提价减销量:（提价减销量:

x—dex

(x-a)m-c-n+x—a)m

降价提销量:降价提销量:

b-x

(x-a)m+c(.b-x-a)tn+—

（4）动点问题:此类问题是一般几何问题的延伸,根据条件设出未知数后,要想办法把图中变化的线

段用未知数表示出来,再根据题目中的等量关系列出方程。

5）用列一元二次方程的方法解决有关赠贺卡、握手问题.

握手总次数、单循环赛的场次=门加-1）/2；送礼物总份数=n（n—1）.

★2.注重解法的选择与验根:在具体问题中要注意恰当的选择解法，以保证解题过程简洁流畅,特别要对

方程的解注意检验,根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性.

三、典型例题（重点）

考点一、与几何图形有关的应用

例1某旅行社的一则广告如下：我社组团去龙湾风景区旅游，收费标准为：如果人数不超过30人，人

均旅游费用为800元；如果人数多于30人，那么每增加1人，人均旅游费用降低10元，但人均旅游费

用不得低于500元，甲公司分批组织员工到龙湾风景区旅游，现计划用28000元组织第一批员工去旅游,

问这次旅游可以安排多少人参加？

变式训练：某旅行社的一则广告如下：我社组团去龙湾风景区旅游，收费标准为：如果人数不超过30人,

人均旅游费用为800元；如果人数多于30人，那么每增加1人，人均旅游费用降低10元，但人均旅游

费用不得低于500元，甲公司组织员工到龙湾风景区旅游，并支付给旅行社29250元。求该公司第二批

参加旅游的员工人数。

例2如图，一块长方形铁皮的长是宽的2倍，四角各截去一个正方形，制成高是5cm,容积是500cm3的

无盖长方体容器。求这块铁皮的长和宽。

变式训练1:一块边长为10cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折成一个无盖的

长方体盒子，若要求长方体的底面积为81cm?,则剪去的正方形边长为多少？

变式训练2:一块正方形铁皮的4个角各剪去一个边长为4cm的小正方形，做成一个无盖的盒子。已知盒

子的容积是400cm3,求原铁皮的边长。

练习：(1)一块长方形菜地的面积是150cm2。如果它的长减少5m,那么菜地就变成正方形，求原菜地的

长和宽。

(2)在一块长70m、宽50m的长方形绿地的四周有一条宽度相等的人行道，这条人行道的面积是130(^,

求这条人行道的宽度。

考点二：列一元二次方程解“数字问题”和“平均增长率”

例1一个三位数，十位上的数字比它个位上的数字大3,百位上的数字等于个位上的数字的平方。已知这

个三位数比它的个位上的数字与十位上的数字的积的25倍大202,求这个三位数。

练习：(1)有一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大6,把这个两位数个位数字与十位数字对调,

再与原数相乘，积为3627,求这个两位数。

(2)一个直角三角形的三边长是连续整数，求这三边长。

例2某商店6月份的利润是2500元，要使8月份的利润达到3600元，平均每月增长的百分率是多少？

练习：(1)两个数的和为16,积为48。求这两个数。

(2)有一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大6,把这个两位数个位数字与十位数字对调，再与

原数相乘，积为3627,求这个两位数。

(3)一个直角三角形的三边长是连续整数，求这三边长。

考点三：列一元二次方程解“动态”问题

例1、一根长22cm的铁丝。（1）能否围成面积是30cmz的矩形？（2）能否围成面积是32cm?的矩形？

并说明理由。

分析：如果设这根铁丝围成的矩形的长是xcm,那么矩形的宽是o

根据相等关系：矩形的长X矩形的宽;矩形的面积，可以列出方程求解。

解：

例2、如图，在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=3cm。点P沿边AB从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点

Q沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动。如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0W

tW3）。那么，当t为何值时，△QAP的面积等于2cm?!

练习：1、用长为100cm的金属丝制作一个矩形框子。框子各边多长时，框子的面积是600cm2?能制成

面积是800cm?的矩形框子吗？

2、如图，在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=12cm,点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时,

点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，问几秒后△PBQ的面积等于8cm2?

考点四：用列方程的方法解决有关商品的销售问题

例1、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售，增加盈利，

商场决定采取适当的降