高二数学上学期期末考试试题(及答案)

高二数学上学期期末考试试题(及答案)

高二数学上学期期末考试试题及答案第I卷（选择题）1.在三角形ABC中，已知a+b=c-2ab，则C=（）。A。2π/3B。π/3C。πD。3π/4改写：在三角形ABC中，已知a+b=c-2ab，求C的大小。答案：B2.在三角形ABC中，已知cosAcosB=p，求以下条件p的充要条件。A。充要条件B。充分不必要条件C。必要不充分条件D。既非充分也非必要条件改写：在三角形ABC中，已知cosAcosB=p，求p的充要条件。答案：B3.已知等比数列{an}中，a2a10=6a6，等差数列{bn}中，b4+b6=a6，则数列{bn}的前9项和为（）。A。9B。27C。54D。72改写：已知等比数列{an}和等差数列{bn}的一些条件，求{bn}的前9项和。答案：C4.已知数列{an}的前n项和Sn=n+2n，则数列{a1}的前n项和为（）。A。n^2/(n-1)B。n(n+1)/(2n+1)C。3(2n+3)/(2n+1)D。3(n+1)/(n-1)改写：已知数列{an}的前n项和Sn=n+2n，求数列{a1}的前n项和。答案：B5.设2x-2y-5≤2，3x+y-10≥3，则z=x+y的最小值为（）。A。10B。8C。5D。2改写：已知不等式2x-2y-5≤2和3x+y-10≥3，求z=x+y的最小值。答案：C6.对于曲线C：x^2/4+y^2/k^2=1，给出下面四个命题：①曲线C不可能表示椭圆；②“14”的必要不充分条件；④“曲线C表示焦点在x轴上的椭圆”是“1<k<5”的充要条件。其中真命题的个数为（）。A。0个B。1个C。2个D。3个改写：对于曲线C：x^2/4+y^2/k^2=1，判断下列命题的真假，并统计真命题的个数。答案：C7.对于曲线C：x^2+y^2=1与直线y=k(x+3)交于点A,B，则三角形ABM的周长为（）。A。4B。8C。12D。16改写：对于曲线C：x^2+y^2=1与直线y=k(x+3)交于点A,B，求三角形ABM的周长。答案：B8.已知点M(3,0)，椭圆4x^2+y^2=4和双曲线x^2-y^2=1的公共焦点为F1、F2，且点P是两曲线的一个公共点，则cos∠F1PF2等于（）。A。11/13B。6/23C。3/95D。4/39改写：已知点M(3,0)，椭圆4x^2+y^2=4和双曲线x^2-y^2=1的公共焦点为F1、F2，且点P是两曲线的一个公共点，求cos∠F1PF2的值。答案：B9.点A是抛物线x=4y的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足PA=mPB，当m取最大值时，点P恰好在以A,B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）。A。2+√5B。5+√12+1C。2√5D。5改写：已知点A、B和一条抛物线，以及一些条件，求双曲线的离心率。答案：BC。5+1D.22.2y^2/x^2-2=1的两个焦点，点P是双曲线上一点，若3PF1=4PF2，则ΔPF1F2=11.21.设点F1，F2是双曲线x^2/9-y^2/4=1的焦点，且它们在第一象限内交于点M，且∠F1MF2=90度，若椭圆的离心率e=3，则双曲线的离心率e1的取值为935/2224.二、填空题13.已知正实数a，b满足a+b=4，则11/(a+1)+14/(b+3)的最小值为1.14.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足条件b+c-a=1，bc=1，cosBcosC=-1/8，则△XXX的周长为4.15.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=2，an+1=2Sn+1，则数列{an}的通项公式为an=2^(n-1)。16.已知F1为椭圆5x^2+9y^2=45的左焦点，P为椭圆上半部分上任意一点，A(1,1)为椭圆内一点，则|PF1|+|PA|的最小值为2.三、解答题17.（1）C=π/3；（2）S=√3.18.（Ⅰ）an=3^(n-1)/2.（Ⅱ）c=2/3.19.当n≥2时，S_n>1.20.抛物线C的方程为y=2(x-1)^2-2.2．已知椭圆C的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，离心率为$e$，椭圆C和抛物线$y=x$交于M,N两点，且直线MN恰好通过椭圆C的右焦点。1）求椭圆C的标准方程；2）经过椭圆C右焦点的直线l和椭圆C交于A,B两点，点P在椭圆上，且$OA=2BP$，其中O为坐标原点，求直线l的斜率．