2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）

2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新评标I）

一、选界本大意共12小题，每小题5分,共60分.在年小题给出的四

个选项中,只有一项是符合愿目要求的.

1.（5分）已知集合A・（xxVl},B=（xl3"V»,则《）

A.AAB=|x；x<0lB.AUB=RC.AUB={xx>l}D.ACB=e

2.（5分）如图.正方形ABCD内的图形来口中国古代的太极图.正方形内切园

中的黑色部分和白色部分左门[方形的中心成中心对称.右：1"形内随机取

•点.则此点取白黑色部分的概率是（）

3.（5分）设芍下面四个命题

P1：若攵散Z满足上任乩则ZWR：

Z

P2；若比数Z满足Z2WR,财Zb;

P3：若发数Z”Z2满足gWR，艮九产石：

P4：若复数zWR,则^WR.

其中的真金咫为（）

A-PJ.pjBpvP*C.pj.paD.P2•p4

4.<5分）记S„为等差数列（an-的前n项和一若a「a/24.又=48.则5}的

公差为（）

A.1B.2C.4D.8

5.（5分>函数£（x）在（-3,+«>）单洲递减，JL为奇函数.若f（D=-

1,则涓足7Wf（x-2）<1的x的取值范惯是（）

A.[-2.2jB.[-1.1]C.[0.4jD.[1,3]

6.（5分）（卜-与）（l'x）6展开式中/的系数为（）

A.15B.20C.30D.35

7.<5分）某名而体的二视图如图所小,其中正视图和左祀图都由正方港和等

腰面用三角形组成，正方形的边长为2.循视图为等腰口角三角形，谍参

面体的各个面中有若T个是梆形，这些梯形的血枳之利为（）

A.10B.12C.14D.16

8.15分）M图程序框图是为了求出满足3n-2">1000的最小偶数n.那么在

。〉和I—I两个空白框中,可以分别填入《）

/婆〃/

A.A>1000和n»n+1B.A>1000Hlnun-2

C.A^IOOO和n=n'lD.AW1000和n=n^2

：爷），则下面结论正确的

9.（5分）已知伸线J：y=cosx.Jy=sin（2x

J

是（）

A.把J上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵小标不变，再把用利的前线

向右平移卫■个单位长度，得到曲线C?

6

B.把JI：牛点的横坐标伸长到原来的2倍.纵碓标不变,再把用到的曲线

向左平移需个取位长度,彻到田I线C?

A4

C.把J上各点的横坐林缩知到原来的5倍，锹坐标不变,再把得利的曲线

向右平不印个胞位长度,得到曲线C?

0

D.把aI*点的横坐标缩短到原来%倍.加坐标不变,再把用到的曲战

向左平和2个胞位长度，得到曲线C?

10.（5分）E知F为抛物线C：Yz=4x的焦点.过F作两条互相垂宜的I"戈Ip

h.我找h与C交"fA、B两由.直纹L与C交于D、E两点,EAB+DE

的最小值为（）

A.16B.14C.12D.10

11.《5分》设K,y,z为正数，IL2*=3*=5r.则（

A.2x<3y<5iB.5z<2x<3yC.3y<5i<2x03y<2x<5i

12.（5分）几位大学4：响应国'京的创业号口，开发了•款应用软件.为激发大

京学习数学的兴观,他们推出「解数学即援取软件激活码”的活动.这款软

件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列】，1,2.1,2.4,1.

2,4,8.1.2.4.8.16.…，其中第一项是20,接下来的两项

是2。.21再接下来的三项是2°.21,23.依此类推一求询足如下条件

的最小整数N：N>100吐该数列的前N项和为2的整数麻.那么该款软件的

激活码是（）

A.440B.330C.220D.110

二、填空题।本・共4小・，每小*5分，共20分.

13.15分）已知向量5的夹角为601a=2.b=1,则ErE=.

x+2y<l

14J5分）设x.y满足约束条件2"y>-l.则z=3x-2丫的最小值为.

x-y<0

22

15.（5分》L1知双曲线C：1<a>0.b>0>的右项点为A,以A

b2

为回心,b为半径作股1A,欧IA与双曲线C的一条渐近线交于M、N两J工若

ZMAN-60-.则C的离心率为.

