二项式展开式性质

关于二项式展开式性质对于（a+b）n=的展开式有哪些项？个(a+b)n=an+an-1b+an-2b2+…＋an-rbr+…+bn二项式定理右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式,它一共有n+1项.其中各项系数

Cnr

(r=0,1,2,…,n)叫做二项式系数式中的项Cnran-rbr

叫做二项展开式的通项,是第r+1项,记作Tr+1即Tr+1=Cnran-rbr

(r=0,1,2,…,n)称为二项展开式的通项公式

(1)展开式各项中a、b的指数及各项系数的递变规律.但指数和为n

(2)通项公式中a、b的指数及其系数和所在项数之间的关系.试一试：写出(1+x)n

的展开式及其通项公式。第2页,共13页，2024年2月25日，星期天总结1.二项式系数规律：2.指数规律：（1）各项的次数均为n；（2）二项和的第一项a的次数由n降到0，第二项b的次数由0升到n.3.项数规律：两项和的n次幂的展开式共有n+1个项定理特征二项式定理：4.通项公式：Tr+1=Cnran-rbr

(r=0,1,2,…,n)右边的多项式叫做的展开式第3页,共13页，2024年2月25日，星期天解:第三项的二项式系数为，第三项的系数为240.项的系数：该项所有常数因子的积.二项式系数：第4页,共13页，2024年2月25日，星期天例３：的展开式常数项解:通项公式：Tr+1=Cnran-rbr

(r=0,1,2,…,n)第5页,共13页，2024年2月25日，星期天练习：1、求的展开式的中间两项

解:展开式共有10项,中间两项是第5、6项。

的展开式中，第５项的二项式系数与第３项的二项式系数之比是：１４：３，求展开式中的第４项第6页,共13页，2024年2月25日，星期天因此，当n为偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值；当n为奇数时，中间两项的二项式系数、相等，且同时取得最大值。

二项式系数的性质（1）对称性

与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．（2）增减性与最大值

二项式系数前半部分是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。（3）各二项式系数的和

且奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和2n-1第7页,共13页，2024年2月25日，星期天例１：已知（１＋x)n展开式中x2

的系数等于

x的系数的３倍，求二项式系数最大的项第8页,共13页，2024年2月25日，星期天解:例2：已知（１－２x)n展开式中二项式系数和及所有项的系数之和变式：已知（2+x)6=a0+a1x+a2x2+a3x3a4x4+a5x5+a6x6，求(1)奇次项的二项式系数之和

（2）a0+a1+a2+a3＋a4+a5＋a6的值（3）a1+a2+a3＋a4+a5＋a6

第9页,共13页，2024年2月25日，星期天因此，当n为偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值；当n为奇数时，中间两项的二项式系数、相等，且同时取得最大值。

二项式系数的性质（1）对称性

与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．（2）增减性与最大值

二项式系数前半部分是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。（3）各二项式系数的和

且奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和2n-1第10页,共13页，2024年2月25日，星期天特值思想二项式定理对任意的数a、b都成立，当然对特殊的a、b也成立！第11页,共13页，2024年2月25日，星期天

考察在n=1,2,3,4时，(a+b)n的展开式的系数规律.(a+b)1=

,(a+b)2=

,(a+b)3=

,(a+b)4=

.a+ba2+2ab+b2a3+3a2b+3ab2+b3我国古代优秀成果介绍：a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

列出上述各展开式的系数：

11121133114641规律:(1)表中每行两端都是1

(2)其它各数都是它肩上两数的和.1510105116152015611杨辉三角形试一试：你能根据杨辉三角形写出(a+b)5的展开式吗？a5+