解析】1）由题意可知，椭圆C的两个焦点分别为$F_1(-ae,0)$和$F_2(ae,0)$，其中$ae>b$。因为直线MN恰好通过椭圆C的右焦点$F_2$，所以直线MN的斜率为$k=\frac{e}{\sqrt{a^2-b^2}}$。又因为直线MN过点$(1,1)$，所以可以列出方程$y-1=k(x-1)$。将椭圆C的标准方程代入得到：frac{x^2}{a^2}+\frac{(k(x-1)+1)^2}{b^2}=1$$化简后得到：b^2-a^2k^2)x^2-2a^2x+a^2(b^2-k^2)=0$$由于MN与椭圆C交于两点，所以方程有两个不同的实数根，即判别式$\Delta>0$。解得：a^2=\frac{b^2}{1-e^2}$$将$a^2$代入椭圆C的标准方程得到：frac{x^2}{\frac{b^2}{1-e^2}}+\frac{y^2}{b^2}=1$$即：frac{x^2}{b^2(1-e^2)}+\frac{y^2}{b^2}=1$$2）因为点P在椭圆上，所以可以设点P的坐标为$(x,\sqrt{b^2-\frac{b^2}{1-e^2}x^2})$。又因为$OA=2BP$，所以可以列出方程：sqrt{x^2+\left(\sqrt{b^2-\frac{b^2}{1-e^2}x^2}\right)^2}=2\sqrt{\left(x+ae\right)^2+\left(\sqrt{b^2-\frac{b^2}{1-e^2}x^2}\right)^2}$$化简后得到：x=\frac{ae}{1-e^2}$$将$x$代入椭圆C的标准方程，得到$y=\pmb\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}=\pm\frac{be}{\sqrt{1-e^2}}$。因为点P在椭圆上，所以$y$取正值，即$y=\frac{be}{\sqrt{1-e^2}}$。由于经过椭圆C右焦点的直线l和椭圆C交于A,B两点，所以点A的坐标为$(ae,\frac{be}{\sqrt{1-e^2}})$，点B的坐标为$(-ae,\frac{be}{\sqrt{1-e^2}})$。因此，直线l的斜率为：k=\frac{\frac{be}{\sqrt{1-e^2}}-0}{ae-(-ae)}=\frac{be}{a\sqrt{1-e^2}}$$答案：（1）$\frac{x^2}{b^2(1-e^2)}+\frac{y^2}{b^2}=1$；（2）$k=\frac{be}{a\sqrt{1-e^2}}$。解析】由题意可得：frac{2}{3}\sqrt{n}a_{n}+\frac{1}{2}\sqrt{n+1}a_{n+1}=\frac{3}{2}\sqrt{n+1}a_{n+1}$$移项化XXX：a_{n+1}=\frac{2}{3}\sqrt{\frac{n}{n+1}}a_n$$因此，数列的通项公式为：a_n=a_1\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}\sqrt{\frac{1}{n}}$$考点：数列的通项公式，裂项求和法。5.C解析】由题意可得：frac{x^2}{2}+y^2+z^2-xy-2yz-2xz=0$$将式子变形得：frac{x^2}{2}+(y-x)^2+(z-x)^2=0$$因为平方项都是非负的，所以有：frac{x^2}{2}=0,\y-x=0,\z-x=0$$解得：x=y=z=0$$因此，原点是唯一的解，选C。6.B解析】首先将不等式组表示的平面区域画出来，如图所示。因为$z=x+y$表示区域内的点到原点距离的平方，由图知，当区域内的点与原点的连线与直线$3x+y-10$垂直时，$z=x+y$取得最小值。因此，最小值为$z_{\text{min}}=2^2+(3\sqrt{2})^2=22$，选B。考点：简单的线性规划问题。7.B解析】由椭圆的方程可知，$a=4$，$b=1$，因此$c=\sqrt{a^2-b^2}=3$。根据题意可得：frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{1}=1$$因为双曲线的焦点在$x$轴上，所以双曲线的方程为：frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$$将$k$代入双曲线的方程中，得到：frac{x^2}{16}-\frac{(kx-10)^2}{81}=1$$化XXX：81x^2-16(kx-10)^2=1296$$展开得：16k^2x^2-320kx+1156=0$$根据判别式可得：320^2-4\cdot16\cdot1156\cdotk^2\geq0$$化XXX：k^2\leq\frac{25}{144}$$因此，$-\frac{5}{12}\leqk\leq\frac{5}{12}$，选B。