16.（5分）如图，圆形纸片的圆心为。，¥杵为5cm,该纸片上的等以三角

杉ABC的中心为。.D、E、F为团）。上的点，ADBC,△ECA.△FAB

是以BC.CA.AB为底边的等腰二角形.沿虚伐剪开后,分别以BC.CA.

AB为折痕折起△DBC.AECA.AFAB.使捋。、E、F也介，得到三校悔.

当/XABC的边K变化时,所得三棱僚体枳（单位：cm9的悬大值为.

三、解答麟共70分.解答应写出文字说明、证男过程或演算步或第17〜21

•为必考•,每个试•考生都必须作答.第22、23・为选考■，考生根据

旻求作答.

17.（12分）ZSABC的内角A,B,C的时边分别为a,b.c,已知Z\ABC

的面枳为金r

3sinA

（1）求sinBsinC：

（2）K6cosBcosC=1.a=3.求△ABC的周K.

18.（12分）如图，在四棱镀P-ABCD中，AB7CD,且/BAP=NCDP=90,

（1）证明：平曲PABJ_¥fMPAD：

«2）KPA=PD=AB=DC.ZAPD=90*.求二面角A-PBC的余弦位.

p.

19.（12分）为了监控某种零件的条生产线的生产过程,校验员好天从该生

产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（胞位：cm）.根据长期生产经

脸，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布NR.

的.

（1）假设生产状态正常,记X表小天内抽取的16个零件中其尺寸在（口-3°.

-3。》之外的容件数.求P（X2D及X的数学期卬：

（2）一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在（U-3。，23。）之外的零件，就

认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现「异常情况,需时当天的生产

过程进行检在.

<i）试说明上述监控生产过程方法的合理性.：

（ii）下面是检雎员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04

10.269.9110.1310.029.22100410.059.95

经计饵得■星看千「产9.97,s=出£（%彳产=拈（£XJT6,2产0.

212.其中X,为抽取的第1个等件的尺寸,i=1.2.一，16

••

用悻本平均数7作为u的估计值用样本标准差S作为。的估计值o.HHJ

估计俏判断是否需对当天的生产过程进行检今？别除（U-3j,n*3o>

之外的散裾，用剌F的数据侑计M和。（精确到0.01）.

附:若随机变量Z0R从1E态分布分内O2）,W1P（p-3a<Z<p-3o）=0.9974.

0.9974ls*0.9592,VO.008^=0.09.

20.（12分）已知闸界C：1（a>b>0）,网点内（1,13P,'0.

ab

1）.PJ（-1.争,P»<L乎）中恰有三点在椭圆C上.

<1）求C的方程：

（2）设直线I不运过Pe点旦*jC相交于A,B两点,若口战P?A万直段P汨的

斜率的和为-1.证明，I过定点.

21.（12分）已知函数f（x>=ae"+（a-2>e*-x.

（1）讨论f（x）的般调性；

<2）若f（x）有两个零点,求a的取值位用.

［选修4.4,坐标系与套数方程］

22.(10分)在巨角坐标系xOy中，曲我C的参数方程为:.为

ly=3inW

按效).直线I的参数方程为(广.代.(t为参数》.

(1)若@=-1.求ChH的交点.坐标：

(2)若C上的点到I年宙的最大值为何，求a.

［选修45,不等式选讲〕

23.已知函数f(x)--x?ax»4,g(x)«x*ll*x-1.

(I)^13=101.求不等式f(x>Ng3)的解集：

(2)若不等式f(x>云B(x)的制集包含［7.11,求a的取值范围.

2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标I）

一、选押题I本大题共12小题，每小题5分，共6。分.在每小届始出的四

个地项中，只有一项是符合题目要求的.

1.（5分）己知集合A={xxVl}.B=（x|3*<l}.IW（）

A.ACIB=（xx<01B.AUB=RC.AUB=xx>lD.ACB=H

【考点】IE：交集及其运算.

【专题】11：计算咫：37：集合思思：40；定义法；5J；集合.

