正弦函数、余弦函数的性质(1)课件 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第五章三角函数5.4三角函数的图象与性质5.4.2正弦函数、余弦函数的性质(1)内容索引学习目标活动方案检测反馈学习目标1

.了解周期函数的概念．2.理解正弦函数与余弦函数的周期性，会求函数的周期．3.理解正、余弦函数的奇偶性以及对称性.活动方案类比以往对函数性质的研究，你认为应研究正弦函数、余弦函数的哪些性质？观察它们的图象，你能发现它们具有哪些性质？活动一了解周期函数的概念【解析】

根据研究函数的经验，我们要研究正弦函数、余弦函数的单调性、奇偶性、最大(小)值等．另外，三角函数是刻画“周而复始”现象的数学模型，与此对应的性质是特别而重要的．思考1►►►观察正弦函数的图象，在图象上，横坐标每隔2π个单位长度，就会出现纵坐标相同的点，这就是正弦函数值具有的“周而复始”的变化规律，这一点可以从定义中看出，也可用我们前面学习的哪个公式来说明？【解析】sin(2kπ＋x)＝sinx(k∈Z)思考2►►►如何用数学语言刻画函数的周期性？【解析】

设函数f(x)的定义域为D.如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D，都有x＋T∈D，且

f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫作周期函数，非零常数T叫作这个函数的周期．思考3►►►正弦函数和余弦函数的周期是多少？

【解析】

2π是正弦函数和余弦函数的周期，且4π，6π，…以及－2π，－4π，…都是正弦函数和余弦函数的周期，即每一个常数2kπ(k∈Z且k≠0)都是这两个函数的周期．【解析】(1)不能(2)是，kT(k∈Z且k≠0)都是函数的周期．思考5►►►一个周期函数的周期有多少个？周期函数的图象具有什么特征？【解析】

有无数个，周期函数的图象周期性重复出现．1.对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数叫作f(x)的最小正周期．2.正弦函数和余弦函数的最小正周期是2π，正切函数的最小正周期是π.

思考6►►►是不是所有的函数都有最小正周期？如：函数f(x)＝C(C为常数)是周期函数吗？如果是，那么周期是多少？最小正周期又是多少？【解析】

不是．f(x)＝C是周期函数，周期是任意非零实数；无最小正周期．注意：如果不加特别说明，那么所说的周期一般都是指函数的最小正周期.例1已知做周期性运动的钟摆的高度h(单位：mm)

与时间t(单位：s)之间的函数关系如图所示．(1)求该函数的周期；(2)求t＝10s时钟摆的高度．活动二掌握周期函数的简单应用【解析】(1)由图象可知，该函数的周期为1.5s.(2)设h＝f(t)，由函数f(t)的周期为1.5s，可知f(10)＝f(1＋6×1.5)＝f(1)＝20，所以t＝10s时钟摆的高度为20mm.例

2求函数f(x)＝cos2x的周期．活动三求三角函数的周期【解析】

设f(x)周期为T，则f(x＋T)＝f(x)，即cos[2(x＋T)]＝cos2x对任意实数x都成立，也就是cos(u＋2T)＝cosu对任意实数u都成立，其中u＝2x.由y＝cosu的周期为2π，可知使得cos(u＋2T)＝cosu对任意实数u都成立的2T的最小正值为2π，可知2T＝2π，即T＝π，所以f(x)＝cos2x的周期为π.例

3已知函数y＝f(x)，x∈R，满足f(x＋2)＝－f(x)对于一切x∈R都成立，求证：4是f(x)的一个周期．活动四函数周期性的判断【解析】

因为f(x－2＋2)＝－f(x－2)，所以f(x＋2)＝f(x－2)，所以f(x)＝f(x－4)，所以4是f(x)的一个周期．设函数y＝f(x)，x∈R，若函数y＝f(x)为偶函数并且图象关于直线x＝a(a≠0)对称，求证：函数y＝f(x)为周期函数．【解析】

由y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称得f(2a－x)＝f(x)，所以f(2a＋x)＝f(－x)．因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，所以f(2a＋x)＝f(x)，所以f(x)是以2a为周期的函数．思考7►►►根据诱导公式有sin(－x)＝－sinx，cos(－x)＝cosx，这反映了正弦函数和余弦函数的什么性质？活动五正、余弦函数的奇偶性【解析】

奇偶性．正弦函数y＝sinx是奇函数，其图象关于原点对称；余弦函数y＝cosx是偶函数，其图象关于y轴对称．例

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(1)函数y＝sin2x的奇偶性为(

)A.奇函数 B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数

D.既不是奇函数也不是偶函数【解析】

令y＝f(x)＝sin2x，则f(－x)＝sin[2(－x)]＝－sin2x，所以f(－x)＝－f(x)，所以y＝sin2x是奇函数．【答案】A【解析】

设y＝f(x)＝1＋cosx．因为f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝1＋cosx为偶函数，故其图象关于y轴对称．【答案】B检测反馈2451324513【答案】D24513【答案】