【中学生初等代数思维向抽象代数思维转变的实例探析4100字（论文）】

中学生初等代数思维向抽象代数思维转变的实例分析目录TOC\o"1-3"\h\u引言 11.初等代数思维向抽象代数思维转变的实例 21.1关于反函数 21.2关于运算 31.3序关系与大小比较 42.由初等代数思维向抽象代数转变的实例引发思考 4结束语 6参考文献 7摘要:初等代数思维作为基本的代数思想,需要我们进行努力转变传统的代数思维,向抽象代数思维转变,而中学生初等代数思维向抽象代数思维的转变需要教师进行教育帮助,学生才能更好的进行思维等方面的有效提升.本文简单的举出几个中学阶段初等代数思维向抽象代数思维转变的实例，并产生教学思考.关键词:初等代数;抽象代数;转变;思考中图分类号:O122引言众所周知,代数由算术演变而来,但它们的思维方法确有本质的不同，算术思维强调利用数量计算求出答案,而代数思维侧重将关系符号化,其思维方式是结构性的,某种程度上不具有直观性.在代数计算中,直接设未知数比算数思维过程容易,而且计算过程比算术更直接,学生更易理解.但代数思维的培养不仅需要积累大量的算术经验,还需把握学生代数思维发展阶段.因此,教师要寻找各种代数课程资源,让学生在解决问题的过程中经历思维的转化[1].在代数学习中,初等代数是以代数式的运算和代数方程的求解为研究对象，培养其思维对学生学习初等代数中的基础知识有更好的把握,利于提高学生解决数学问题的基本能力,并且为以后学生学习高等代数打下坚实基础.与初等代数相比,抽象代数研究的是各种抽象的公理化代数系统,在某种程度上,在大学开设此课程是该大学培养数学人才的标志性课程之一,其高度抽象性的特点使得它具有广泛的应用性[2].而无论是初等代数还是抽象代数,其思维方式的培养对学生思维能力的培养有着重要意义.在中学阶段，初等代数学习属于必修部分,其中心内容是方程理论，而且难度系数不算高.且在高中的考试及学习中占重要地位,对于知识点的结合也有多方面考究，是一个容易得分的知识点,需要教师着重的思考它的解题方式和突破口,对其知识体系进行较系统的学习.而抽象代数在高等院校教育课程中,以抽象晦涩难懂著称，又因其与实际生活联系较少，所以在中学教学中抽象代数的学习是微乎其微[3].正处于由具体思维向抽象思维过渡阶段的中学生,是发展代数思维最好的阶段[4].在研究初代数思维与抽象代数思维时，我们发现抽象代数思维在高中课程的学习中能提供有效帮助，比如在学习有关数列、函数、平面向量等内容时，因为学生对概念、定理和公式的理解停留在表层，所以在解题时，学生感到困难重重，无法入手.这是由于初等代数思维存在一定的局限性，所以学生无法突破思维的障碍用更抽象的思维方式去理解题意;因此，就需要教师培养学生的抽象代数思维来提升学生抽象思维水平.从而实现学生从初等代数思维向抽象代数思维的转变.1.初等代数思维向抽象代数思维转变的实例1.1关于反函数在中学课程中,将反函数规定为:“一般地,设函数,其值域为,若能找到一个函数,使得,如果对于值域中的每一个,在中有且仅有一个与之对应,则式子叫做函数的反函数,记作”.由此,我们得知,函数有反函数的两个必要条件:(1)把看成关于的方程,就能求出其相对应的反函数;(2)解析式必须为单值函数.然而当由此进一步引出反三角函数概念时,学生可能会疑问:被限制在区间上的函数为什么会有反函数?若把它看成关于的方程,如何通过方程的同解变形反解出呢?显然上面反函数的定义无法解答此疑问.若用逆映射的概念去定义反函数,则反三角函数的引入学生更易接受.设是一个映射,若中不同的元素在中都有不同的像,则称为单射;若中的每一个在中都有原像,称为满射.像这样既单又满的映射叫一一映射.如果是一一映射,则一定存在到的映射,就叫逆映射,记,由此得到定义函数,,.（1）的映射若存在逆映射,则此逆映射所确定的函数,叫做函数（1）的反函数.这样,,的映射显然为一一映射.从而它存在逆映射.因此,根据以上定义有反函数,记作,.然后我们发现前者由初等代数思维方式定义的反函数不是反函数存在的实质,而后者由抽象代数思维方式去定义的反函数才是反函数的本质,抽象代数使反函数的概念更具广泛性.所以映射、一一映射的观点在反函数中的这一渗透,将会使学生更好地理解反函数的概念.1.2关于运算在抽象代数中,运算的概念定义如下:定义映射叫做非空集合中的元代数运算(1).当时,一元运算与从到的映射两者是统一的.如既可以看成是3的开算术平方根,也可成当时,函数的函数值.当时,为二元运算.例如在整数集中数目的加法与乘法运算,已知,求它们的最大公约数与最小公倍数.由此我们看到运算的实质是映射,所以运算的结果应该具有唯一性.那么中学教材中提到的“实数集上的开平方运算”是不严谨的,这也为强调算术根的重要性提供了理论依据.再有,中学数学中通常把“开方运算看成是乘方运算的逆运算”.从严格意义上看也是不严谨的.因为对一元运算来说,其逆运算存在就是对应的逆映射存在与否的问题.一般有:定义若映射是双射,则存在一个双射,使.