【号点别析】先分别求出集合A和8,再求出ACIB和AUB,由此能求出结果.

【解答】的:•集令A=（xx<lj.

B=（x3M<1I=lxx<0l.

.,.AOB-lxx<0,故A正确.D•误：

AUB={xX<1}.故B和C都错误.

故选：A.

【点评】本期号寅交集和并集求法及应用，是菸础应，解密时要认真审期.注

意交集、并案定义的合理运用.

2.（5分）如图,1E方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切181

中的黑色部分和白色部分美:止方形的中心成中心对称.在正方形内随机取

一点，则此点取自黑色部分的概率是<）

【考点】CF:几何概中.

【斤题】35:转化思想；40：定义法।51:微率马境计.

［琴点剖析】根据图&的对称件求出黑色图彩的面积，结合几何微型的概率公

式进行求解叩可.

【解答】解：根据图象的对称性知.黑色部分为假面枳的•半,改制的半径

为3则正方形的边长为2・

则黑色部分的面枳5=-y.

71

则对应概率p=2=2，

48

故选：B.

【点评】本也主要芍食几何微型的概率计算，根据对称性求出黑色阴影部分的

面积是解决本期的关键.

3.15分）设仃卜面四个命题

P）：若复数Z涵足工信8则26R:

Z

P2：若复数Z满足/WR,则ZWR；

p3：若比数Z1，z?满足ZjZzSR,则Z产W：

P4；若更数zWR,则zWR.

其中的真命髭为（）

A.pi.piB.pi，p«C.pa»pjD.pj，P*

（看点］2K：命即的克假判断与应用：A1：由数单位i、电数：A5：比数的

运算.

【专题】2A：探究型：51:简易逻辑：5N:数系的扩充和更数，

【考点剂析】根据发数的分类，有复数性域.遂一分析给定四个命尊的真假.

可得答案.

【解答】解：若处数z满足工GR,则ZGR.故命即小为真命题：

Z

P2：狂数Z=i满足4-1CR,则Z0R.他命超Pz为假命巡:

p3：苔攵数z*=i.zz=2i满足gWR.1Hz严石，故俞起p,为线命出

z：若发也，£%则G=ZCR.故命题p,为其命题.

故选；B.

【点评】4、题以命题的真假判断与应M为载体，号直了基数的运算.身教的分

关,发数的运莫性质，睢院不大，履F基础题.

4.45分）0Sn为等空数列｛aj的前c项和-心a「a5=24,又=48.则4｝的

公淹为（）

A.1B.2C.4D.8

【当点】84：等差数列的通顶公式：85：等差数列的前n项和.

【专咫】1L计算理，34：方程也想：40：定义法：54,等差数列与等比

数列.

【导点剖析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组.求出首项和

公差.由此能求出（aJ的公差.

【解答】解：•••治为等常数列E,，的前n项和，34-35=24.$6=48.

aj+3d+8,+43=24

解得a产-2.d=4,

，&1的公差为4.

故选：C.

【点评】木题考农等第数列公式的求法及应用.是基的题，解题时要认真布题.

注意等卷数列的性质的合理运用.

5.（5分＞函数£（x）在（-«•.+8）单滤递减,H.为奇函也若f（D=

1,则满足-iWf（x-2）＜1的x的取值范旭是（）

A.[-2.2jB.[-1.1]C.[0.4jD.[1,3]

【存力】3P：抽象函数及其应用.

【专题】35:转化思想；4R：转化法।5h函数的性质及应用.

【琴点剖析】由已知中由数的单调性及奇爵性，可将不等式-iSf。-2)41

化为-1SX-24L解得答案.

【解答】解：:函数f{x}为奇曲数.

若f(D--1,Wf(-1)-1.

乂：函数f(x)布(・a.tb)单调递减，-l<f(x-2)<1.

Af(1)Wf(x-2)<f<-1),

「.・IWx-2W1,

解得，xe[i.3],

故选：D.

【点评】本题考杳的知识点是抽象函数及其应用,诿数的雄调性，函数的奇偶

性，碓度中档.

