理论力学动量矩习题

本文格式为Word版下载后可任意编辑和复制第第页理论力学动量矩习题

习题

11-1质量为m的质点在平面Oxy内运动，其运动方程为：x?acos?t,y?bsin2?t。其中a、b和w均为常量。试求质点对坐标原点O的动量矩。

???a?sin?tvy?y??2b?co2?xs?t

LO??my?mvyx

?m(a?sin?t?bsin2?t?2b?cos2?t?acos?t)

?mab?(sin?t?sin2?t?2cos2?t?cos?t)

?ma?b(si?nt?2sin?tco?st?2co2s?t?co?st)

?2ma?bco?st(si2n?t?co2s?t)

?2mab?cos3?t

11-2C、D两球质量均为m，用长为2l的杆连接，并将其中点固定在轴AB上，杆CD与轴AB的交角为?，如图11-25所示。如轴AB以角速度w转动，试求下列两种状况下，系统对AB轴的动量矩。（1）杆重忽视不计；（2）杆为均质杆，质量为2m。

图11-25

(1)

22Jz?2m?(lsin?)2?2ml2sin?Lz?2m?l2sin?(2)

lm282Jz杆?2?(xsin?)2dx?ml2sin2?Jz?ml2sin?0l33

8Lz?m?l2sin2?3

11-3试求图11-26所示各均质物体对其转轴的动量矩。各物体质量均为m。

图11-26

12ml?3

1l11(b)JO?ml2?m()2?ml2LO??ml2?12699

1m21m255(c)JO???l???l?ml2LO?ml2?122322424

133(d)JO?mR2?mR2?mR2LO?mR2?222

11-4如图11-27所示，均质三角形薄板的质量为m，高为h，试求对底边的转动惯量Jx。(a)LO?

图11-27

面密度为?A?2mbh

y2m2my2m在y处by?bdm??AdA??by?dy??b?dy?2ydybhbhhhh

微小区域对于z轴的转动惯量

dJz?(h?y)2dm?

Jz??

?

h2my(h?y)2dy2h02m2mh22122321y(h?y)dy?(hy?2hy?y)dy?2mh(??)h2h2?02341mh26

11-5三根相同的均质杆，用光滑铰链联接，如图11-28所示。试求其对与ABC所在平面垂直的质心轴的转动惯量。

图11-28

1??1lJz??ml2?m(h)2??3h?23??12

?112?111Jz??ml2?m(?l)??3?(?)ml2?3?ml23212122?12?

11-6如图11-29所示，物体以角速度w绕O轴转动，试求物体对于O轴的动量矩。(1)半径为R，质量为m的均质圆盘，在中央挖去一边长为R的正方形，如图11-32a所示。(2)边长为4a，质量为m的正方形钢板，在中央挖去一半径为a的圆，如图11-32b所示。

图11-29(1)

11R2m22JC?mR?m1Rm1?m?26πR2π

11m3π?1JC?mR2??R2?mR226π6π

m(π?1)mm??m??ππ

3π?1(π?1)m29π?7JO?JC?m?R2?mR2?R?mR26ππ6π

7?9πLO??JO??mR2?6π

(2)

11πa2π22JC?m(4a)?m1am1?m?m26216a16

81π256?3πJC?ma2??ma2?ma2321696

π16?πm??m?m?m1616

256?3π16?π256?3π?96?8?48πJO?JC?m??(22a)2?ma2?m?8a2?mR2961696

1024?51π?mR296

51π?1024LO??JO??mR2?96

11-7如图11-30所示，质量为m的偏心轮在水平面上作平面运动。轮子轴心为A，质心为C，AC＝e；轮子半径为R，对轴心A的转动惯量为JA；C、A、B三点在同始终线上。试求下列两种状况下轮子的动量和对地面上B点的动量矩：(1)当轮子只滚不滑时，已知vA；(2)当轮子又滚又滑时，已知vA、w。

图11-30

LB??mvC(R?e)?JC???mvc(R?e)?(JA?me2)?(1)

??vAvC?(R?e)?R

vvvLB??m(R?e)2A?(JA?me2)A??[JA?me2?m(R?e)2]ARRR

(2)

vC?vA?e?

LB??m(vA?e?)(R?e)?JC?

??m(R?e)vA?me(R?e)??(JA?me2)?

??[m(R?e)vA?(JA?meR)?]

11-8曲柄以匀角速度w绕O轴转动，通过连杆AB带动滑块A与B分别在铅垂和水平滑道中运动，如图11-31所示。已知OC＝AC＝BC＝l，曲柄质量为m，连杆质量为2m，试求系统在图示位置时对O轴的动量矩。

图11-31

?AB??(顺时针)

LO?LOC?LAB

LOC?12ml?3

124(2m)(2l)2(??AB)?2ml2??ml2??ml2?1233LAB?2mvCl?

LOC?52ml?3

11-9如图11-32所示的小球A，质量为m，连接在长为l的无重杆AB上，放在盛有液体的容器中。杆以初角速度w0绕O1O2轴转动，小球受到与速度反向的液体阻力F＝kmw，k为比例常数。问经过多少时间角速度w成为初角速度的一半？

图11-32

Lz?ml2?Mz??kml?

dLz?Mzdt

得d?k???dtl

?

00?

?kln??t?0l

l?lt?ln0t?ln2kk???d????tkdtl

11-10水平圆盘可绕z轴转动。在圆盘上有一质量为m的质点M作圆周运动，已知其速度大小v0=常量，圆的半径为r，圆心到z轴的距离为l，M点在圆盘上的位置由f角确定，如图11-33所示。如圆盘的转动惯量为J，并且当点M离z轴最远（在点M0）时，圆盘的角速度为零。轴的摩擦和空气阻力略去不计，试求圆盘的角速度与f角的关系。

图11-33

?Mz?0Lz?常量

Lz0?mv0(l?r)Lz?Jz??m(l2?r2?2lrcos?)??mv0r?mv0lcos?Jz??m(l?r?2lrcos?)??mv0r?mv0lcos??mv0(l?r)??

11-11两个质量分别为m1、m2的重物M1、M2分别系在绳子的两端，如图11-34所示。两绳分别绕在半径为r1、r2并固结在一起的两鼓轮上，设两鼓轮对O轴的转动惯量为JO，试求鼓轮的角加速度。

图11-34

Lz?JO??m1v1r1?m2v2r2v1?r1?v2?r2?22ml(1?cos?)v022Jz?m(l?r?2lrcos?)

Lz?(JO?m1r12?m2r22)?

?Mz?m1gr1?m2gr2

dLz??Mzdt

22(JO?m1r1?m2r2)??m1gr1?m2gr2

??

m1gr1?m2gr222JO?m1r1?m2r2

11-12如图11-35所示，为求半径R＝0.5m的飞轮A对于通过其重心轴的转动惯量，在飞轮上绕以细绳，绳的末端系一质量为m1＝8kg的重锤，重锤自高度h＝2m处落下，测得落下时间t1＝16s。为消去轴承摩擦的影响，再用质量为m2＝4kg的重锤作第二次试验，此重锤自同一高度落下的时间t2＝25s。假定摩擦力矩为一常数，且与重锤的重量无关，试求飞轮的转动惯量和轴承的摩擦力矩。

图11-35

vJ?mR2

Lz??(J??mvR)??(J?mvR)??()vRR

?Mz?Mf?mgR

dLz??Mzdt

J?mR2

)a?mgR?Mf(R

(J?mR2)a?(mgR?Mf)R22h(J?mR)2?(mgR?M