考点：圆锥曲线的共同特征。8.B解析】由椭圆的方程可知，$a=4$，$b=1$，因此$c=\sqrt{a^2-b^2}=3$。点$M$为椭圆的右交点，直线$y=k(x+3)$过左焦点$F_1(-3,0)$。将直线$y=k(x+3)$代入椭圆的方程中，得到：frac{(kx+3)^2}{16}+k^2(x+3)^2=1$$化XXX：k^2x^2+6kx+4=0$$根据题意可知，$k>0$，因此解得：x_1=-\frac{2}{3k},\quadx_2=-2k$$因为点$M$为椭圆的右交点，所以$x_1<x_2$，即$-\frac{2}{3k}<-2k$。解得$k<\frac{\sqrt{13}}{6}$。根据椭圆的定义可知，$\triangleABM$的周长为$4a=8$，因此$AB=4$。因为点$M$在直线$y=k(x+3)$上，所以$M$的坐标为$(x_2,kx_2+3)$。因此，$BM=\sqrt{(x_2+3)^2+k^2x_2^2}=\sqrt{13}$。根据题意可知，$AM=2BM$，因此$AM=2\sqrt{13}$。因此，$AB+AM=4+2\sqrt{13}$，选B。考点：椭圆定义及方程性质。9.B解析】不妨设$P$是双曲线右支与椭圆交点，$F_1$、$F_2$分别是左右焦点。在椭圆中，由定义知$PF_1+PF_2=2a=8$，在双曲线中$PF_1-PF_2=2\sqrt{a^2+b^2}=6$，解得$PF_1=6+3$，$PF_2=6-3$。因此，$F_1F_2=4$。由余弦定理得：cos\angleF_1PF_2=\frac{PF_1^2+PF_2^2-F_1F_2^2}{2\cdotPF_1\cdotPF_2}=\frac{18-16}{2\cdot3\cdot1}=\frac{1}{3}$$因此，$\angleF_1PF_2=\arccos\frac{1}{3}$，选B。考点：1.双曲线的定义；2.椭圆的定义。思路点晴】本题主要考查的是双曲线的定义及简单几何性质，椭圆的定义及简单几何性质，涉及三角形中的余弦定理，属于中档题。解决问题时首先根据椭圆与双曲线的定义写出$PF_1+PF_2=2a=8$和$PF_1-PF_2=2\sqrt{a^2+b^2}=6$，解出$PF_1=6+3$，$PF_2=6-3$，$F_1F_2=4$后，运用余弦定理求夹角的余弦值即可。10.A解析】将不等式两边平方，得到：x+1)^2+(y-1)^2+(z+1)^2\leq1$$因为平方项都是非负的，所以有：x+1=0,\y-1=0,\z+1=0$$解得：x=-1,\y=1,\z=-1$$因此，唯一的解为$(-1,1,-1)$，选A。考点：不等式的平方形式。11．设直线PA的倾斜角为α，则sinα=$\frac{1}{m}$，当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，设直线PA的方程为y=kx-1，代入x=4y，可得x=4（kx-1），即x-4kx+4=0，解得k=±1，因此P（2，1），于是双曲线的实轴长为PA-PB=2（2-1），即2.因此，双曲线的离心率为$\sqrt{2}$。12．由椭圆与双曲线的定义，知道$|MF_1|+|MF_2|=2a$，$|MF_1|-|MF_2|=2a_1$，所以$|MF_1|=a+a_1$，$|MF_2|=a-a_1$。因为$\angleF_1MF_2=90^{\circ}$，所以$|MF_1|+|MF_2|=4c$，即$a+a_1=2c$，即$\frac{a+a_1}{2c}=1$，因为$e=\frac{c}{a}$，所以$e_1=\frac{a_1}{a}=\frac{a+a_1-2c}{a}=1-\frac{2c}{a}=1-\frac{2}{\sqrt{5}}$。13．$\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+3}\geq\frac{1}{2}$，即$\frac{b+3}{a+1}+\frac{a+1}{b+3}+2\geq4$。由均值不等式，得$\frac{b+3}{a+1}+\frac{a+1}{b+3}\geq2\sqrt{\frac{(b+3)(a+1)}{(a+1)(b+3)}}=2$，当且仅当$a=3,b=1$时取等号。因此，原式的最小值为2.14.