6.(5分)(卜3)(1”)6展开式中/的系数为()

A.ISB20C.30D35

【考点】DA：二项式定理.

【专题】35：转化思想；4R；活化法.

[考点例析】直接利用二项式定理的通项公式求髀即可.

【解答】解：<VX)弓展开式中：

X

若(1々)=(1+X")提供常数项1,则(1-X)6提供含有/的项.可用展

开式中X，的系数：

?7(l^y)提供X”项.则(1+X>6提供含有/的J■页.可得展开式中M的系

数：

由(1+x)6两项公式可得c^r.

口J知r=2时，可待展开式中XWJ系数为或二16

“J知r=4时，可得取开式中*的系数为。=1S

eg⑴x)6展开式中1的系数为:15»15=30.

X

故选：C.

【点评】本题卜:嘤考古二项式定理的知识点，通项公式的灵活运用.Mr基础

题.

7.(5分)某名曲体的三视图如图所小，K中正初图和左初图都由止方彬和单

腰包用三如形加成.正方形的边长为2,饰祝图为等便自加三角形.谟匕

面体的各个面中仃若干个是悌形.这些梯形的面积之和为()

B.12C14D16

【考点】LI：由三视图求而根、体枳.

【专题】11：计算题：31：数形结合：44：数形结合法：5Q：立体几何.

【考点剖析】由：视图可得直观图,由图形可知该立体图中只有两个相何的悌

彬的面，根据梯形的面枳公式il鸵即可

【解答】解：由三视图可画出直观图，

该立体图中只有两个相同的梯形的曲，

S.产A.X2X(2*4)=6.

2

••.这些样形的面积之.和为6*2=12,

故选：B.

【点评】本题考查了体积il算公式,L暂了推理能力与计算能力.L干中档题.

8.<5分）如图程序楸图是为了求出满足3n-2”〉】。他的最小翎歌n.那么在

和匚二I两个空白框中，可以分别嬉人《）

/情入*0?

4=rr

A.A>1000和n=n+1B.A>1000和n=n-2

C.A^IOOO和n=nyD.A^IOOO<«ln=n-2

【考点】EF：程序推图.

【专题】11:il算题：38：对应思崽：49:综合法：SK：R法和程序框图.

【考点剖析）通过要求A>1000时输出乩框图中在"否"时输出确定.O・内

不能输入"AAKXXT，进而通过倜数的特征峰定n-n+2.

【解捽】解：因为要求A>1000时输出.M框图中在"否"时输出.

所以"、一”内不贷输入“A>1000”,

又要求n为偶数，且n的初始值为0,

所以“I----------1”中n依次加2可保证其为偶故.

所以D选项满足要•求.

故选：D.

【点计】本题号表程序桁图，属「选城国，意在丁大他分考生省分.

9.（5分）已知曲线C”y=cosx.C2:y=sin<2x-^-）.则下面结论正确的

是（）

A.把J上凸点的横他林伸长到原来的2倍，纵用标不变,再把得利的曲线

向右平移。个胞位长度,得到曲线C?

B,把Ci上祚点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变,用把得到的曲线

向左平移佥个胞位长度.得到曲线G

C.把J上小点的横坐标箱知到原来的,倍.W中标不变.种把得目的曲线

向右平畔个单位长度,得到曲绫J

O

D.把Ci上各点的横坐标缩短到原耒呜信，队坐标不变,再把得到的曲线

向左平移专个单位长度，泡到曲线C?

［号点］HJ：函数v=Asin（u»x-4>）的图象变换.

【专题】11：计算题；35；转化患想；57：三角函数的图像与性质.

［考点剖析】利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可.

【解答】螃：把G上各点的横坐标缩短到原来吗倍，纵坐标不变.得刊函

教尸cos2x图象，再把得到的曲线向左平/哈个小位长度.得到南数.cos2

（x+=）=cos（2x*-5->=sin（”+三二）的图象.即曲线Q.

1263

故选：0.

[Aif]本题匕令用函数的图St变换,横导公式的应用，考什计算能力.