（,分别为,上的恒等映射）,此时称为的逆映射,记为.现令;,;.因为;,即,;即.1.3序关系与大小比较在中学数学中我们都知道复数没有大小,所以复数不能排序,那么它的理论依据是什么呢?为讨论这个问题我们给出定义设是集合上的一个关系且满条件：(1),,且x.(2),,且,则称是上一个“偏序关系”,(,)叫偏序集.若“”满足：(3),,则或或,则(,)叫全序集.要谈及数的大小比较,则数集上的全序关系必须与此数集上的代数运算发生联系,即:(4)若,则;(5)若,,则.现在我们证明复数不能比较大小,因而复数不是有序域.证明用反证法,假设复数之间存在一种全序关系,能使复数域成为有序域.考察这个特殊的复数,于是,由于是全序关系,必有:或.如果,根据符号规则可得,再由符号规则使得,得,这就与是正元素矛盾,所以不能是.这样应有,还根据符号规则可得,从而使得,即,这与矛盾.这就说明复数域关于任何一个全序关系都不能做成有序域[5].2.由初等代数思维向抽象代数转变的实例引发思考思维是一种技术.数学离不开思维,在数学教学中,思维可以通过训练的方式获得,数学研究本身也是一种不断反思的过程,反思推进了数学的进步;反思是一种积极的探究行为,是促进知识同化迁移的可靠途径,反思可以沟通新旧知识间的联系,深化对知识的理解,反思能够促使学生从不同方面多角度观察事物.因此,教师应该学会根据数学思维的特点来开发学生的数学思维[6].从以上三个实例中可以看出,如果站在抽象代数的角度看中学数学,我们会发现中学阶段的数学学习存在不足,所以学生对其知识点的概念、定理和公式的理解停留在表面,无法深刻领会其知识点的存在意义,这就造成,学生只死记概念、定理和公式,而没有掌握其理论依据,所以当学生在做题时,明明是很简单的数学问题,会觉得棘手,找不到解题的突破口,更不用说让学生去求解更难的数学问题,这极大的降低了学生对数学的学习兴趣,甚至会选择放弃学习数学.在中学数学教学中,遇到类似反函数的定义、复数不属于有序域等抽象数学问题时,也就是教师遇到用初等代数思维无法解释其存在的数学本质时,若能用抽现代数的内容将其解决,不妨考虑选择将抽象代数知识补充进去,这样可以加深学生对抽象知识的理解.针对中学教学中出现的抽象内容,以下总结了几种教学方法:第一,除知识本身的表达,还可以结合已学知识,联系课程背景,增强学生的好奇心,从而主动的去探索相关领域的知识,用自身已有的知识和经验主动的去构建概念,这样不仅调动了学生的学习兴趣,又使学生体会到知识的广泛应用[7].第二,充分利用多媒体网络教学,教师运用多媒体网络技术制作丰富精彩的课件将教学内容中抽象且概念化的想法具体生动地展现给学生,这种活情境教学方式不仅利于学生对知识从感官世界到意象世界再到符号世界的理解和吸收,实现抽象内容的简单理解[8].第三,巧设课堂提问,设置课堂的提问可以起到反馈教学的作用,但提出的问题不能是无效的或者过于宽泛的,而应当抓住对当前课堂内容重点来提问,有效激发学生的学习兴趣,调动学习的主动性,第四,针对不同学习层次的学生,采取不同的手段,进行相应的策略性帮助,这样有益于学生不同阶层较为全面的思维形式的发展以及知识体系的初步形成,有效调动学生学习积极性.结束语在研究初代数思维与抽象代数思维时,我们发现抽象代数思维的形成依赖于初等代数思维的不断训练,初等代数的学习在中学学习中比重较大,而抽象代数的学习几乎为零,但是抽象代思维的应用却很广泛,在中学教学中不少的概念用抽象代数的角度分析更能理解.因此,学生初等代数思维向抽象代数思维的转变对中学生有重要的意义,在初等代数思维向抽象代数思维的转变的实例中,我们发现初等代数思维存在的局限性,对于反函数的定义用抽象代数的映射角度理解会更容易,在概念定义中,我们发现由初等代数思维方式定义的反函数不是反函数存在的实质,而由抽象代数思维方式去定义的反函数才是反函数的本质,抽象代数使反函数的概念更具广泛性.所以映射、一一映射的观点在反函数中的这一渗透,将会使学生更好地理解反函数的概念.此外,我们也从抽象代数中得知,中学数学中的“实数上的开平方运算”和“开方运算看成是乘方运算的逆运算”都是不严谨的.从三个实例中我们知道在中学数学中渗透抽象代数思维,有利于中学教学.数学教学中,培养学生思维能力是一个复杂的系统工程，是教师教学艺术的体现，是培养开发学生数学思维和创新思维的核心.因此,在教学过程中,教师要从多角度分析和解决数学问题,从学生的实际出发,结合教学内容,有效地组织课堂教学,积极探索,努力实践,把思维能力的培养切实落到教学工作中去,为培养高素质的高中人才做出自己的贡献..参考文献[1]刘久成,刘久胜.代数思维及其教学[J].课程.教材.教法,2015:78-83.[2]沈吓妹.近世代数教学中抽象思维的开发[J].宁德师范学院学报(自然科学版),2013,25(004):408-410.[3]张倩,李慧珍.抽象代数教学的思考[J].教育(周刊),2016.[4]李保贤.中学生代数思维的形成研究[J]