在三角形ABC中，已知$b+c-a=bc=1$。根据基本不等式，有$b^2+c^2-a^2\geq2bc=2$，所以$\cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\leq-1$。但是$\cosA$的值范围是$[-1,1]$，所以不存在这样的三角形。15.数列$\{a_n\}$满足$a_1=2$，$a_{n+1}=2a_n+1$（$n\geq1$）。可以通过递推关系得到$a_n=5\times3^{n-2}$（$n\geq2$），当$n=1$时，不满足题意。16.设椭圆的中心为$O$，则$O$的坐标为$(\frac{9}{5},0)$，长轴长度为$6$，短轴长度为$2$。设点$P$的坐标为$(x,y)$，则$\frac{(x-\frac{9}{5})^2}{3^2}+\frac{y^2}{1^2}=1$。点$F$的坐标为$(\frac{9}{5},\frac{1}{\sqrt{5}})$。根据$PF+PA\geq2a$，可得$PA+PF\geq6-2$，即$PA+PF\geq4$。17.(1)根据正弦定理，有$\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}=\frac{c}{\sinC}$。又因为$\sinC=\sin(180^\circ-A-B)=\sin(A+B)$，所以$\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}=\frac{c}{\sin(A+B)}$。代入已知条件，可得$\frac{a}{\sinA}=\frac{1}{\sinB\cosB}$。根据两角和的正弦公式，有$\sin(A+B)=\sinA\cosB+\cosA\sinB$，代入$\sinC=\sin(A+B)$，可得$\frac{a}{\sinC}=\frac{2\sinB\cosB}{\cosA-\cos(A+2B)}$。化简可得$\cosB=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$。代入已知条件，可得$\cosB=-\frac{1}{2}$，所以$\angleB=\frac{2\pi}{3}$。2)根据三角形面积公式，有$S=\frac{1}{2}ab\sinC$。代入已知条件，可得$S=\frac{\sqrt{3}}{4}c^2$。根据余弦定理，有$c^2=a^2+b^2-2ab\cosC$。代入已知条件，可得$c^2=13$。所以$S=\frac{13\sqrt{3}}{4}$。1）f(x)=-3x^2-3x+182）-33）k<215解析：（1）将f(x)化为标准的二次函数形式，即f(x)=-3(x+2)^2+24，由此可知顶点坐标为(-2,24)，因为a<0，所以这是一个开口向下的抛物线。因此，函数的最大值为24，当且仅当x=-2时取到。2）由于-3<0，所以-3是一个负数。3）k<215表示k的取值范围是负无穷到215之间的所有实数。试题解析：（1）根据双曲线的定义，有$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，代入点W$(a,0)$，解得$b=\sqrt{3}a$，因此双曲线的方程为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{3a^2}=1$。2）设点O$(0,0)$，点A$(a,0)$，点B$(0,\sqrt{3}a)$，则$\overrightarrow{OA}=(a,0)$，$\overrightarrow{OB}=(0,\sqrt{3}a)$。由向量的数量积公式，$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=a\cdot0+0\cdot\sqrt{3}a=0$，因此OA$\perp$OB。根据基本不等式，有$|\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}|\leq|\overrightarrow{OA}|\cdot|\overrightarrow{OB}|$，即$|\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}|\leqa\cdot\sqrt{3}a=3a^2$。因此，OA$\cdot$OB的最小值为3a²，当且仅当$\overrightarrow{OA}$和$\overrightarrow{OB}$同向时取到，即点A