10.«S分）已知F为他物线C：y?=4x的住点，过F作西脩斤.相垂H的直线h，

In直域h与C交于A、B两点,克4134c交于D,E两点,MAB*DE

的段小值为（）

A.16B.14C.12D.10

【考点】K8：翻物线的性质.

【专题】11;计算罔34:方程也想：4R：转化法：5D：SS俄曲茂的定义、

性质与方程.

【考点剖析】方法r根据虺氤可判断当A打D,B.E关rx轴时称.即

内线DE的斜率为1.AB♦DE卅小,根据强长公式计打即可.

方法二：设直线h的倾斜角为6,则b的微斜角为年地.利用焦点弦的孩

长公式分别&示出ABI.|DE|.整理求得答案

【耨谷】解，如图，hlh,直线h与C交于A、B两点.

比级b与C交于D、E两点，

要使AB+DE域小，

则A与D.B.£关fx抽时称,即直线DE的斜率为1.

又直线h过点（1,0）.

则宜线h的方程为y=x・l,

,2

联立方程组—则,-4y・4=0.

y=x-l

-'•Y1+YJ=4,Y1Y3=-4.

DE=小吃・|丫广川=&X恁8,

AB-DE的最小值为2DE=16.

方法二：设直线h的帧斜角为&则1的帧斜用为;•a

根据焦点弦长公式叮得AB=2g=1

sin8sin'®

2P

cos2ecos20

416

:，AB，OE=-—♦—^―

sin'8cos?8sin28cos26sin?28

•.'OCsir?28a

.,.当6=45•时.ABDE的最小，最小为16,

[AifJ本题考杳了抛物线的荷单性质以及ri线和加物战的位^关系，芷长公

式，对了•过恁点的弦,能熟练掌握相关的结论,解决问咫事半功倍属丁中

档题.

11.(5分》设x.y.z为正数,112*=3*=SS则<

A.2x<3y<5zB,5z<2x<3yC.3y<5z<2xD.3y<2x<5z

【考点】72：不等式比较大小.

【专迩】35：转化思坦：51：函数的性研及应用：59：不等式的解法及应用.

【考点剖析）x,y.2为正数，令2%即=5，=k>l.lgk>0.可用x=整.y=罟，

lg2lg3

1=捺可得3户去'2“孤'年盘.根据/加>曾

贝』/>1%手版即可得出大小关系•

月髀：x、y、z为正数，令2'—k>l」gk>0.可用x=兽Y=密，x=

lg2le3

摧母9£二摆“可得2x>3y.同理可得5z*

【解答】解：x.Y、z为正数.

>2*-3*-S,-k>l.lgk>0.

则小色,尸色，2BM

1（2lg3IgS

.\3y=」中♦・2x=Sz=

18^3M妩

,••将%>海任g炯沪崛派.

•••lg^3>lgV2>lgV5>0

.•.3y<2x<5z.

另W：x、y、z为正数，

令2三3丫=5*=k>l,lgk>0.

则x=普，产揩，z=兽.

lg21&3IgS

，衿4X-rl,罟>L可得2K>3V.

3y3U2lg8

衿-1-x44s可得5Z>2K.

2x2lg5}gs2

琮上可得：Sz>2x>3y.

解法一.：对k取特殊值，也可以比较出大小关系.

故选：0.

【点评】本题号查/对数函数的单阔性,换底公式、不等式的性质.号查了推

理能力与计算能力.属f中档髭.

12.（5分）几位大学生响应国家的创业号4.开发了款应用软件.为激发大

家学习数学的兴趣，他们推出广髀■&学咫获取软件激活码”的活动.这款软

件的激活因为卜.面数学问题的脊案：已知数列1.1.2.1.2.4.1.

2.4,8.1.2.4.8.16....其中第一项是2°,接下来的两项

是2°.2»,再接下来的三项是2°,2123.依此类推.求满足如下条件

的母小够数N：N>100H该数列的MN项和为2的挈数区那么该数软件的

激活吗是()

A.440B.330C.220D.110

【考点】8E：数列的求和.

【专融】35：转化思想；4R；转化法।54：等差数列与等比数河

［考点剖析】方法-«由数列的性质,求得数列hJ的通项公式及前n项和.

可知当N为时(nWN),数利用/的前N项和为数列bj的前n项

和.即为2C-n-2,容易得到N>100时.n^l4.分别判断.即可求

得该款软件的激活码：

方法二：由题意求得数列的幅一厮.及前n项和5*2，「2-n,及项数，由

期意可知：2c1为2的整数石.只需将-2-n消去即可，分别即可求得N

的值.

【解答】薪，设谟数列为匕/，设片a6Dn+~+、S+l)=2。一1.(n

-2-**-2-

n(n+l)

n~~

€N),则£bx-£a..

i=li*l

由虺意可设较列国；的前N项和为Sz.数列的前n项和为Tc，财T/2一

1«2J-l»...*2n,-1»2n}-n-2,

可知当N为喈D时(nEN.).数列la/的前N项和为数列hd的前n项和.

即为2心2,

容易得到N>100时，n214.

AJ®.由理工3Q=435.440=435+S.可知S“o=TjvM=2"-29-2-2S-1=2吗

2

故A项符合胭意.

2bs26

B项.仿上可增r2a325.可知S3»o=TJ5-bs=2-25-2+2-1=2+4.显

2

然不为2的整数幕，故B项不符合题意.

aWiJ10

C项，仿上可折丝算210.可知S2rt»T»*b10-2-20-2*2-1=2*2

-23,显然不为2的弟效'帼,故C项不符合超电：.

4

D项，位上可知】/3=105,可知5”0=「4+%=2形-：14-2*23-1=2”，15，H

然不为2的整数墓.故D项不符合题意.

故选A.

20.212°.21.22

方法：：由腥意可知：蹲一项•

第三项

2°.21.22.211

第n项

根据等比数列前n项和公式,求得每项和分别为：21-!.21-1.23-1........

每项含有的项数为：1.2

(l+n)n

总共的项数为N:卜2•3,...♦ns

~2~

所有项数的和为Snt21-1+2?-1+23--1=(2"2W.-2")-n=

丝/…2f

1-2

由虺意可知：2c为2的修数案.只需将-2-n消去即可，

则①上2+-2-n)=0,解得：n=1,总共存叫三1+2=3,不满足N>

100.

②1+244-2-n)=0,解得：n=5,也共有生罗工3=18,不满足N

>100.

③1+2S8(-2-n)=0.解%n=13.总共有工、；二，4=95.不演

足NA100,

@1+2^4-8+16+<-2n)=0.解得：n=29.总共有幺丝好22+5=440.涡

足N>100,

J.该款软件的激活码440.

故选：A.

【点讦】本蜃专介数列的应用.等子数列与等比数列的前n项和，与化计田能

力，风于难题.

二、填空JB:本JI共4小・，每小•5分，共20分，

13.（S分）已知向JifW,E的夹用为60・，Ia|«2,lb=1,则a+2b=2

亚一

【考点】90：平面向量数依枳的性桢及其运货.

【专题】31：数形结合：40：定义法：5A：平面向量及应用.

【与点例析】根据平面向量的数显枳求出模长即可.

【解答】解：【解法】向最；，E的央角为6CT.且；=2・

•■•G*2b）2-,・八・隹4铲

=2>4X2X1XC0S60、4XP

«12.

:.a-2b=2-73.

【解法一】根榭超意画圉图形，如图所示：

结合图形旗0A*0B=a-2b；

在AOAC中，由余弦定理存

0C=V22+22-2X2X2XCOS120*=

即a*2b.2百.

故答案为：26.

[Aif]本题号套了平面向量的数量枳的应用问题.解题时应利用故以权求出

模长.扯范础题.

'x+2y<]

14(5分)设x.y满足均束条件2x+y>-l.艮h=3x-2v的品小佰为-5

x~y*sO

【号点】7c简单线性规划.

【专题】11：计算泡：31：数形结合，35：转化思想：5T：不等式.

【苦点剖析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解,求出最优解的坐标.

数形结合得答案.

x+2y<l

【解答】解；由x.y满足约束条件2x+y>-l作出可力域如图，

*Ko

由图可知，目标函S（的最优解为A.

联立｛x+2y=l

解得A(7,I).

2x+y=-l

，z=3x-2丫的母小值为-3X1-2X1=-5.

故答案为：・5.

【点评】本题考杳了前单的线性现划，考台r数形结合的解跑思想方法.是中

档题.

15.（5分）已知双曲线C：1<a>0.b>0）的分眼以为A.以A

为阀心，b为产怜作脚A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若

ZMAN=60\则C的掰心车为怨3.

一3-

（号点】KC：双曲蛾的性限

【专题】11：计算题；35：转化思想：49：综合法：5D；用婚曲线的定义、

性质。方程.

【号点剖析】利用11知条件，转化求解A到渐近线的即离.推出a.c的美系.

然后求解双曲找的用心率即叱

【解答】解：双曲线C：号-/i（a>0,b>0）的右顶点为A（a・0）.

以A为圆心，b为半楼做战A,圆A与双曲线C的•条渐近线交于M、N两点.

?7ZMAN=60".胃汨A到渐近线bx-aV=0的护离为，bcosSQ-=

号牛，可得离心率为：e=芈.

可得:

CiJ

故答案为：芈■.

【点泞】本尊考查双曲找的冏通性质的应用.点到fl线的距离公式以及圜的方

程的应用•老件转化思想以及计妹能力.

16.15分）如图，圆形纸片的圆1心为O,半径为5cm.谖纸片上的等边三死

形ABC的中心为0.D、E、F为囱。上的点，ADBC,AECA.AJAB分别

是以BC.CA.AB为帐边的等腰三角形.沿虚战剪开后，分别以BC,CA,

AB为折痕折起ADBC.AECA.AFAB.使得D、E、Fjfi台.得到三校卷.

当&ABC的边长变化时,所得：校推体积（单位：cm3）的最大伯为一叵

cm

［号点】LF：枝柱、极维、核台的体枳.

【专题】11：计算均：3S：转化思想：49：综合法；5E：圆锥的注中的鼓但

与他削问题.

【考点剖析】法-：lll@.连接0D,交BC十心G,由题意得OD_BC.0G=

gBC.设OG=X,则BC・26X，DG«5-x.•.棱维的/h・U25T0x.求

MS.w36J,V.1SAAKXh.73^25,4_l0l5,令f(x>・25x，・

10x5,x€<0,-1),f(x)«100x3-50x*.f(x)<f(2>>80,由此能

求出体枳最大值.

法二：没正：角形的边长为x,则OG=^X李邛＞

FG=SG=56K，SO

怔炳瑞'J(5平x)2-(*x)2=巾(5-冬.

由此能示出三棱推的

体枳的最大值.

【解答】解法一：由四总，连接OD,交BCF点G,由鹿意得OD_BC.OG«

即0G的长度，BC的长度成正比，

设OG=x,则BC=2近x,DG=5-x.

二枝锥的高h=7DG2-OG2=V25-10X+X2-X2=725TOx.

SAAK专X乎x(275«)2=3>/3*2,

2C

则V=ySAABCxh=V3XXV25-10X折，25JTO*

令f(x)=25x4-10x3xG(0.§),f<x>=100xJ-SOx4.

2

令F«x)20,即d-2x3SO.紫籽xW2・

则f(x)Wf(2)=80.

:ZWM/赤4任cm3.,.体积最大值为歙/HcmL

故弃衰为：4V15cm,.

解法二，如图.设正三角形的边长为x,则OG=^.X卓广

JL

，FG=SG=S-

6__________________________

SO=h=VSG2-＜；02=«5半X)2-冷,2=收5-冬.

•••三校推的体枳V=^SAAflc-h

="玄加京=倒¥，

令b《X)・5x••零J,则『(x)=20J^^上

JJ

令b(x)=0.则4x；亲=0.斛得x=4娟.

V»«=^XV5^=W15（5，）.

[Aif]本题若唐一故惟的体枳的鼓大伯的求法，老会空间中线城'线面、而

面间的位留X：系、函数性质、导致等精础知识,考有推到论证能力，运及求

解能力'空间想取能力，号位数形结合刖想、化归与转化思想，是中档捌.

三、共70分.解答皮写出文字说典、证明过程或演算步》第17~21

届为必考题,每个试■考生都必须作答.第22、23届为选考・，考生根据

要求作答.

17.（12分）ZXABC的内角A,B,C的对边分别为a,b.c,已知ZSABC

的面枳为

3sinA

(1)求sinBsinG

(2)若6co$BcosC=l.az3.求△ABC的周长.

【考点】HP：正弦定理：HR:余弦定理.

【专题】11:计算咫：33：南故思想：4R:转化法：56:三角函数的求侑：

58：解3角形.

【号点剖析】（1）根据三角形面枳公式和正面定理可褥答窠.

（2）根据两ffj余弦公式可用cosA=费，即可求出庆=三，再根据正弦定理可

得bc=8,根据余弦定理即可求出be.何即得以解决.

2

【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得s3=gacsinB=——•

23smA

.'.3c5inBsinA=2a.

由正弦定理可得3sinCsinBsmA=2sinA.

XinA工0,

2

..sinBsinCs—；

（2）V6cosBcosC=1.

cosBcosC=—.

6

:.cosBcosC-sinBsinC==W=>W，

632

•,.cos(B©1

21

co$A=2，

2

V0<A<n.

2

bebe

.•.SinBsinC-3♦三2

2R2R(26尸.123'

bc=8,

Va2="c7-2bccosA.

/.b^c2-bc=9.

(b+c)%9-3cb=9-24=33・

.'.b*c=V33

周氏a+b+c=3+V5j

［点计】本咫再杳/:角形的面枳公式和两角和的余弦公苴和济导公式和止弦定

理余弦定理，考查了学生的运算能力，属F中档题.

18.(12分)如同，在四棱锥P-ABCD中，AB7CD,且/BAP*/CDP=9(T.

(1)证明：平面PABL平面PAD：

<2)rPA=PD=AB-DC.ZAPD=90°.求：面角A•PB-C的余弦tfl.

【考点】W:平面与平面垂直：MJ：-面向的平面角及求法.

【专题】15:综介题；31：故形结合：41：向量法：5G：空河角.

【弓.士出析】＜1)由已知可得PA.AB.PD1CD,可由AB〃CD,得ABPD.

利用纹面靠一的判定可用AB平面PAD.it-白到平面PAB±THPAD：

（2）由已知可缶四边形ABCD为平行四边彬,lh（1）知ABL平面PAD.出到

AB1AD，则四边形ABCD为矩形，PA=AB=2a,则AD=取AD

中点0,K中点E，连接P0、0E,以。为售林掠点，分别以0A.0E、

0P所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系,求出平面PBC的个法向R,

再证明PD一平面PAB，用丽为平面PAB的一个法向量，由两法向圆所成用

的氽弦值可得二而的A-PB-C的余弦酒.

【解答】（1）证明：VZBAP.ZCDP=90*..*.PA_AB,PD1CD,

VAB^CD,.,.ABLPD.

又VPAnPD-P,HPAu平面PAD.PDc平面PAD，

AB_L平面PAD,又ABc平面PAB.

平面PAB_L平面PAD：

（2）航：TAB//CD.AB=CO.四边，已ABCD为平行四边形，

由（1）知AB1.平面PAD..•.ABXAD,则四边粕ABCO为知形，

frAAPD'I',lilPA=PO.ZAPD=90\可用Z^PAD为等腰直用三角形.

设PA=AB=2a,则AD=2ea.

取AD中点0.BC中点E.连接PO.0E.

以O为坐标原点.分别以OA.OJ0P所在直投为x、丫、z轴建立空间直角坐

标系.

则tD«-V2a»0，0）.8<&a,2a,0）.PIQ.O.近a）.C（2a,0）.

PD=(-V2»>0,-«/2a)*ra=(V2a<2a,-&aA前=(-2&a,0,0)-

设平面PBC的一个法向量为岸Q,y,z），

rt,fn-PB=OJ&ax+2ay-&az=0

由k-Wl-2V2ax=0取r1.得福(Q,1,a)•

n-BC=0

,:AB1平面PAD.ADc平面PAD.ABLP